Campo vectorial - Vector field

Una porción del campo vectorial (sin  y , sin  x )

En cálculo vectorial y física, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio . Por ejemplo, un campo vectorial en el plano puede visualizarse como una colección de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una de ellas unida a un punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento por el espacio, o la fuerza y ​​dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro.

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria y, según esta interpretación, la conservación de la energía se presenta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Es útil pensar que los campos vectoriales representan la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y el rizo (que representa la rotación de un flujo). un flujo).

En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el espacio euclidiano n- dimensional se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n- tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas y existe una ley de transformación bien definida al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales a menudo se analizan en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos, como superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ).

De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se parecen al espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas más grandes. En esta configuración, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del paquete tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .

Definición

Campos vectoriales en subconjuntos del espacio euclidiano

Representación de campos vectoriales dispersos
Representación de campo de vector denso.
Dos representaciones del mismo campo vectorial: v ( x , y ) = - r . Las flechas representan el campo en puntos discretos, sin embargo, el campo existe en todas partes.

Dado un subconjunto S en R n , un campo vectorial se representa mediante una función con valores vectoriales V : SR n en coordenadas cartesianas estándar ( x 1 ,…, x n ) . Si cada componente de V es continuo, entonces V es un campo vectorial continuo y, más generalmente, V es un campo vectorial C k si cada componente de V es k veces continuamente diferenciable .

Un campo vectorial se puede visualizar como la asignación de un vector a puntos individuales dentro de un espacio n -dimensional.

Dados dos campos de C k -vector V , W definidos en S y una función C k de valor real f definida en S , las dos operaciones multiplicación escalar y suma vectorial

definir el módulo de C k -campos vectoriales sobre el anillo de C k- funciones donde la multiplicación de las funciones se define puntualmente (por lo tanto, es conmutativa con la identidad multiplicativa siendo f id ( p ): = 1 ).

Ley de transformación de coordenadas

En física, un vector se distingue además por cómo cambian sus coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores distinguen un vector como una entidad geométricamente distinta de una lista simple de escalares o de un covector .

Por lo tanto, suponga que ( x 1 , ..., x n ) es una elección de coordenadas cartesianas, en términos de las cuales las componentes del vector V son

y suponga que ( y 1 , ..., y n ) son n funciones de x i que definen un sistema de coordenadas diferente. Entonces se requieren las componentes del vector V en las nuevas coordenadas para satisfacer la ley de transformación

 

 

 

 

( 1 )

Esta ley de transformación se llama contravariante . Una ley de transformación similar caracteriza los campos vectoriales en física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de n funciones en cada sistema de coordenadas sujeto a la ley de transformación ( 1 ) que relaciona los diferentes sistemas de coordenadas.

Los campos vectoriales se contrastan así con los campos escalares , que asocian un número o escalar a cada punto del espacio, y también se contrastan con listas simples de campos escalares, que no se transforman bajo cambios de coordenadas.

Campos vectoriales en colectores

Un campo vectorial en una esfera.

Dada una variedad diferenciable , un campo vectorial en es una asignación de un vector tangente a cada punto en . Más precisamente, un campo vectorial es un mapeo desde el paquete tangente, de modo que es el mapeo de identidad donde denota la proyección desde a . En otras palabras, un campo vectorial es una sección del paquete tangente .

Una definición alternativa: un campo vectorial uniforme en una variedad es un mapa lineal tal que es una derivación : para todos .

Si la variedad es suave o analítica , es decir, el cambio de coordenadas es suave (analítico), entonces se puede entender la noción de campos vectoriales suaves (analíticos). La colección de todos los campos vectoriales suaves en una variedad suave a menudo se denota por o (especialmente cuando se piensa en los campos vectoriales como secciones ); la colección de todos los campos vectoriales suaves también se indica con (una fraktur "X").

