Inmersión (matemáticas) - Immersion (mathematics)

La botella de Klein , sumergida en 3 espacios.

En matemáticas , una inmersión es una función diferenciable entre variedades diferenciables cuya derivada es inyectiva en todas partes . Explícitamente, f : M → N es una inmersión si

{\ Displaystyle D_ {p} f: T_ {p} M \ a T_ {f (p)} N \,}

es una función inyectiva en cada punto p de M (donde T _p X denota el espacio tangente de una variedad X en un punto p en X ). De manera equivalente, f es una inmersión si su derivada tiene un rango constante igual a la dimensión de M :

{\ Displaystyle \ operatorname {rango} \, D_ {p} f = \ dim M.}

La función f en sí misma no necesita ser inyectiva, solo su derivada debe serlo.

Un concepto relacionado es el de incrustación . Una incrustación suave es una inmersión inyectiva f : M → N que es también una inmersión topológica , de modo que M es difeomorfa a su imagen en N . Una inmersión es precisamente una incrustación local, es decir, para cualquier punto x ∈ M hay un vecindario , U ⊆ M , de x tal que f : U → N es una incrustación y, a la inversa, una incrustación local es una inmersión. Para variedades de infinitas dimensiones, a veces se considera que esta es la definición de una inmersión.

Un sub- colector sumergido por inyección que no es una incrustación.

Si M es compacto , una inmersión inyectiva es una incrustación, pero si M no es compacto, las inmersiones inyectables no necesitan ser incrustaciones; comparar con biyecciones continuas versus homeomorfismos .

Homotopía regular

Una homotopía regular entre dos inmersiones f y g de una variedad M a una variedad N se define como una función diferenciable H : M × [0,1] → N tal que para todo t en [0, 1] la función H _t : M → N definido por H _t ( x ) = H ( x , t ) para todo x ∈ M es una inmersión, con H ₀ = f , H ₁ = g . Por tanto, una homotopía regular es una homotopía mediante inmersiones.

Clasificación

Hassler Whitney inició el estudio sistemático de inmersiones y homotopías regulares en la década de 1940, demostrando que para 2 m < n + 1 cada mapa f : M ^m → N ⁿ de una variedad m -dimensional a una variedad n- dimensional es homotópica a una inmersión , y de hecho a una incrustación de 2 m < n ; estos son el teorema de inmersión de Whitney y el teorema de incrustación de Whitney .

Stephen Smale expresó las clases de homotopía regular de inmersiones f : M ^m → R ⁿ como los grupos de homotopía de una determinada variedad de Stiefel . La eversión de la esfera fue una consecuencia particularmente sorprendente.

Morris Hirsch generalizó la expresión de Smale a una descripción de la teoría de homotopía de las clases de inmersiones de homotopía regular de cualquier variedad m -dimensional M ^m en cualquier variedad n- dimensional N ⁿ .

Mikhail Gromov generalizó la clasificación de inmersiones de Hirsch-Smale .

Existencia

La tira de Möbius no se sumerge en la codimensión 0 porque su paquete tangente no es trivial.

La principal obstrucción a la existencia de una inmersión i : M ^m → R ⁿ es el haz normal estable de M , según lo detectan sus clases características , en particular sus clases Stiefel-Whitney . Es decir, dado que R ⁿ es paralelizable , el retroceso de su haz tangente a M es trivial; dado que este retroceso es la suma directa del paquete tangente (intrínsecamente definido) en M , TM , que tiene una dimensión m , y del paquete normal ν de la inmersión i , que tiene una dimensión n - m , para que haya una codimensión k inmersión de M , debe haber un paquete vectorial de dimensión k , ξ ^k , que sustituya al paquete normal ν , de modo que TM ⊕ ξ ^k sea trivial. Por el contrario, dado tal paquete, una inmersión de M con este paquete normal es equivalente a una inmersión de codimensión 0 del espacio total de este paquete, que es una variedad abierta.

El paquete normal estable es la clase de paquetes normales más paquetes triviales y, por lo tanto, si el paquete normal estable tiene una dimensión cohomológica k , no puede provenir de un paquete normal (inestable) de dimensión menor que k . Por tanto, la dimensión cohomológica del haz normal estable, detectada por su clase característica más alta que no desaparece, es una obstrucción para las inmersiones.

