Paquete tangente - Tangent bundle

De manera informal, el haz tangente de una variedad (que en este caso es un círculo) se obtiene considerando todos los espacios tangentes (arriba) y uniéndolos de manera suave y sin superposición (abajo).

En geometría diferencial , el conjunto tangente de una variedad diferenciable es una variedad que reúne todos los vectores tangentes en . Como conjunto, está dado por la unión disjunta de los espacios tangentes de . Es decir, ${\ Displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} TM & = \ bigsqcup _ {x \ in M} T_ {x} M \\ & = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {x \ right \} \ times T_ {x} M \\ & = \ bigcup _ {x \ in M} \ left \ {(x, y) \ mid y \ in T_ {x} M \ right \} \\ & = \ left \ {(x , y) \ mid x \ in M, \, y \ in T_ {x} M \ right \} \ end {alineado}}}$

donde denota el espacio tangente al punto . Entonces, un elemento de se puede considerar como un par , donde es un punto en y es un vector tangente a en . ${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle TM}$ ${\ Displaystyle (x, v)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$

Hay una proyección natural

${\ Displaystyle \ pi: TM \ twoheadrightarrow M}$

definido por . Esta proyección mapea cada elemento del espacio tangente al punto único . ${\ Displaystyle \ pi (x, v) = x}$${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle x}$

El paquete tangente viene equipado con una topología natural (descrita en una sección a continuación ). Con esta topología, el paquete tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un paquete vectorial (que es un paquete de fibras cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección de un campo de vector en , y el doble haz a es el fibrado cotangente , que es la unión de la desunión de los espacios cotangente de . Por definición, una variedad es paralelizable si y solo si el paquete tangente es trivial . Por definición, una variedad se enmarca si y solo si el paquete tangente es establemente trivial, lo que significa que para algún paquete trivial la suma de Whitney es trivial. Por ejemplo, la esfera n- dimensional S ⁿ está enmarcada para todo n , pero paralelizable solo para n = 1, 3, 7 (según los resultados de Bott-Milnor y Kervaire). ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle TM \ oplus E}$

Papel

Uno de los roles principales del paquete tangente es proporcionar un dominio y rango para la derivada de una función suave. Es decir, si es una función suave, con múltiples y suaves, su derivada es una función suave . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN}$

Topología y estructura suave

El paquete tangente viene equipado con una topología natural ( no la topología de unión disjunta ) y una estructura suave para convertirlo en un colector por derecho propio. La dimensión de es el doble de la dimensión de . ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$

Cada espacio tangente de una variedad n- dimensional es un espacio vectorial n- dimensional. Si es un subconjunto contráctil abierto de , entonces hay un difeomorfismo que se restringe a un isomorfismo lineal de cada espacio tangente a . Como colector, sin embargo, no siempre es difeomórfico al colector de producto . Cuando tiene la forma , se dice que el conjunto tangente es trivial . Los haces tangentes triviales suelen ocurrir en variedades equipadas con una "estructura de grupo compatible"; por ejemplo, en el caso de que la variedad sea un grupo de Lie . El haz tangente del círculo unitario es trivial porque es un grupo de Lie (bajo la multiplicación y su estructura diferencial natural). Sin embargo, no es cierto que todos los espacios con haces tangentes triviales sean grupos de Lie; las variedades que tienen un haz tangente trivial se denominan paralelizables . Así como las variedades se modelan localmente en el espacio euclidiano , los haces tangentes se modelan localmente en , donde hay un subconjunto abierto del espacio euclidiano. ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle TU \ a U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {x} U}$${\ Displaystyle \ {x \} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U}$

Si M es una variedad n- dimensional suave , entonces viene equipada con un atlas de gráficos , donde hay un conjunto abierto en y ${\ Displaystyle (U _ {\ alpha}, \ phi _ {\ alpha})}$${\ Displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ phi _ {\ alpha}: U _ {\ alpha} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

es un difeomorfismo . Estas coordenadas locales dan lugar a un isomorfismo para todos . Entonces podemos definir un mapa ${\ Displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ en U _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha}: \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ right) \ to \ mathbb {R} ^ {2n}}$

por

${\ Displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left (x, v ^ {i} \ partial _ {i} \ right) = \ left (\ phi _ {\ alpha} (x), v ^ {1}, \ cdots, v ^ {n} \ right)}$

Usamos estos mapas para definir la topología y la estructura uniforme . Un subconjunto de está abierto si y solo si ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle TM}$

