Mapa multilineal - Multilinear map

En álgebra lineal , un mapa multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, un mapa multilineal es una función

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde y son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada uno , si todas las variables pero se mantienen constantes, entonces es una función lineal de . ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})}$${\displaystyle v_{i}}$

Un mapa multilineal de una variable es un mapa lineal y de dos variables es un mapa bilineal . De manera más general, un mapa multilineal de k variables se denomina mapa k- lineal . Si el codominio de un mapa multilineal es el campo de escalares , se denomina forma multilineal . Los mapas multilineales y las formas multilineales son objetos fundamentales de estudio en el álgebra multilineal .

Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar mapas k- lineales simétricos , antisimétricos y alternos . Estos últimos coinciden si el anillo (o campo ) subyacente tiene una característica diferente de dos, de lo contrario los dos primeros coinciden.

Ejemplos de

• Cualquier mapa bilineal es un mapa multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en un espacio vectorial es un mapa multilineal, al igual que el producto cruzado de los vectores en .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• El determinante de una matriz es una función multilineal alterna de las columnas (o filas) de una matriz cuadrada .
• Si es una función C ^k , entonces la derivada de en cada punto de su dominio puede verse como una función lineal simétrica .${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\!}$${\displaystyle F\!}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Representación coordinada

Dejar

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

ser un mapa multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita, donde tiene dimensión y tiene dimensión . Si elegimos una base para cada uno y una base para (usando negrita para los vectores), entonces podemos definir una colección de escalares por ${\displaystyle V_{i}\!}$${\displaystyle d_{i}\!}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle d\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$${\displaystyle V_{i}\!}$${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Entonces los escalares determinan completamente la función multilineal . En particular, si ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

para , entonces ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Ejemplo

Tomemos una función trilineal

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

donde V _i = R ² , d _i = 2, i = 1 , 2, 3 y W = R , d = 1 .

Una base para cada V _i es Let ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

donde . En otras palabras, la constante es un valor de función en uno de los ocho posibles triples de vectores base (ya que hay dos opciones para cada uno de los tres ), a saber: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$${\displaystyle A_{ijk}}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Cada vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

El valor de la función en una colección arbitraria de tres vectores se puede expresar como ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.}$

O, en forma expandida como

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Relación con los productos tensoriales

Existe una correspondencia uno a uno natural entre mapas multilineales

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

y mapas lineales

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde denota el producto tensorial de . La relación entre las funciones y viene dada por la fórmula ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle f\!}$${\displaystyle F\!}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

Funciones multilineales en matrices n × n

Se pueden considerar funciones multilineales, en una matriz n × n sobre un anillo conmutativo K con identidad, como una función de las filas (o equivalentemente las columnas) de la matriz. Let A sea una matriz tal y una _i , 1 ≤ i ≤ n , sea de las filas de A . Entonces la función multilineal D se puede escribir como

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

satisfactorio

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Si dejamos representar la j- ésima fila de la matriz identidad, podemos expresar cada fila a _i como la suma ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Usando la multilinealidad de D reescribimos D ( A ) como

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Continuando con esta sustitución para cada a _i obtenemos, para 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}),}$

donde, dado que en nuestro caso 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle \sum _{1\leq k_{i}\leq n}=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}}$

es una serie de sumas anidadas.

Por lo tanto, D ( A ) está determinado únicamente por la forma en que D opera . ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

Ejemplo

En el caso de matrices 2 × 2 obtenemos

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})\,}$

Dónde y . Si restringimos a ser una función alterna entonces y . Dejando que obtengamos la función determinante en matrices de 2 × 2: ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Propiedades

• Un mapa multilineal tiene un valor de cero siempre que uno de sus argumentos sea cero.

Ver también

• Forma algebraica
• Forma multilineal
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• Tensores

Referencias