Teorema de la bola peluda - Hairy ball theorem

Un intento fallido de peinar una bola 3 peluda (2 esferas), dejando un mechón en cada poste

Una rosquilla peluda (2 toros), por otro lado, es bastante fácil de peinar.

Un campo vectorial tangente continuo en una esfera de 2 con un solo polo, en este caso un campo dipolo con índice 2. Vea también una versión animada de este gráfico .

Una espira de pelo

El teorema de la bola peluda de la topología algebraica (a veces llamado teorema del erizo en Europa) establece que no existe un campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en n- esferas de dimensión uniforme . Para la esfera ordinaria, o 2-esfera, si f es una función continua que asigna un vector en R ³ a cada punto p en una esfera tal que f ( p ) es siempre tangente a la esfera en p , entonces hay al menos un polo, un punto donde el campo se desvanece (a p tal que f ( p ) = 0 ).

El teorema fue probado por primera vez por Henri Poincaré para la 2-esfera en 1885, y ampliado a dimensiones superiores en 1912 por Luitzen Egbertus Jan Brouwer .

El teorema se ha expresado coloquialmente como "no se puede peinar una bola peluda sin crear un remolino " o "no se puede peinar el cabello en un coco".

Contando ceros

Cada cero de un campo vectorial tiene un " índice " (distinto de cero) , y se puede demostrar que la suma de todos los índices en todos los ceros debe ser dos, porque la característica de Euler de la esfera 2 es dos . Por lo tanto, debe haber al menos un cero. Ésta es una consecuencia del teorema de Poincaré-Hopf . En el caso del toro , la característica de Euler es 0; y es posible "peinar una rosquilla peluda". A este respecto, se deduce que para cualquier variedad bidimensional regular compacta con característica de Euler distinta de cero, cualquier campo vectorial tangente continuo tiene al menos un cero.

Aplicación a la infografía

Un problema común en los gráficos por computadora es generar un vector distinto de cero en R ³ que sea ortogonal a uno dado distinto de cero. No existe una única función continua que pueda hacer esto para todas las entradas vectoriales distintas de cero. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para ver esto, considere el vector dado como el radio de una esfera y observe que encontrar un vector distinto de cero ortogonal al dado es equivalente a encontrar un vector diferente de cero que sea tangente a la superficie de esa esfera donde toca el radio. Sin embargo, el teorema de la bola peluda dice que no existe una función continua que pueda hacer esto para cada punto de la esfera (de manera equivalente, para cada vector dado).

Conexión Lefschetz

Existe un argumento estrechamente relacionado de la topología algebraica , que utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz . Dado que los números de Betti de una esfera 2 son 1, 0, 1, 0, 0, ... el número de Lefschetz (traza total en la homología ) del mapeo de identidad es 2. Al integrar un campo vectorial obtenemos (al menos un una pequeña parte de) un grupo de difeomorfismos de un parámetro en la esfera; y todas las asignaciones en él son homotópicas a la identidad. Por lo tanto, todos tienen también el número 2 de Lefschetz. Por lo tanto, tienen puntos fijos (ya que el número de Lefschetz es distinto de cero). Se necesitaría un poco más de trabajo para demostrar que esto implica que en realidad debe haber un cero del campo vectorial. Sugiere el enunciado correcto del teorema más general del índice de Poincaré-Hopf .

Corolario

Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que cualquier función continua que mapee una esfera de dimensión uniforme en sí misma tiene un punto fijo o un punto que se mapea en su propio punto antípoda . Esto se puede ver transformando la función en un campo vectorial tangencial de la siguiente manera.

Sea s la función que correlaciona la esfera consigo misma, y ​​sea v la función vectorial tangencial que se va a construir. Para cada punto p , construya la proyección estereográfica de s ( p ) con p como punto de tangencia. Entonces v ( p ) es el vector de desplazamiento de este punto proyectado relativo ap . Según el teorema de la bola peluda, existe una p tal que v ( p ) = 0 , de modo que s ( p ) = p .

Este argumento se rompe solo si existe un punto p para el cual s ( p ) es el punto antípoda de p , ya que dicho punto es el único que no puede proyectarse estereográficamente sobre el plano tangente de p .

Mayores dimensiones

La conexión con la característica de Euler χ sugiere la generalización correcta: la 2 n -sphere no tiene un campo que no desaparece vector para n ≥ 1 . La diferencia entre las dimensiones pares e impares es que, debido a que los únicos números Betti distintos de cero de la m -esfera son b ₀ y b _m , su suma alterna χ es 2 para m par y 0 para m impar.

De hecho, es fácil ver que una esfera de dimensión impar admite un campo vectorial tangente que no desaparece a través de un proceso simple de considerar las coordenadas del espacio euclidiano ambiental de dimensión par en pares. Es decir, se puede definir un campo vectorial tangente a especificando un campo vectorial dado por ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle S ^ {2n-1}}$${\ Displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {2n} \ to \ mathbb {R} ^ {2n}}$

${\ Displaystyle v (x_ {1}, \ dots, x_ {2n}) = (x_ {2}, - x_ {1}, \ dots, x_ {2n}, - x_ {2n-1}).}$

Para que este campo vectorial se restrinja a un campo vectorial tangente a la esfera unitaria , es suficiente verificar que el producto escalar con un vector unitario de la forma satisfactoria desaparece. Debido al emparejamiento de coordenadas, se ve ${\ Displaystyle S ^ {2n-1} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {2n})}$${\ Displaystyle \ | x \ | = 1}$

${\ Displaystyle v (x_ {1}, \ dots, x_ {2n}) \ bullet (x_ {1}, \ dots, x_ {2n}) = (x_ {2} x_ {1} -x_ {1} x_ {2}) + \ cdots + (x_ {2n} x_ {2n-1} -x_ {2n-1} x_ {2n}) = 0.}$

Para una esfera de 2 n , el espacio euclidiano ambiental es de dimensión impar, por lo que este simple proceso de emparejar coordenadas no es posible. Si bien esto no excluye la posibilidad de que todavía exista un campo vectorial tangente a la esfera de dimensión uniforme que no desaparece, el teorema de la bola peluda demuestra que, de hecho, no hay forma de construir tal campo vectorial. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n + 1}}$

Ver también

• Teorema del punto fijo
• Teorema del valor intermedio
• Campos vectoriales en esferas

Notas

Referencias

• Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Theorem", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi : 10.2307 / 2320587 , JSTOR  2320587

Otras lecturas

• Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma", American Mathematical Monthly , 111 (7): 599–603, doi : 10.1080 / 00029890.2004.11920120 , JSTOR  4145162 , S2CID  29784803
• Richeson, David S. (2008), "Peinar el cabello en un coco", La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Princeton University Press, págs. 202-218, ISBN 978-0-691-12677-7

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de la bola peluda" . MathWorld .