Colector de Riemann - Riemannian manifold

En geometría diferencial , una variedad de Riemann o espacio de Riemann ( M , g ) es una variedad real y suave M equipada con un producto interno positivo-definido g p en el espacio tangente T p M en cada punto p . Una convención común es tomar g como suave, lo que significa que para cualquier gráfico de coordenadas suaves ( U , x ) en M , las n 2 funciones

son funciones suaves . De la misma forma, también se podrían considerar métricas Riemannianas de Lipschitz o métricas Riemannianas medibles , entre muchas otras posibilidades.

La familia g p de productos internos se llama métrica de Riemann (o tensor métrico de Riemann) . Estos términos llevan el nombre del matemático alemán Bernhard Riemann . El estudio de las variedades riemannianas constituye el tema llamado geometría riemanniana .

Una métrica de Riemann (tensor) permite definir varias nociones geométricas en una variedad de Riemann, como el ángulo en una intersección, la longitud de una curva , el área de una superficie y análogos de dimensiones superiores ( volumen , etc.), la curvatura extrínseca de subvariedades y curvatura intrínseca de la propia variedad.

Introducción

En 1828, Carl Friedrich Gauss demostró su Theorema Egregium ("teorema notable" en latín), estableciendo una propiedad importante de las superficies. De manera informal, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar por completo midiendo distancias a lo largo de trayectorias en la superficie. Es decir, la curvatura no depende de cómo la superficie pueda estar incrustada en un espacio tridimensional. Consulte Geometría diferencial de superficies . Bernhard Riemann extendió la teoría de Gauss a espacios de dimensiones superiores llamados variedades de una manera que también permite medir distancias y ángulos y definir la noción de curvatura, nuevamente de una manera que es intrínseca a la variedad y no depende de su incrustación en espacios de dimensiones superiores. Albert Einstein utilizó la teoría de las variedades pseudo-riemannianas (una generalización de las variedades riemannianas) para desarrollar su teoría general de la relatividad . En particular, sus ecuaciones para la gravitación son restricciones sobre la curvatura del espacio-tiempo.

Definición

El paquete tangente de una variedad suave asigna a cada punto de un espacio vectorial llamado espacio tangente de en Una métrica de Riemann (por su definición) asigna a cada uno un producto interno positivo-definido junto con el cual viene una norma definida por La variedad suave dotada con esta métrica se denota una variedad riemanniana .

Cuando se le dé un sistema de lisas coordenadas locales en propuesta por funciones reales los vectores

formar una base del espacio vectorial para cualquier Relativo a esta base, se pueden definir los "componentes" del tensor métrico en cada punto por

Se podrían considerar estas como funciones individuales o como una única función con valor de matriz, teniendo en cuenta que la suposición "riemanniana" dice que se valora en el subconjunto que consiste en matrices simétricas definidas positivas.

En términos de álgebra tensorial , el tensor métrico se puede escribir en términos de la base dual {d x 1 , ..., d x n } del paquete cotangente como

Isometrías

Si y son dos variedades de Riemann, con un difeomorfismo , entonces se llama isometría si es decir, si

para todos y

Se dice que un mapa que no se asume que sea un difeomorfismo, es una isometría local si cada uno tiene una vecindad abierta tal que es un difeomorfismo e isometría.

Regularidad de una métrica de Riemann

Uno dice que la métrica de Riemann es continua si son continuas cuando se le da cualquier gráfico de coordenadas suave. Uno dice que es suave si estas funciones son suaves cuando se le da cualquier gráfico de coordenadas suave. También se podrían considerar muchos otros tipos de métricas riemannianas con este espíritu.

En la mayoría de los relatos expositivos de la geometría riemanniana, las métricas siempre se consideran suaves. Sin embargo, puede haber razones importantes para considerar métricas que son menos fluidas. Las métricas riemannianas producidas por métodos de análisis geométrico , en particular, pueden ser menos que fluidas. Véanse, por ejemplo, (Gromov 1999) y (Shi y Tam 2002).

Visión general

A continuación se comentarán ejemplos de variedades de Riemann. Un famoso teorema de John Nash afirma que, dado cualquier suavizar variedad de Riemann existe una (generalmente grande) número y una incrustación de tal manera que la presión de regreso por la norma en métrica de Riemann es informal, toda la estructura de una variedad de Riemann suavizar puede ser codificado por un difeomorfismo a una cierta subvariedad incrustada de algún espacio euclidiano. En este sentido, es discutible que no se pueda ganar nada con la consideración de variedades suaves abstractas y sus métricas riemannianas. Sin embargo, hay muchas variedades naturales suaves de Riemann, como el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional y el espacio hiperbólico , de las cuales cualquier representación como una subvariedad del espacio euclidiano fallará en representar sus notables simetrías y propiedades tan claramente como su resumen. las presentaciones hacen.