Dado que las clases de características se multiplican bajo la suma directa de haces de vectores, esta obstrucción se puede enunciar intrínsecamente en términos del espacio M y su conjunto tangente y álgebra de cohomología. Esta obstrucción fue establecida (en términos del haz tangente, no del haz normal estable) por Whitney.

Por ejemplo, la tira de Möbius tiene un paquete tangente no trivial, por lo que no puede sumergirse en la codimensión 0 (en R ² ), aunque se incrusta en la codimensión 1 (en R ³ ).

William S. Massey ( 1960 ) mostró que estas clases características (las clases Stiefel-Whitney del paquete normal estable) desaparecen por encima del grado n - α ( n ) , donde α ( n ) es el número de dígitos "1" cuando n es escrito en binario; este límite es nítido, como lo realiza el espacio proyectivo real . Esto dio evidencia a la Conjetura de Inmersión , es decir, que cada n- múltiple podría sumergirse en la codimensión n - α ( n ) , es decir, en R ^{2 n −α ( n )} . Esta conjetura fue probada por Ralph Cohen ( 1985 ).

Codimensión 0

Codimensión 0 inmersiones son equivalentemente relativos dimensión 0 inmersiones , y están mejor considerados como inmersiones. Una inmersión de codimensión 0 de un colector cerrado es precisamente un mapa de cobertura , es decir, un haz de fibras con fibra de dimensión 0 (discreta). Según el teorema de Ehresmann y el teorema de Phillips sobre inmersiones, una inmersión adecuada de colectores es un haz de fibras, por lo tanto, las inmersiones / inmersiones de codimensión / dimensión relativa 0 se comportan como inmersiones.

Además, las inmersiones de codimensión 0 no se comportan como otras inmersiones, que están determinadas en gran medida por el paquete normal estable: en la codimensión 0 uno tiene problemas de clase fundamental y espacios de cobertura. Por ejemplo, no hay inmersión de codimensión 0 S ¹ → R ¹ , a pesar de que el círculo es paralelizable, lo que se puede probar porque la línea no tiene una clase fundamental, por lo que no se obtiene el mapa requerido en la cohomología superior. Alternativamente, esto es por invariancia de dominio . De manera similar, aunque S ³ y T ^{3 de} 3 toros son paralelizables, no hay inmersión T ³ → S ³ ; cualquier cubierta de este tipo tendría que ramificarse en algunos puntos, ya que la esfera simplemente está conectada.

Otra forma de entender esto es que una inmersión de codimensión k de una variedad corresponde a una inmersión de codimensión 0 de un paquete de vectores k -dimensional, que es una variedad abierta si la codimensión es mayor que 0, pero a una variedad cerrada en codimensión 0 ( si el colector original está cerrado).

Varios puntos

Un punto k -tuple (doble, triple, etc.) de una inmersión f : M → N es un conjunto desordenado { x ₁ , ..., x _k } de puntos distintos x _i ∈ M con la misma imagen f ( x _i ) ∈ N . Si M es una variedad m -dimensional y N es una variedad n- dimensional, entonces para una inmersión f : M → N en posición general, el conjunto de k puntos de tupla es una variedad ( n - k ( n - m )) -dimensional . Cada incrustación es una inmersión sin múltiples puntos (donde k > 1 ). Sin embargo, tenga en cuenta que lo contrario es falso: hay inmersiones inyectivas que no son incrustaciones.

La naturaleza de los múltiples puntos clasifica las inmersiones; por ejemplo, las inmersiones de un círculo en el plano se clasifican hasta la homotopía regular por el número de puntos dobles.

En un punto clave de la teoría de la cirugía , es necesario decidir si una inmersión f : S ^m → N ^{2 m} de una m -esfera en una variedad de 2 m -dimensionales es homotópica regular a una incrustación, en cuyo caso puede ser eliminada por cirugía. Wall asociada a f un invariante μ ( f ) en un cociente de la grupo fundamental anillo Z [ $π$ ₁ ( N )] que cuenta los puntos dobles de f en la cobertura universal de N . Para m > 2 , f es homotópico regular a una incrustación si y solo si μ ( f ) = 0 por el truco de Whitney .

Se pueden estudiar las incrustaciones como "inmersiones sin múltiples puntos", ya que las inmersiones son más fáciles de clasificar. Así, se puede partir de inmersiones e intentar eliminar múltiples puntos, viendo si se puede hacer sin introducir otras singularidades - estudiando "múltiples disyunciones". Esto fue realizado por primera vez por André Haefliger , y este enfoque es fructífero en la codimensión 3 o más: desde el punto de vista de la teoría de la cirugía, esto es "alta (co) dimensión", a diferencia de la codimensión 2, que es la dimensión de anudado, como en nudo teoría . Thomas Goodwillie , John Klein y Michael S. Weiss lo estudian categóricamente a través del " cálculo de functores " .