${\ displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alpha} \ left (A \ cap \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ right) \ right)}$

está abierto en por cada Estos mapas son homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de y y por lo tanto servir como tablas para la estructura lisa en . Las funciones de transición en superposiciones de gráficos son inducidas por las matrices jacobianas de la transformación de coordenadas asociada y, por lo tanto, son mapas suaves entre subconjuntos abiertos de . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ alpha.}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} \ left (U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

El haz tangente es un ejemplo de una construcción más general llamada haz vectorial (que es en sí mismo un tipo específico de haz de fibras ). Explícitamente, el paquete tangente a una variedad -dimensional puede definirse como un paquete de vectores de rango sobre cuyas funciones de transición están dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas asociadas. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle M}$

Ejemplos de

El ejemplo más simple es el de . En este caso, el paquete tangente es trivial: cada uno es canónicamente isomorfo a través del mapa que resta , dando un difeomorfismo . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {x} \ mathbf {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {0} \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle T \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$

Otro ejemplo simple es el círculo unidad , (ver foto arriba). El haz tangente del círculo también es trivial e isomorfo a . Geométricamente, este es un cilindro de altura infinita. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1} \ times \ mathbb {R}}$

Los únicos haces tangentes que se pueden visualizar fácilmente son los de la línea real y el círculo unitario , ambos triviales. Para variedades bidimensionales, el haz tangente es tetradimensional y, por tanto, difícil de visualizar. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Un ejemplo simple de un conjunto tangente no trivial es el de la esfera unitaria : este conjunto tangente no es trivial como consecuencia del teorema de la bola peluda . Por tanto, la esfera no es paralelizable. ${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Campos vectoriales

Una asignación suave de un vector tangente a cada punto de una variedad se llama campo vectorial . Específicamente, un campo vectorial en una variedad es un mapa uniforme${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle V \ colon M \ to TM}$

tal que con para todos . En el lenguaje de los haces de fibras, este mapa se denomina sección . Por lo tanto, un campo vectorial en es una sección del paquete tangente de . ${\ Displaystyle V (x) = (x, V_ {x})}$${\ Displaystyle V_ {x} \ in T_ {x} M}$${\ Displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

El conjunto de todos los campos vectoriales activados se indica mediante . Los campos vectoriales se pueden sumar puntualmente ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Gamma (TM)}$

${\ Displaystyle (V + W) _ {x} = V_ {x} + W_ {x}}$

y multiplicado por funciones suaves en M

${\ Displaystyle (fV) _ {x} = f (x) V_ {x}}$

para obtener otros campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales adquiere la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en M , denotado . ${\ Displaystyle \ Gamma (TM)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$

Un campo vectorial local en es una sección local del paquete tangente. Es decir, un campo de vector local se define solo en algún conjunto abierto y se asigna a cada punto de un vector en el espacio tangente asociado. El conjunto de campos vectoriales locales en forma una estructura conocida como un haz de espacios vectoriales reales en . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle U \ subconjunto M}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

La construcción anterior se aplica igualmente bien al haz cotangente - el diferencial 1-formas en son precisamente las secciones del fibrado cotangente , que se asocian a cada punto de un 1-covector , que vectores mapa tangente a los números reales: . De manera equivalente, una forma diferencial 1 asigna un campo vectorial uniforme a una función uniforme . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)}$${\ Displaystyle \ omega: M \ to T ^ {*} M}$${\ Displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle \ omega _ {x} \ in T_ {x} ^ {*} M}$${\ Displaystyle \ omega _ {x}: T_ {x} M \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ omega \ in \ Gamma (T ^ {*} M)}$${\ Displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ Displaystyle \ omega (X) \ in C ^ {\ infty} (M)}$

Paquetes tangentes de orden superior

Dado que el paquete tangente es en sí mismo una variedad suave, el paquete tangente de segundo orden se puede definir mediante la aplicación repetida de la construcción del paquete tangente: ${\ displaystyle TM}$

${\ Displaystyle T ^ {2} M = T (TM). \,}$

En general, el paquete tangente de tercer orden se puede definir de forma recursiva como . ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle T ^ {k} M}$${\ Displaystyle T \ left (T ^ {k-1} M \ right)}$

Un mapa suave tiene una derivada inducida, para la cual el paquete tangente es el dominio y rango apropiados . De manera similar, los paquetes tangentes de orden superior proporcionan el dominio y el rango para las derivadas de orden superior . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$${\ displaystyle Df: TM \ rightarrow TN}$${\ Displaystyle D ^ {k} f: T ^ {k} M \ a T ^ {k} N}$

Una construcción distinta pero relacionada son los haces de chorros en un colector, que son haces que consisten en chorros .

