Incrustación - Embedding

En matemáticas , una incrustación (o incrustación ) es una instancia de alguna estructura matemática contenida dentro de otra instancia, como un grupo que es un subgrupo .

Cuando algún objeto X se dice que está incrustado en otro objeto Y , la incrustación está dada por algunos inyectiva mapa y conservadora de la estructura f  : X → Y . El significado preciso de "preservar la estructura" depende del tipo de estructura matemática de la que X e Y son instancias. En la terminología de la teoría de categorías , un mapa que preserva la estructura se llama morfismo .

El hecho de que un mapa f  : X → Y es una incrustación se indica a menudo por el uso de una "flecha enganchado" ( U + 21aa ↪ hacia la derecha de la flecha con HOOK ); así: (Por otro lado, esta notación a veces se reserva para mapas de inclusión ). ${\ Displaystyle f: X \ hookrightarrow Y.}$

Dados X e Y , pueden ser posibles varias incrustaciones diferentes de X en Y. En muchos casos de interés hay una incrustación estándar (o "canónica"), como las de los números naturales en los números enteros , los números enteros en los números racionales , los números racionales en los números reales y los números reales en los números complejos. . En tales casos, es común para identificar el dominio X con su imagen f ( X ) contenidos en Y , de modo que f ( X ) ⊆ Y .

Topología y geometría

Topología general

En topología general , una incrustación es un homeomorfismo en su imagen. Más explícitamente, un mapa continuo inyectivo entre espacios topológicos y es una incrustación topológica si produce un homeomorfismo entre y (donde lleva la topología del subespacio heredada ). Entonces, intuitivamente, la incrustación nos permite tratar como un subespacio de . Cada incrustación es inyectiva y continua . Todo mapa inyectivo, continuo y abierto o cerrado es una incrustación; sin embargo, también hay incrustaciones que no están abiertas ni cerradas. Este último sucede si la imagen no es ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado en . ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle Y}$

Para un espacio dado , la existencia de una incrustación es una invariante topológica de . Esto permite distinguir dos espacios si uno se puede empotrar en un espacio y el otro no. ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X \ a Y}$${\ Displaystyle X}$

Topología diferencial

En topología diferencial : Sea y sea variedades suaves y sea ​​un mapa suave. Entonces se llama inmersión si su derivada es inyectiva en todas partes. Una incrustación , o una incrustación suave , se define como una inmersión inyectiva que es una incrustación en el sentido topológico mencionado anteriormente (es decir, homeomorfismo en su imagen). ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f: M \ a N}$${\ Displaystyle f}$

En otras palabras, el dominio de una incrustación es difeomórfico a su imagen y, en particular, la imagen de una incrustación debe ser una subvariedad . Una inmersión es precisamente una incrustación local , es decir, para cualquier punto hay un barrio tal que es una incrustación. ${\ Displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle x \ in U \ subset M}$${\ Displaystyle f: U \ a N}$

Cuando la variedad de dominio es compacta, la noción de una incrustación suave es equivalente a la de una inmersión inyectiva.

Un caso importante es . El interés aquí radica en qué tan grande debe ser para una inserción, en términos de la dimensión de . El teorema de inclusión de Whitney establece que es suficiente y es el mejor límite lineal posible. Por ejemplo, el espacio proyectivo real RP ^m de dimensión , donde es una potencia de dos, requiere para una incrustación. Sin embargo, esto no se aplica a las inmersiones; por ejemplo, RP ² puede sumergirse como se muestra explícitamente en la superficie de Boy, que tiene autointersecciones. La superficie romana no es una inmersión ya que contiene tapones transversales . ${\ Displaystyle N = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n = 2m}$ ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n = 2m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Una incrustación es adecuada si se comporta bien con respecto a los límites : se requiere que el mapa sea ​​tal que ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

• ${\ Displaystyle f (\ parcial X) = f (X) \ cap \ parcial Y}$ , y
• ${\ Displaystyle f (X)}$ es transversal a en cualquier punto de . ${\ Displaystyle \ Y parcial}$${\ Displaystyle f (\ X parcial)}$

La primera condición es equivalente a tener y . La segunda condición, en términos generales, dice que f ( X ) no es tangente a la frontera de Y . ${\ Displaystyle f (\ X parcial) \ subseteq \ Y parcial}$${\ Displaystyle f (X \ setminus \ parcial X) \ subseteq Y \ setminus \ parcial Y}$

Geometría riemanniana y pseudo-riemanniana

En geometría riemanniana y geometría pseudo-riemanniana: sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann o, más generalmente , variedades pseudo-riemannianas . Una incrustación isométrica es una incrustación suave f  : M → N que conserva la (pseudo-) métrica en el sentido de que g es igual al retroceso de h por f , es decir, g = f * h . Explícitamente, para dos vectores tangentes cualesquiera tenemos ${\ Displaystyle v, w \ en T_ {x} (M)}$

${\ Displaystyle g (v, w) = h (df (v), df (w)).}$

De manera análoga, la inmersión isométrica es una inmersión entre variedades (pseudo) -Riemannianas que conserva las métricas (pseudo) -Riemannianas.

De manera equivalente, en la geometría de Riemann, una incrustación (inmersión) isométrica es una incrustación suave (inmersión) que conserva la longitud de las curvas (cf. Teorema de incrustación de Nash ).