Ejemplos y propiedades

El cuadrifolio , la rosa de 4 pétalos.

Una rosa matemática con k pétalos es una inmersión del círculo en el plano con un solo punto k -tuple; k puede ser cualquier número impar, pero si es par debe ser un múltiplo de 4, entonces la cifra 8 no es una rosa.
La botella de Klein y todas las demás superficies cerradas no orientables pueden sumergirse en 3 espacios pero no empotrarse.
Según el teorema de Whitney-Graustein , las clases de homotopía regular de inmersiones del círculo en el plano se clasifican por el número de bobinado , que también es el número de puntos dobles contados algebraicamente (es decir, con signos).
La esfera se puede voltear al revés : la incrustación estándar f ₀ : S ² → R ³ está relacionada af ₁ = - f ₀ : S ² → R ³ por una homotopía regular de inmersiones f _t : S ² → R ³ .
La superficie del niño es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional; así también una inmersión 2 a 1 de la esfera.
La superficie de Morin es una inmersión de la esfera; tanto él como la superficie de Boy surgen como modelos intermedios en la eversión de la esfera.

Curvas planas sumergidas

Esta curva tiene total de curvatura 6

π

, y girando número 3, a pesar de que sólo ha de bobinado número 2 sobre p .

Las curvas planas sumergidas tienen un número de giro bien definido , que se puede definir como la curvatura total dividida por 2 $π$ . Esto es invariante bajo homotopía regular, según el teorema de Whitney-Graustein ; topológicamente, es el grado del mapa de Gauss o, de manera equivalente, el número de bobinado de la unidad tangente (que no desaparece) con respecto al origen. Además, este es un conjunto completo de invariantes : dos curvas planas cualesquiera con el mismo número de giro son homotópicas regulares.

Cada curva plana sumergida se eleva a una curva espacial incrustada mediante la separación de los puntos de intersección, lo que no es cierto en dimensiones más altas. Con datos agregados (qué hebra está en la parte superior), las curvas planas sumergidas producen diagramas de nudos , que son de interés central en la teoría de nudos . Mientras que las curvas planas sumergidas, hasta la homotopía regular, están determinadas por su número de giro, los nudos tienen una estructura muy rica y compleja.

Superficies sumergidas en 3 espacios

El estudio de superficies sumergidas en 3 espacios está estrechamente relacionado con el estudio de superficies anudadas (incrustadas) en 4 espacios, por analogía con la teoría de los diagramas de nudos (curvas planas sumergidas (2 espacios) como proyecciones de curvas anudadas en 3 espacios -espacio): dada una superficie anudada en 4 espacios, uno puede proyectarla a una superficie sumergida en 3 espacios y, a la inversa, dada una superficie sumergida en 3 espacios, uno puede preguntar si se eleva a 4 espacios - es ¿Es la proyección de una superficie anudada en 4 espacios? Esto permite relacionar preguntas sobre estos objetos.

Un resultado básico, en contraste con el caso de las curvas planas, es que no todas las superficies sumergidas se elevan a una superficie anudada. En algunos casos, la obstrucción es de 2 torsiones , como en el ejemplo de Koschorke , que es una superficie sumergida (formada por 3 bandas de Möbius, con un punto triple ) que no se eleva a una superficie anudada, pero tiene una doble cubierta que sí lo hace. elevar. Carter y Saito (1998a) ofrecen un análisis detallado , mientras que Carter, Kamada y Saito (2004) ofrecen una encuesta más reciente .

Generalizaciones

Una generalización de gran alcance de la teoría de la inmersión es el principio de homotopía : se puede considerar la condición de inmersión (el rango de la derivada es siempre k ) como una relación diferencial parcial (PDR), como se puede afirmar en términos de las derivadas parciales de la función. Entonces, la teoría de inmersión de Smale-Hirsch es el resultado de que esto se reduce a la teoría de la homotopía, y el principio de la homotopía da condiciones generales y razones para que los PDR se reduzcan a la teoría de la homotopía.

Ver también

Notas

Referencias

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enlaces externos

Inmersión en Manifold Atlas
Inmersión de una variedad en la Enciclopedia de Matemáticas

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