Campo vectorial canónico en paquete tangente

En cada paquete tangente , considerado como una variedad en sí mismo, se puede definir un campo vectorial canónico como el mapa diagonal en el espacio tangente en cada punto. Esto es posible porque el espacio tangente de un espacio vectorial W es naturalmente un producto, ya que el espacio vectorial en sí es plano y, por lo tanto, tiene un mapa diagonal natural dado por bajo esta estructura de producto. La aplicación de esta estructura de producto al espacio tangente en cada punto y la globalización produce el campo vectorial canónico. De manera informal, aunque el colector está curvado, cada espacio tangente en un punto , , es plana, de modo que el colector de fibrado tangente es localmente un producto de un curvado y un piso Así, el paquete de la tangente del paquete de la tangente está localmente (usando para "elección de coordenadas "y para" identificación natural "): ${\ displaystyle TM}$ ${\ Displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M}$${\ Displaystyle TW \ cong W \ times W,}$${\ Displaystyle W \ a TW}$${\ Displaystyle w \ mapsto (w, w)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle T_ {x} M \ approx \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle \ approx}$${\ Displaystyle \ cong}$

${\ Displaystyle T (TM) \ approx T (M \ times \ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ times T (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ times (\ mathbb { R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n})}$

y el mapa es la proyección sobre las primeras coordenadas: ${\ Displaystyle TTM \ to TM}$

${\ Displaystyle (TM \ a M) \ times (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}).}$

Dividir el primer mapa a través de la sección cero y el segundo mapa por la diagonal produce el campo vectorial canónico.

Si son coordenadas locales para , el campo vectorial tiene la expresión ${\ Displaystyle (x, v)}$${\ displaystyle TM}$

${\ Displaystyle V = \ sum _ {i} \ left.v ^ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial v ^ {i}}} \ right | _ {(x, v)}.}$

Más concisamente, el primer par de coordenadas no cambia porque es la sección de un paquete y estos son solo el punto en el espacio base: el último par de coordenadas es la sección en sí. Esta expresión para el campo vectorial depende solo de , no de , ya que solo las direcciones de la tangente pueden identificarse naturalmente. ${\ Displaystyle (x, v) \ mapsto (x, v, 0, v)}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle x}$

Alternativamente, considere la función de multiplicación escalar:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ times TM \ to TM \\ (t, v) \ longmapsto tv \ end {cases}}}$

La derivada de esta función con respecto a la variable en el tiempo es una función , que es una descripción alternativa del campo vectorial canónico. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle t = 1}$${\ Displaystyle V: TM \ rightarrow T ^ {2} M}$

La existencia de un campo vectorial de este tipo en es análoga a la forma canónica en el paquete cotangente . A veces también se denomina campo vectorial de Liouville o campo vectorial radial . Usando uno puede caracterizar el paquete tangente. Esencialmente, se puede caracterizar usando 4 axiomas, y si una variedad tiene un campo vectorial que satisface estos axiomas, entonces la variedad es un paquete tangente y el campo vectorial es el campo vectorial canónico en él. Véase, por ejemplo, De León et al. ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$

Ascensores

Hay varias formas de levantar objetos para convertirlos en objetos . Por ejemplo, si es una curva hacia adentro , entonces (la tangente de ) es una curva hacia adentro . Por el contrario, sin más supuestos sobre (digamos, una métrica de Riemann ), no hay una elevación similar en el paquete cotangente . ${\ Displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ gamma '}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$

La elevación vertical de una función es la función definida por , donde es la proyección canónica. ${\ Displaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f ^ {\ vee}: TM \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f ^ {\ vee} = f \ circ \ pi}$${\ Displaystyle \ pi: TM \ rightarrow M}$

Ver también

• Empujar hacia adelante (diferencial)
• Paquete unitario tangente
• Paquete cotangente
• Paquete de marcos
• Isomorfismo musical

Notas

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 107, Providence: Sociedad Matemática Estadounidense |volume=tiene texto extra ( ayuda ). ISBN  978-0-8218-4815-9
• John M. Lee, Introducción a los colectores lisos , (2003) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-95495-3 .
• Jürgen Jost , Geometría y análisis geométrico de Riemann , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-42627-2
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN  0-8053-0102-X
• M. De León, E. Merino, JA Oubiña, M. Salgado, Una caracterización de haces tangentes y tangentes estables , Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [1]

enlaces externos

• "Paquete tangente" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
• PlanetMath: Paquete Tangente