Colector Finsler - Finsler manifold

En matemáticas , particularmente en geometría diferencial , una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M donde se proporciona una F ( x , -) funcional de Minkowski (posiblemente asimétrica ) en cada espacio tangente T _x M , que permite definir la longitud de cualquier curva suave γ  : [ a , b ] → M como

${\ Displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, \ mathrm {d} t.}$

Las variedades de Finsler son más generales que las variedades de Riemann, ya que las normas tangentes no necesitan ser inducidas por productos internos .

Todo colector de Finsler se convierte en un espacio cuasimétrico intrínseco cuando la distancia entre dos puntos se define como la longitud mínima de las curvas que los unen.

Élie Cartan  ( 1933 ) nombró variedades de Finsler en honor a Paul Finsler , quien estudió esta geometría en su disertación ( Finsler 1918 ).

Definición

Una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M junto con una métrica de Finsler , que es una función continua no negativa F : T M → [0, + ∞) definida en el paquete tangente de modo que para cada punto x de M ,

• F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w ) para cada dos vectores v , w tangente a M en x ( subaditividad ).
• F (λ v ) = λ F ( v ) para todo λ ≥ 0 (pero no necesariamente para  λ <0) ( homogeneidad positiva ).
• F ( v )> 0 a menos que v = 0 ( definición positiva ).

En otras palabras, F ( x , -) es una norma asimétrica en cada espacio tangente T _x M . También se requiere que la métrica F de Finsler sea suave , más precisamente:

• F es suave en el complemento de la sección cero de T M .

El axioma de subaditividad puede reemplazarse por la siguiente condición de fuerte convexidad :

• Para cada vector tangente v ≠ 0 , la matriz hessiana de F ² en v es definida positiva .

Aquí el hessiano de F ² en v es la forma bilineal simétrica

${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {v} (X, Y): = {\ frac {1} {2}} \ left. {\ frac {\ Particular ^ {2}} {\ Particular S \ Particular t }} \ left [F (v + sX + tY) ^ {2} \ right] \ right | _ {s = t = 0},}$

también conocido como el tensor fundamental de F en v . La convexidad fuerte de implica la subaditividad con una desigualdad estricta si u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v ) . Si F es fuertemente convexo, entonces es una norma de Minkowski en cada espacio tangente.

Una métrica de Finsler es reversible si, además,

• F (- v ) = F ( v ) para todos los vectores tangentes v .

Una métrica de Finsler reversible define una norma (en el sentido habitual) en cada espacio tangente.

Ejemplos de

• Las subvariedades suaves (incluidos los subconjuntos abiertos) de un espacio vectorial normalizado de dimensión finita son variedades de Finsler si la norma del espacio vectorial es suave fuera del origen.
• Las variedades de Riemann (pero no las variedades pseudo-Riemannianas ) son casos especiales de las variedades de Finsler.

Colectores Randers

Dejado ser una variedad de Riemann y b una sola forma diferencial en M con ${\ Displaystyle (M, a)}$

${\ Displaystyle \ | b \ | _ {a}: = {\ sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}}} <1,}$

donde es la matriz inversa de y se usa la notación de Einstein . Luego ${\ Displaystyle \ left (a ^ {ij} \ right)}$${\ Displaystyle (a_ {ij})}$

${\ Displaystyle F (x, v): = {\ sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i} v ^ {j}}} + b_ {i} (x) v ^ {i}}$

define una métrica de Randers en M y es un colector de Randers , un caso especial de un colector de Finsler no reversible. ${\ Displaystyle (M, F)}$

Espacios cuasimétricos lisos

Sea ( M , d ) una cuasimétrico de manera que M es también una variedad diferenciable y d es compatible con la estructura diferencial de M en el siguiente sentido:

• Alrededor de cualquier punto z en M existe una gráfica suave ( U , φ) de M y una constante C  ≥ 1 tal que para cada x ,  y  ∈  U

  ${\ Displaystyle {\ frac {1} {C}} \ | \ phi (y) - \ phi (x) \ | \ leq d (x, y) \ leq C \ | \ phi (y) - \ phi ( x) \ |.}$

• La función d :  M  ×  M  → [0, ∞] es suave en algún vecindario perforado de la diagonal.

Entonces uno puede definir una función de Finsler F :  TM  → [0, ∞] por

${\ Displaystyle F (x, v): = \ lim _ {t \ to 0 +} {\ frac {d (\ gamma (0), \ gamma (t))} {t}},}$

donde γ es cualquier curva en M con γ (0) =  x y γ' (0) = v. La función Finsler F obtenidas de esta manera restringe a una asimétrica (típicamente no Minkowski) norma en cada espacio tangente de M . La métrica intrínseca inducida d _L : M × M → [0, ∞] del cuasimétrico original se puede recuperar de

${\ Displaystyle d_ {L} (x, y): = \ inf \ left \ {\ \ left. \ int _ {0} ^ {1} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) \ derecha) \, dt \ \ derecha | \ \ gamma \ en C ^ {1} ([0,1], M) \, \ \ gamma (0) = x \, \ \ gamma ( 1) = y \ \ derecha \},}$

y de hecho cualquier función de Finsler F : T M  → [0, ∞) define un cuasimétrico intrínseco d _L en M mediante esta fórmula.