Ejemplos de

Espacio euclidiano

Vamos a denotar las coordenadas estándar en A continuación, defina por

Expresado de manera diferente: en relación con las coordenadas estándar, la representación local viene dada por el valor constante

Esto es claramente una métrica de Riemann, y se llama la estructura de Riemann estándar en También se conoce como espacio euclídeo de dimensión n y g ij puede también se llama el (canónico) métrica euclidiana .

Subvariedades empotradas

Dejado ser una variedad de Riemann y dejar ser una subvariedad incrustado de que es al menos Entonces la restricción de g a vectores tangente a lo largo de N define una métrica de Riemann sobre N .

  • Por ejemplo, considere cuál es una subvarietal incrustada suave del espacio euclidiano con su métrica estándar. La métrica de Riemann que esto induce se llama métrica estándar o métrica canónica en
  • Hay muchos ejemplos similares. Por ejemplo, cada elipsoide de tiene una métrica de Riemann natural. El gráfico de una función suave es una subvariedad incrustada, por lo que también tiene una métrica de Riemann natural.

Inmersiones

Sea una variedad de Riemann y sea ​​un mapa diferenciable. Entonces uno puede considerar el retroceso de via , que es un 2-tensor simétrico definido por

¿Dónde está el empujón de por

En esta configuración, generalmente no será una métrica de Riemann activada ya que no es positiva-definida. Por ejemplo, si es constante, entonces es cero. De hecho, es una métrica de Riemann si y solo si es una inmersión , lo que significa que el mapa lineal es inyectivo para cada

  • Un ejemplo importante ocurre cuando no está simplemente conectado, de modo que hay un mapa de cobertura. Esto es una inmersión, por lo que la cobertura universal de cualquier variedad de Riemann hereda automáticamente una métrica de Riemann. De manera más general, pero por el mismo principio, cualquier espacio de cobertura de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann.
  • Además, una subvariedad sumergida de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann.

Métricas de producto

Sea y sea ​​dos variedades de Riemann, y considere el producto cartesiano con la estructura lisa del producto habitual. Las métricas de Riemann y, naturalmente, ponen una métrica de Riemann en la que se pueden describir de varias formas.

  • Considerando la descomposición se puede definir
  • Sea un gráfico de coordenadas suave en y sea ​​un gráfico de coordenadas suave en Entonces es un gráfico de coordenadas suave en Por conveniencia, denotemos la colección de matrices reales simétricas definidas positivas . Denote la representación de coordenadas de relativo a por y denote la representación de coordenadas de relativo a por Entonces la representación de coordenadas local de relativo a está dada por

Un ejemplo estándar es considerar la definición de n-toros como el producto de n veces.Si uno da cada copia de su métrica estándar de Riemann, considerándola como una subvariedad incorporada (como arriba), entonces se puede considerar la métrica de Riemann del producto en Se llama un toro plano .

Combinaciones convexas de métricas

Sea y sea ​​dos métricas de Riemann en Entonces, para cualquier número

es también una métrica de Riemann en Más generalmente, si y son dos números positivos cualesquiera, entonces es otra métrica de Riemann.

Cada colector suave tiene una métrica de Riemann.

Este es un resultado fundamental. Aunque gran parte de la teoría básica de la métrica de Riemann se puede desarrollar utilizando únicamente que una variedad suave es localmente euclidiana, para este resultado es necesario incluir en la definición de "variedad suave" que es Hausdorff y paracompacta. La razón es que la prueba hace uso de una partición de unidad .

Prueba  -

Sea M una variedad diferenciable y {( U α , φ α ) | αI } un atlas localmente finito de subconjuntos abiertos U α de M y difeomorfismos en subconjuntos abiertos de R n

Sea { τ α } αI una partición diferenciable de unidad subordinada al atlas dado.

Luego defina la métrica g en M por

donde g can es la métrica euclidiana en R n y es su retroceso a lo largo de φ β .

Esto se ve fácilmente ser una métrica de M .

La estructura espacial métrica de las variedades riemannianas conectadas de forma continua

La longitud de las curvas diferenciables continuamente por partes

Si es diferenciable, entonces asigna a cada vector en el espacio vectorial cuyo tamaño puede ser medido por la norma. Entonces define una función no negativa en el intervalo. La longitud se define como la integral de esta función; sin embargo, como se presenta aquí, no hay razón para esperar que esta función sea integrable. Es típico suponer que g es continua y continuamente diferenciable, de modo que la función a integrar es no negativa y continua, y por lo tanto la longitud de

está bien definido. Esta definición se puede ampliar fácilmente para definir la longitud de cualquier curva diferenciable continuamente por partes.