Ejemplos de

El campo de flujo alrededor de un avión es un campo vectorial en R 3 , aquí visualizado por burbujas que siguen las líneas de corriente que muestran un vórtice en la punta del ala .
Los campos vectoriales se utilizan comúnmente para crear patrones en gráficos por computadora . Aquí: composición abstracta de curvas siguiendo un campo vectorial generado con ruido OpenSimplex .
  • Un campo vectorial para el movimiento del aire en la Tierra asociará para cada punto de la superficie de la Tierra un vector con la velocidad y dirección del viento para ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud ( magnitud ) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "alto" en el mapa de presión barométrica habitual actuaría entonces como una fuente (flechas apuntando hacia afuera), y un "bajo" sería un sumidero (flechas apuntando hacia), ya que el aire tiende a moverse de áreas de alta presión a áreas de baja presión .
  • Campo de velocidad de un fluido en movimiento . En este caso, se asocia un vector de velocidad a cada punto del fluido.
  • Las líneas de corriente, las líneas de trazo y las líneas de ruta son 3 tipos de líneas que se pueden hacer a partir de campos vectoriales (dependientes del tiempo). Ellos son:
    líneas de rayas: la línea producida por partículas que pasan a través de un punto fijo específico durante varios tiempos
    Pathlines: muestra el camino que seguiría una partícula determinada (de masa cero).
    líneas de corriente (o líneas de campo): la trayectoria de una partícula influenciada por el campo instantáneo (es decir, la trayectoria de una partícula si el campo se mantiene fijo).
  • Campos magnéticos . Las líneas de campo se pueden revelar utilizando pequeñas limaduras de hierro .
  • Las ecuaciones de Maxwell nos permiten usar un conjunto dado de condiciones iniciales y de contorno para deducir, para cada punto del espacio euclidiano , una magnitud y dirección de la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial resultante es el campo electromagnético .
  • Un campo gravitacional generado por cualquier objeto masivo también es un campo vectorial. Por ejemplo, los vectores del campo gravitacional para un cuerpo esféricamente simétrico apuntarían todos hacia el centro de la esfera con la magnitud de los vectores reduciéndose a medida que aumenta la distancia radial desde el cuerpo.

Campo de degradado en espacios euclidianos.

Un campo vectorial que tiene circulación alrededor de un punto no se puede escribir como el gradiente de una función.

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares utilizando el operador de gradiente (indicado por del : ∇).

Un campo vectorial V definido en un conjunto abierto S se denomina campo degradado o campo conservador si existe una función de valor real (un campo escalar) f en S tal que

El flujo asociado se llama flujo de gradiente , y se utiliza en el método dedescensodegradiente.

La integral de trayectoria a lo largo de cualquier curva cerrada γ ( γ (0) = γ (1)) en un campo conservador es cero:

Campo central en espacios euclidianos

Un campo de vector C sobre R n \ {0} se llama campo central si

donde O ( n , R ) es el grupo ortogonal . Decimos que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de 0.

El punto 0 se denomina centro del campo.

Dado que las transformaciones ortogonales son en realidad rotaciones y reflexiones, las condiciones de invariancia significan que los vectores de un campo central siempre se dirigen hacia, o lejos de, 0; esta es una definición alternativa (y más simple). Un campo central es siempre un campo de gradiente, ya que al definirlo en un semieje e integrarlo se obtiene un antigradiente.

Operaciones en campos vectoriales

Integral de línea

Una técnica común en física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva , también llamada determinación de su integral de línea . Intuitivamente, se trata de sumar todos los componentes vectoriales en línea con las tangentes a la curva, expresados ​​como sus productos escalares. Por ejemplo, dada una partícula en un campo de fuerza (por ejemplo, gravitación), donde cada vector en algún punto del espacio representa la fuerza que actúa allí sobre la partícula, la línea integral a lo largo de una determinada trayectoria es el trabajo realizado sobre la partícula, cuando viaja. a lo largo de este camino. Intuitivamente, es la suma de los productos escalares del vector de fuerza y ​​el vector tangente pequeño en cada punto a lo largo de la curva.

La integral de línea se construye de manera análoga a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene una longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial V y una curva γ , parametrizada por t en [ a , b ] (donde a y b son números reales ), la integral de línea se define como

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función (o campo escalar). En tres dimensiones, la divergencia se define por

con la obvia generalización a dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el flujo vectorial, un resultado que se precisa mediante el teorema de la divergencia .

La divergencia también se puede definir en una variedad de Riemann , es decir, una variedad con una métrica de Riemann que mide la longitud de los vectores.

Rizo en tres dimensiones

El curl es una operación que toma un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rizo se define solo en tres dimensiones, pero algunas propiedades del rizo se pueden capturar en dimensiones más altas con la derivada exterior . En tres dimensiones, se define por

El rizo mide la densidad del momento angular del flujo vectorial en un punto, es decir, la cantidad a la que el flujo circula alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se hace precisa mediante el teorema de Stokes .

Índice de un campo vectorial

El índice de un campo vectorial es un número entero que ayuda a describir el comportamiento de un campo vectorial alrededor de un cero aislado (es decir, una singularidad aislada del campo). En el plano, el índice toma el valor -1 en una singularidad de silla pero +1 en una singularidad de origen o sumidero.

Deje que la dimensión del colector en la que se define el campo vectorial sea n . Tome una pequeña esfera S alrededor del cero para que no haya otros ceros en el interior de S. Se  puede construir un mapa de esta esfera a una esfera unitaria de dimensiones n - 1 dividiendo cada vector en esta esfera por su longitud para formar una vector de longitud unitaria, que es un punto en la esfera unitaria S n-1 . Esto define un mapa continuo de S a S n-1 . El índice del campo vectorial en el punto es el grado de este mapa. Se puede demostrar que este número entero no depende de la elección de S y, por lo tanto, depende solo del campo vectorial en sí.

