Clase característica - Characteristic class

En matemáticas , una clase característica es una manera de asociar a cada fibrado principal de X un cohomology clase de X . La clase de cohomología mide el grado en que el paquete está "retorcido" y si posee secciones . Las clases de características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local de una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .

La noción de clase característica surgió en 1935 en el trabajo de Eduard Stiefel y Hassler Whitney sobre campos vectoriales en variedades.

Definición

Let G ser un grupo topológico , y por un espacio topológico , de escritura para el conjunto de clases de isomorfismo de capital G -bundles más . Este es un functor contravariante de Top (la categoría de espacios topológicos y funciones continuas ) a Set (la categoría de conjuntos y funciones ), enviando un mapa a la operación de retroceso . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle b_ {G} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle b_ {G}}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle f ^ {*} \ colon b_ {G} (Y) \ to b_ {G} (X)}$

Una clase c característica de los paquetes G principales es entonces una transformación natural de un funtor de cohomología , considerado también como un funtor de Set . ${\ Displaystyle b_ {G}}$${\ Displaystyle H ^ {*}}$

En otras palabras, una clase característica se asocia a cada paquete G principal en un elemento c ( P ) en H * ( X ) tal que, si f  : Y → X es un mapa continuo, entonces c ( f * P ) = f * c ( P ). A la izquierda está la clase del retroceso de P a Y ; a la derecha está la imagen de la clase de P bajo el mapa inducido en cohomología. ${\ Displaystyle P \ a X}$${\ Displaystyle b_ {G} (X)}$

Números característicos

Las clases de características son elementos de grupos de cohomología; se pueden obtener enteros a partir de clases de características, llamadas números característicos . Algunos ejemplos importantes de números característicos son los números de Stiefel-Whitney , los números de Chern , los números de Pontryagin y la característica de Euler .

Dada una variedad orientada M de dimensión n con clase fundamental , y un paquete G con clases características , se puede emparejar un producto de clases características de grado total n con la clase fundamental. El número de números característicos distintos es el número de monomios de grado n en las clases de características, o equivalentemente las particiones de n en . ${\ Displaystyle [M] \ en H_ {n} (M)}$${\ Displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}}$${\ Displaystyle {\ mbox {deg}} \, c_ {i}}$

Formalmente, dado que el número de característica correspondiente es: ${\ Displaystyle i_ {1}, \ dots, i_ {l}}$${\ Displaystyle \ sum {\ mbox {grados}} \, c_ {i_ {j}} = n}$

${\ Displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}$

donde denota el producto de copa de las clases de cohomología. Estos se notan de forma diversa como el producto de clases de características, como o por alguna notación alternativa, como para el número de Pontryagin correspondiente a , o para la característica de Euler. ${\ Displaystyle \ smile}$${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1,1}}$${\ Displaystyle p_ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ chi}$

Desde el punto de vista de la cohomología de De Rham , se pueden tomar formas diferenciales que representen las clases características, tomar un producto en forma de cuña para obtener una forma dimensional superior, luego se integra sobre la variedad; esto es análogo a tomar el producto en cohomología y emparejarlo con la clase fundamental.

Esto también funciona para variedades no orientables, que tienen una -orientación, en cuyo caso se obtienen números característicos valorados, como los números de Stiefel-Whitney. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

Los números característicos resuelven las cuestiones del bordismo orientado y no orientado : dos variedades son cobordantes (orientadas o no orientadas respectivamente) si y solo si sus números característicos son iguales.

Motivación

Las clases características son fenómenos de la teoría de la cohomología de una manera esencial: son construcciones contravariantes , de la misma manera que una sección es una especie de función en un espacio, y para llevar a una contradicción de la existencia de una sección, necesitamos esa varianza. De hecho, la teoría de la cohomología creció después de la homología y la teoría de la homotopía , que son teorías covariantes basadas en el mapeo en un espacio; y la teoría de clases característica en su infancia en la década de 1930 (como parte de la teoría de la obstrucción ) fue una de las principales razones por las que se buscó una teoría "dual" de la homología. El enfoque de clase característico de las invariantes de curvatura fue una razón particular para hacer una teoría, para probar un teorema general de Gauss-Bonnet .