En muchos casos, como al definir el tensor de curvatura de Riemann , es necesario exigir que g tenga más regularidad que mera continuidad; esto se discutirá en otra parte. Por ahora, la continuidad de g será suficiente para utilizar la longitud definida anteriormente para dotar a M de la estructura de un espacio métrico , siempre que esté conectado.

La estructura del espacio métrico

Precisamente, defina por

En su mayoría, es sencillo verificar la claridad de la función, su propiedad de simetría, su propiedad de reflexividad y la desigualdad del triángulo, aunque existen algunas complicaciones técnicas menores (como verificar que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una ruta diferenciable por partes). Es más fundamental entender que asegura y, por tanto, que satisface todos los axiomas de una métrica.

La observación que subyace a la prueba anterior, sobre la comparación entre las longitudes medidas por gy las longitudes euclidianas medidas en un gráfico de coordenadas suaves, también verifica que la topología espacial métrica de coincide con la estructura espacial topológica original de

Aunque la longitud de una curva viene dada por una fórmula explícita, generalmente es imposible escribir la función de distancia por cualquier medio explícito. De hecho, si es compacto, incluso cuando g es suave, siempre existen puntos en los que no es diferenciable, y puede ser muy difícil incluso determinar la ubicación o la naturaleza de estos puntos, incluso en casos aparentemente simples como cuando es un elipsoide.

Geodésicas

Como en la sección anterior, sea ​​una variedad Riemanniana conectada y continua; Considere el espacio métrico asociado En relación con esta estructura de espacio métrico, se dice que una ruta es una geodésica de velocidad unitaria si para cada existe un intervalo que contiene y tal que

De manera informal, se puede decir que uno está pidiendo localmente 'estirarse' tanto como pueda, sujeto a la restricción de velocidad unitaria (considerada informalmente). La idea es que si es (por partes) continuamente diferenciable y para todos, entonces se tiene automáticamente aplicando la desigualdad del triángulo a una aproximación de suma de Riemann de la integral que define la longitud de Entonces, la condición geodésica de velocidad unitaria como se indica arriba requiere y debe ser lo más lejos posible el uno del otro. El hecho de que solo busquemos curvas que se estiren localmente se refleja en los dos primeros ejemplos que se dan a continuación; la forma global de puede obligar incluso a las geodésicas más inocuas a doblarse hacia atrás y cruzarse.

  • Considere el caso que es el círculo con su métrica estándar de Riemann, y está dado por Recuerde que se mide por las longitudes de las curvas a lo largo , no por las trayectorias en línea recta en el plano. Este ejemplo también muestra la necesidad de seleccionar el subintervalo ya que la curva se repite sobre sí misma de una manera particularmente natural.
  • Del mismo modo, si es la esfera redonda con su métrica estándar de Riemann, entonces una ruta de velocidad unitaria a lo largo de un círculo ecuatorial será una geodésica. Una ruta de velocidad unitaria a lo largo de los otros círculos latitudinales no será geodésica.
  • Considere el caso que es con su métrica estándar de Riemann. Entonces, una línea de velocidad unitaria como es una geodésica, pero la curva del primer ejemplo anterior no lo es.

Tenga en cuenta que las geodésicas de velocidad unitaria, como se definen aquí, son por necesidad continuas, y de hecho Lipschitz , pero no son necesariamente diferenciables o diferenciables por partes.

El teorema de Hopf-Rinow

Como arriba, sea ​​una variedad riemanniana conectada y continua. El teorema de Hopf-Rinow , en este contexto, dice que (Gromov 1999)

  • si el espacio métrico está completo (es decir, cada secuencia -Cauchy converge) entonces
    • cada subconjunto cerrado y acotado de es compacto.
    • dado cualquiera, hay una unidad geodésica de velocidad de a tal que para todos

La esencia de la prueba es que una vez que se estableció el primer medio, se puede aplicar directamente el Teorema de Arzelá-Ascoli , en el contexto del espacio métrico compacto a una secuencia de trozos continuamente diferenciables curvas unidad de velocidad de a cuyas longitudes aproximado El El límite subsecuente resultante es el geodésico deseado.

La supuesta integridad de es importante. Por ejemplo, considere el caso que es el plano perforado con su métrica estándar de Riemann, y uno toma y No hay geodésica de velocidad unitaria de uno a otro.

El diámetro

Sea una variedad riemanniana conectada y continua. Como con cualquier espacio métrico, se puede definir el diámetro de ser

El teorema de Hopf-Rinow muestra que si es completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto. Por el contrario, si es compacto, entonces la función tiene un máximo, ya que es una función continua en un espacio métrico compacto. Esto prueba la siguiente afirmación:

  • Si está completo, entonces es compacto si y solo si tiene un diámetro finito.

Este no es el caso sin el supuesto de integridad; para contraejemplos se podría considerar cualquier subconjunto acotado abierto de un espacio euclidiano con la métrica estándar de Riemann.