Geodésicas

Debido a la homogeneidad de F la longitud

${\ Displaystyle L [\ gamma]: = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, dt}$

de una curva diferenciable γ : [ a , b ] → M en M es invariante bajo reparametrizaciones orientadas positivamente . Una curva de velocidad constante γ es una geodésica de un colector de Finsler si sus segmentos suficientemente cortos γ | _{[ c , d ]} minimizan la longitud en M de γ ( c ) a γ ( d ). De manera equivalente, γ es una geodésica si es estacionaria para la energía funcional

${\ Displaystyle E [\ gamma]: = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} F ^ {2} \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) \ right) \, dt}$

en el sentido de que su derivada funcional desaparece entre las curvas diferenciables γ : [ a , b ] → M con extremos fijos γ ( a ) = x y γ ( b ) = y .

Estructura de pulverización canónica en un colector Finsler

La ecuación de Euler-Lagrange para la energía funcional E [ γ ] se lee en las coordenadas locales ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) de T M como

${\ Displaystyle g_ {ik} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big)} {\ ddot {\ gamma}} ^ {i} (t) + \ left ({\ frac {\ parcial g_ {ik}} {\ parcial x ^ {j}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big) } - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {k}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) {\ Big)} \ right) {\ dot {\ gamma}} ^ {i} (t) {\ dot {\ gamma}} ^ {j} (t) = 0,}$

donde k = 1, ..., n y g _ij es la representación de coordenadas del tensor fundamental, definido como

${\ Displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} \ izquierda (\ izquierda. {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha | _ {x}, \ izquierda. {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {j}}} \ derecha | _ {x} \ derecha).}$

Suponiendo la fuerte convexidad de F ² ( x , v ) con respecto a v ∈ T _x M , la matriz g _ij ( x , v ) es invertible y su inversa se denota por g ^ij ( x , v ). Entonces γ : [ a , b ] → M es una geodésica de ( M , F ) si y solo si su curva tangente γ ' : [ a , b ] → T M ∖ {0} es una curva integral del campo vectorial suave H en T M ∖ {0} definido localmente por

${\ estilo de visualización \ izquierda.H \ derecha | _ {(x, v)}: = \ izquierda.v ^ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha | _ { (x, v)} \! \! - \ left.2G ^ {i} (x, v) {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {i}}} \ right | _ {(x, v )},}$

donde los coeficientes de pulverización locales G ⁱ están dados por

${\ Displaystyle G ^ {i} (x, v): = {\ frac {1} {4}} g ^ {ij} (x, v) \ left (2 {\ frac {\ parcial g_ {jk}} {\ parcial x ^ {\ ell}}} (x, v) - {\ frac {\ parcial g_ {k \ ell}} {\ parcial x ^ {j}}} (x, v) \ derecha) v ^ {k} v ^ {\ ell}.}$

El campo vectorial H en T M ∖ {0} satisface JH  =  V y [ V ,  H ] =  H , donde J y V son el endomorfismo canónico y el campo vectorial canónico en T M ∖ {0}. Por lo tanto, por definición, H es una pulverización en  M . El spray H define una conexión no lineal en el haz de fibras T M ∖ {0} → M a través de la proyección vertical

${\ Displaystyle v: T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}) \ to T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}); \ quad v: = {\ frac {1 } {2}} {\ big (} I + {\ mathcal {L}} _ {H} J {\ big)}.}$

En analogía con el caso de Riemann , hay una versión

${\ Displaystyle D _ {\ dot {\ gamma}} D _ {\ dot {\ gamma}} X (t) + R _ {\ dot {\ gamma}} \ left ({\ dot {\ gamma}} (t), X (t) \ derecha) = 0}$

de la ecuación de Jacobi para una estructura de pulverización general ( M , H ) en términos de la curvatura de Ehresmann y la derivada covariante no lineal .

Singularidad y minimización de propiedades de las geodésicas.

Según el teorema de Hopf-Rinow, siempre existen curvas de minimización de longitud (al menos en vecindarios lo suficientemente pequeños) en ( M ,  F ). Las curvas que minimizan la longitud siempre pueden reparametrizarse positivamente para que sean geodésicas, y cualquier geodésica debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange para E [ γ ]. Suponiendo la fuerte convexidad de F ² existe una γ geodésica máxima única con γ (0) = x y γ ' (0) = v para cualquier ( x ,  v ) ∈ T M ∖ {0} por la unicidad de las curvas integrales .

Si F ² es fuertemente convexa, las geodésicas γ : [0,  b ] →  M minimizan la longitud entre las curvas cercanas hasta que el primer punto γ ( s ) se conjuga con γ (0) a lo largo de γ , y para t  >  s siempre existen más cortos curvas de γ (0) a γ ( t ) cerca de γ , como en el caso de Riemann .

Notas

Referencias

• Antonelli, Peter L., ed. (2003), Manual de geometría de Finsler. Vol. 1, 2 , Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR  2067663
• Bao, David; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000). Una introducción a la geometría de Riemann-Finsler . Textos de Posgrado en Matemáticas. 200 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X. Señor  1747675 .
• Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Sci. París , 196 : 582–586, Zbl  0006.22501
• Chern, Shiing-Shen (1996), "La geometría de Finsler es simplemente geometría de Riemann sin la restricción cuadrática" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 43 (9): 959–63, MR  1400859
• Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Disertación, Göttingen, JFM  46.1131.02 (Reimpreso por Birkhäuser (1951))
• Rund, Hanno (1959). La geometría diferencial de los espacios de Finsler . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101 . Berlín – Gotinga – Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2. Señor  0105726 .
• Shen, Zhongmin (2001). Conferencias sobre geometría de Finsler . Singapur: World Scientific. doi : 10.1142 / 4619 . ISBN 981-02-4531-9. Señor  1845637 .

enlaces externos

• "Espacio Finsler, generalizado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El (nuevo) boletín de Finsler