Álgebra

En general, para una categoría algebraica C , una incrustación entre dos estructuras C -algebraicas X e Y es un C -morfismo e  : X → Y que es inyectivo.

Teoría de campo

En la teoría de campo , una incrustación de un campo E en un campo F es un homomorfismo de anillos σ  : E → F .

El núcleo de σ es un ideal de E que no puede ser todo el campo E , debido a la condición σ (1) = 1 . Además, es una propiedad bien conocida de los campos que sus únicos ideales son el ideal cero y todo el campo en sí. Por lo tanto, el kernel es 0, por lo que cualquier incrustación de campos es un monomorfismo . Por lo tanto, E es isomorfo a la subcampo σ ( E ) de F . Esto justifica la inclusión de nombres para un homomorfismo arbitrario de campos.

Álgebra universal y teoría de modelos

Si σ es una firma y son σ- estructuras (también llamadas σ-álgebras en álgebra universal o modelos en teoría de modelos ), entonces un mapa es una σ-incrustación si todo lo siguiente se cumple: ${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle h: A \ to B}$

• ${\ Displaystyle h}$ es inyectable,
• para cada símbolo de función -ary y tenemos , ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle f \ in \ sigma}$${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in A ^ {n},}$${\ Displaystyle h (f ^ {A} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = f ^ {B} (h (a_ {1}), \ ldots, h (a_ {n}) )}$
• para cada símbolo de relación -ary y tenemos iff ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R \ in \ sigma}$${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in A ^ {n},}$${\ Displaystyle A \ modelos R (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ Displaystyle B \ modelos R (h (a_ {1}), \ ldots, h (a_ {n})).}$

Aquí hay una notación teórica modelo equivalente a . En la teoría de modelos también hay una noción más fuerte de incrustación elemental . ${\ Displaystyle A \ modelos R (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ en R ^ {A}}$

Teoría de órdenes y teoría de dominios

En la teoría de órdenes , una incrustación de conjuntos parcialmente ordenados es una función F entre conjuntos parcialmente ordenados X e Y tal que

${\ Displaystyle \ forall x_ {1}, x_ {2} \ in X: x_ {1} \ leq x_ {2} \ iff F (x_ {1}) \ leq F (x_ {2}).}$

La inyectividad de F se sigue rápidamente de esta definición. En la teoría de dominios , un requisito adicional es que

${\ Displaystyle \ forall y \ in Y: \ {x \ mid F (x) \ leq y \}}$ se dirige .

Espacios métricos

Un mapeo de espacios métricos se llama incrustación (con distorsión ) si ${\ Displaystyle \ phi: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle C> 0}$

${\ Displaystyle Ld_ {X} (x, y) \ leq d_ {Y} (\ phi (x), \ phi (y)) \ leq CLd_ {X} (x, y)}$

por alguna constante . ${\ Displaystyle L> 0}$

Espacios normativos

Un caso especial importante es el de los espacios normativos ; en este caso, es natural considerar incrustaciones lineales.

Una de las preguntas básicas que se pueden hacer sobre un espacio normado de dimensión finita es, ¿cuál es la dimensión máxima en la que el espacio de Hilbert se puede incrustar linealmente con una distorsión constante?${\ Displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ ell _ {2} ^ {k}}$${\ Displaystyle X}$

La respuesta está dada por el teorema de Dvoretzky .

Teoría de categorías

En la teoría de categorías , no existe una definición satisfactoria y generalmente aceptada de incrustaciones que sea aplicable a todas las categorías. Uno esperaría que todos los isomorfismos y todas las composiciones de incrustaciones sean incrustaciones, y que todas las incrustaciones sean monomorfismos. Otros requisitos típicos son: cualquier monomorfismo extremo es una incrustación y las incrustaciones son estables bajo retrocesos .

Idealmente, la clase de todos los subobjetos incrustados de un objeto dado, hasta el isomorfismo, también debería ser pequeña y, por tanto, un conjunto ordenado . En este caso, se dice que la categoría está bien potenciada con respecto a la clase de incrustaciones. Esto permite definir nuevas estructuras locales en la categoría (como un operador de cierre ).

En una categoría concreta , una incrustación es un morfismo ƒ :  A  →  B que es una función inyectiva del conjunto subyacente de A al conjunto subyacente de B y también es un morfismo inicial en el siguiente sentido: Si g es una función del subyacente conjunto de un objeto C al conjunto subyacente de a , y si su composición con ƒ es un morfismo ƒg :  C  →  B , entonces g sí mismo es un morfismo.

Un sistema de factorización para una categoría también da lugar a una noción de incrustación. Si ( E ,  M ) es un sistema de factorización, entonces los morfismos en M pueden ser considerados como las incrustaciones, especialmente cuando la categoría es bien alimentado con respecto a  M . Las teorías concretas a menudo tienen un sistema de factorización en el que M consiste en las incrustaciones en el sentido anterior. Este es el caso de la mayoría de los ejemplos que se dan en este artículo.

Como es habitual en la teoría de categorías, existe un concepto dual , conocido como cociente. Todas las propiedades anteriores se pueden dualizar.

Una incrustación también puede referirse a un functor de incrustación .

Ver también

• Inmersión cerrada
• Cubrir
• Reducción de dimensión
• Inmersión
• Lema de Johnson-Lindenstrauss
• Sub-colector
• Subespacio
• Espacio universal

Notas

Referencias

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enlaces externos

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos) .
• Integración de colectores en el Atlas de colectores

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