Tenga en cuenta que, de manera más general, y con la misma prueba de una línea, cada espacio métrico compacto tiene un diámetro finito. Sin embargo, la siguiente afirmación es falsa : "Si un espacio métrico está completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto". Para obtener un ejemplo de un espacio métrico completo y no compacto de diámetro finito, considere

con la métrica uniforme

Entonces, aunque todos los términos en el corolario anterior del teorema de Hopf-Rinow involucran solo la estructura métrica del espacio , es importante que la métrica sea inducida a partir de una estructura riemanniana.

Métricas de Riemann

Completitud geodésica

Una variedad Riemanniana M es geodésicamente completa si para todo pM , el mapa exponencial exp p se define para todo v ∈ T p M , es decir, si cualquier γ ( t ) geodésico a partir de p se define para todos los valores del parámetro tR . El teorema de Hopf-Rinow afirma que M es geodésicamente completo si y solo si está completo como un espacio métrico .

Si M es completo, entonces M no es extensible en el sentido de que no es isométrico a una subvariedad propia abierta de cualquier otra variedad de Riemann. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen variedades no ampliables que no están completas.

Colectores de dimensiones infinitas

Los enunciados y teoremas anteriores son para variedades de dimensión finita, variedades cuyos gráficos se asignan a subconjuntos abiertos de . Estos pueden extenderse, hasta cierto punto, a variedades de dimensión infinita; es decir, variedades que se modelan a partir de un espacio vectorial topológico ; por ejemplo, variedades Fréchet , Banach y Hilbert .

Definiciones

Las métricas de Riemann se definen de manera similar al caso de dimensión finita. Sin embargo, existe una distinción entre dos tipos de métricas de Riemann:

  • Una débil de Riemann métrica en es una función suave , tal que para cualquier la restricción es un producto interno en .
  • Una métrica riemanniana fuerte en es una métrica riemanniana débil, tal que induce la topología en . Tenga en cuenta que si no es una variedad de Hilbert, entonces no puede ser una métrica fuerte.

Ejemplos de

  • Si es un espacio de Hilbert , entonces uno puede identificarse con cualquiera . Al establecer para todos , se obtiene una métrica riemanniana fuerte.
  • Sea una variedad compacta de Riemann y denote por su grupo de difeomorfismo. Es una variedad suave ( ver aquí ) y, de hecho, un grupo de Lie . Su paquete tangente en la identidad es el conjunto de campos vectoriales suaves en . Vamos a ser una forma de volumen en . Entonces se puede definir , la métrica débil de Riemann, en . Deje , . Entonces para y definir

La estructura del espacio métrico

La longitud de las curvas se define de manera similar al caso de dimensión finita. La función se define de la misma manera y se llama distancia geodésica . En el caso de dimensión finita, la prueba de que esta función es una métrica utiliza la existencia de un conjunto abierto precompacto alrededor de cualquier punto. En el caso infinito, los conjuntos abiertos ya no son precompactos y, por lo tanto, esta declaración puede fallar.

  • Si es una métrica riemanniana fuerte , entonces separa puntos (por lo tanto, es una métrica) e induce la topología original.
  • Si es una métrica de Riemann débil pero no fuerte, puede fallar al separar puntos o incluso estar degenerada.

Para ver un ejemplo de esto último, consulte Valentino y Daniele (2019).

El teorema de Hopf-Rinow

En el caso de métricas riemannianas fuertes, una parte del Hopf-Rinow de dimensión finita todavía funciona.

Teorema : Sea una variedad riemanniana fuerte. Entonces, la completitud métrica (en la métrica ) implica la completitud geodésica (las geodésicas existen para siempre). La prueba se puede encontrar en (Lang 1999, Capítulo VII, Sección 6). Los otros enunciados del caso de dimensión finita pueden fallar. Puede encontrar un ejemplo aquí .

Si es una métrica débil de Riemann, entonces ninguna noción de completitud implica la otra en general.

Ver también

Referencias

  • Lee, John M. (2018). Introducción a los colectores de Riemann . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.
  • do Carmo, Manfredo (1992). Geometría riemanniana . Basilea: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3490-2.
  • Gromov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos (basado en la edición original francesa de 1981). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. ISBN 0-8176-3898-9.
  • Jost, Jürgen (2008). Geometría y análisis geométrico de Riemann (5ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77340-5.
  • Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). "Teorema de masa positiva y los comportamientos de frontera de variedades compactas con curvatura escalar no negativa". J. Geom diferencial . 62 (1): 79-125.
  • Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-0541-8.
  • Magnani, Valentino; Tiberio, Daniele (2020). "Un comentario sobre la desaparición de distancias geodésicas en dimensiones infinitas". Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 148 (1): 3653–3656.

enlaces externos