El índice del campo vectorial como un todo se define cuando tiene solo un número finito de ceros. En este caso, todos los ceros están aislados y el índice del campo vectorial se define como la suma de los índices en todos los ceros.

El índice no está definido en ningún punto no singular (es decir, un punto donde el vector no es cero). es igual a +1 alrededor de una fuente, y más generalmente igual a (-1) k alrededor de una silla que tiene k dimensiones de contracción y nk dimensiones de expansión. Para una esfera ordinaria (bidimensional) en un espacio tridimensional, se puede demostrar que el índice de cualquier campo vectorial en la esfera debe ser 2. Esto muestra que cada campo vectorial debe tener un cero. Esto implica el teorema de la bola peluda , que establece que si se asigna un vector en R 3 a cada punto de la esfera unitaria S 2 de manera continua, entonces es imposible "peinar los pelos", es decir, elegir los vectores. de forma continua de modo que todos sean distintos de cero y tangentes a S 2 .

Para un campo vectorial en una variedad compacta con un número finito de ceros, el teorema de Poincaré-Hopf establece que el índice del campo vectorial es igual a la característica de Euler de la variedad.

Intuicion fisica

Líneas de campo magnético de una barra de hierro ( dipolo magnético )

Michael Faraday , en su concepto de líneas de fuerza , enfatizó que el campo en debería ser un objeto de estudio, lo que se ha convertido a lo largo de la física en forma de teoría de campos .

Además del campo magnético, otros fenómenos que fueron modelados por Faraday incluyen el campo eléctrico y el campo de luz .

Curvas de flujo

Considere el flujo de un fluido a través de una región del espacio. En un momento dado, cualquier punto del fluido tiene asociada una velocidad particular; por tanto, existe un campo vectorial asociado a cualquier flujo. Lo contrario también es cierto: es posible asociar un flujo a un campo vectorial que tenga ese campo vectorial como su velocidad.

Dado un campo vectorial V definido en S , se definen curvas γ ( t ) en S tales que para cada t en un intervalo I

Por el teorema de Picard-Lindelöf , si V es Lipschitz continua hay un único C 1 -curve γ x para cada punto x en S de manera que, por alguna ε> 0,

Las curvas γ x se denominan curvas integrales o trayectorias (o menos comúnmente, líneas de flujo) del campo vectorial V y la división S en clases de equivalencia . No siempre es posible extender el intervalo (−ε, + ε) a toda la recta numérica real . El flujo puede alcanzar, por ejemplo, el borde de S en un tiempo finito. En dos o tres dimensiones se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en S . Si dejamos caer una partícula en este flujo en un punto p , se moverá a lo largo de la curva γ p en el flujo dependiendo del punto inicial p . Si p es un punto estacionario de V (es decir, el campo vectorial es igual al vector cero en el punto p ), entonces la partícula permanecerá en p .

Las aplicaciones típicas son la línea de trayectoria en fluidos , flujo geodésico y subgrupos de un parámetro y el mapa exponencial en grupos de Lie .

Campos vectoriales completos

Por definición, un campo vectorial se llama completo si cada una de sus curvas de flujo existe para siempre. En particular, los campos vectoriales soportados de forma compacta en un colector están completos. Si es un campo vectorial completo activado , entonces el grupo de difeomorfismos de un parámetro generado por el flujo existe para siempre. En un colector compacto sin límite, cada campo vectorial uniforme está completo. Un ejemplo de un campo vectorial incompleto en la línea real viene dado por . Pues, la ecuación diferencial , con condición inicial , tiene como única solución si (y para todo si ). Por lo tanto , for , no está definido en, por lo que no se puede definir para todos los valores de .

f-relación

Dada una función suave entre variedades, f  : MN , la derivada es un mapa inducido en haces tangentes , f *  : TMTN . Campos vector dado V  : MTM y W  : NTN , se dice que W es f -relacionado con V si la ecuación Wf = f *V sostiene.

Si V i está relacionado con f con W i , i = 1, 2, entonces el corchete de Lie [ V 1 , V 2 ] está relacionado con f con [ W 1 , W 2 ].

Generalizaciones

Reemplazando vectores por p -vectores ( p- ésima potencia exterior de los vectores) produce campos p -vectores; teniendo el espacio dual y poderes rendimientos exteriores diferencial k -formas , y la combinación de estos rendimientos generales campos tensoriales .

Algebraicamente, los campos vectoriales se pueden caracterizar como derivaciones del álgebra de funciones suaves en la variedad, lo que lleva a definir un campo vectorial en un álgebra conmutativa como una derivación en el álgebra, que se desarrolla en la teoría del cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas .

Ver también

Referencias

Bibliografía

enlaces externos

Medios relacionados con los campos vectoriales en Wikimedia Commons