Cuando la teoría se puso sobre una base organizada alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a teoría de homotopía), quedó claro que las clases características más fundamentales conocidas en ese momento (la clase Stiefel-Whitney , la clase Chern y las clases Pontryagin ) eran reflexiones de los grupos lineales clásicos y su estructura de toro máximo . Es más, la clase de Chern en sí no era tan nueva, ya que se reflejó en el cálculo de Schubert sobre Grassmannianos y en el trabajo de la escuela italiana de geometría algebraica . Por otro lado, ahora había un marco que producía familias de clases, siempre que había un paquete de vectores involucrado.

El principal mecanismo entonces parecía ser esta: Dado un espacio X que lleva un paquete vector, que implicó en la categoría homotopy una asignación desde X a un espacio clasificador BG , para el grupo lineal relevante G . Para la teoría homotopy la información relevante se realiza por subgrupos compactos tales como los grupos ortogonales y grupos unitarios de G . Una vez calculada la cohomología , de una vez por todas, la propiedad de contravarianza de la cohomología significaba que las clases características del paquete se definirían en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la clase Chern es realmente una clase con componentes graduados en cada dimensión par. ${\ Displaystyle H ^ {*} (BG)}$${\ Displaystyle H ^ {*} (X)}$

Esta sigue siendo la explicación clásica, aunque en una teoría geométrica dada es rentable tener en cuenta la estructura adicional. Cuando se convirtió en cohomología 'extraordinaria' con la llegada de la K-teoría y la teoría cobordismo a partir de 1955, fue realmente sólo es necesario cambiar la letra H en todas partes para decir lo que eran las clases características.

Posteriormente se encontraron clases características para foliaciones de variedades ; tienen (en un sentido modificado, para foliaciones con algunas singularidades permitidas) una teoría espacial de clasificación en la teoría de la homotopía .

En trabajos posteriores después del acercamiento de las matemáticas y la física , Simon Donaldson y Dieter Kotschick encontraron nuevas clases de características en la teoría del instante . El trabajo y el punto de vista de Chern también han demostrado ser importantes: véase la teoría de Chern-Simons .

Estabilidad

En el lenguaje de la teoría de homotopía estable , la clase de Chern , clase de Stiefel-Whitney , y la clase de Pontryagin son estables , mientras que la clase de Euler es inestable .

Concretamente, una clase estable es aquella que no cambia cuando se añade un paquete trivial: . De manera más abstracta, significa que la clase de cohomología en el espacio de clasificación para se retira de la clase de cohomología en la inclusión (que corresponde a la inclusión y similar). De manera equivalente, todas las clases de características finitas se retiran de una clase estable en . ${\ Displaystyle c (V \ oplus 1) = c (V)}$${\ Displaystyle BG (n)}$${\ Displaystyle BG (n + 1)}$${\ Displaystyle BG (n) \ a BG (n + 1)}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle BG}$

Este no es el caso de la clase de Euler, como se detalla allí, sobre todo porque la clase de Euler de un paquete k -dimensional vive en (por lo tanto, se retira , por lo que no puede retirarse de una clase en , ya que las dimensiones difieren . ${\ Displaystyle H ^ {k} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$${\ Displaystyle H ^ {k + 1}}$

Ver también

• Clase segre
• Característica de Euler
• Clase Chern

Notas

Referencias

• Chern, Shiing-Shen (1995). Variedades complejas sin teoría potencial . Springer-Verlag Press. ISBN   0-387-90422-0 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ) ISBN   3-540-90422-0 .

  El apéndice de este libro: "Geometría de clases características" es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de clases características.

• Hatcher, Allen , paquetes vectoriales y teoría K CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Husemoller, Dale (1966). Paquetes de fibras (3ª edición, Springer 1993 ed.). McGraw Hill. ISBN   0387940871 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Milnor, John W .; Stasheff, Jim (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos. 76 . Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey; Prensa de la Universidad de Tokio , Tokio. ISBN   0-691-08122-0 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )