Cinta de Moebius -Möbius strip

Una tira de Möbius hecha con papel y cinta adhesiva

En matemáticas , una tira de Möbius, una banda de Möbius o un bucle de Möbius es una superficie que se puede formar uniendo los extremos de una tira de papel con un medio giro. Como objeto matemático, fue descubierto por Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, pero ya había aparecido en mosaicos romanos del siglo III d.C. La cinta de Möbius es una superficie no orientable , lo que significa que dentro de ella uno no puede distinguir consistentemente los giros en sentido horario de los giros en sentido antihorario. Cada superficie no orientable contiene una tira de Möbius.

Como espacio topológico abstracto, la cinta de Möbius se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional de muchas maneras diferentes: un medio giro en el sentido de las agujas del reloj es diferente de un medio giro en el sentido contrario a las agujas del reloj, y también se puede incrustar con números impares de giros mayores que uno, o con una línea central anudada . Cualquier dos incrustaciones con el mismo nudo para la línea central y el mismo número y dirección de giros son topológicamente equivalentes . Todas estas incrustaciones tienen un solo lado, pero cuando se incrustan en otros espacios, la tira de Möbius puede tener dos lados. Tiene una única curva límite .

Varias construcciones geométricas de la cinta de Möbius le dan una estructura adicional. Puede ser barrida como una superficie reglada por un segmento de línea que gira en un plano giratorio, con o sin autocruces. Una delgada tira de papel con sus extremos unidos para formar una tira de Möbius se puede doblar suavemente como una superficie desarrollable o se puede doblar hasta quedar plana ; las tiras de Möbius aplanadas incluyen el trihexaflexágono . La tira de Möbius sudanesa es una superficie mínima en una hiperesfera , y la tira de Möbius de Meeks es una superficie mínima que se corta a sí misma en el espacio euclidiano ordinario. Tanto la franja de Möbius sudanesa como otra franja de Moebius que se interseca a sí misma, la tapa cruzada, tienen un límite circular. Una tira de Möbius sin su límite, llamada tira de Möbius abierta, puede formar superficies de curvatura constante . Ciertos espacios altamente simétricos cuyos puntos representan líneas en el plano tienen la forma de una cinta de Möbius.

Las muchas aplicaciones de las tiras de Möbius incluyen correas mecánicas que se desgastan uniformemente en ambos lados, montañas rusas de dos vías cuyos vagones se alternan entre las dos vías y mapas del mundo impresos para que las antípodas aparezcan una frente a la otra. Las tiras de Möbius aparecen en moléculas y dispositivos con nuevas propiedades eléctricas y electromecánicas, y se han utilizado para probar resultados de imposibilidad en la teoría de la elección social . En la cultura popular, las tiras de Möbius aparecen en las obras de arte de MC Escher , Max Bill y otros, y en el diseño del símbolo de reciclaje . Muchos conceptos arquitectónicos se han inspirado en la tira de Möbius, incluido el diseño del edificio para el Salón de la Fama de NASCAR . Artistas como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs han basado los trucos de magia escénica en las propiedades de la tira de Möbius. Los cánones de JS Bach se han analizado mediante cintas de Möbius. Muchas obras de ficción especulativa presentan tiras de Möbius; de manera más general, una estructura de trama basada en la tira de Möbius, de eventos que se repiten con un giro, es común en la ficción.

Historia

Mosaico del antiguo Sentinum que representa a Aion sosteniendo una tira de Möbius
Bomba de cadena con cadena de transmisión Möbius, de Ismail al-Jazari (1206)

El descubrimiento de la tira de Möbius como objeto matemático se atribuye de forma independiente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858. Sin embargo, se conocía mucho antes, tanto como objeto físico como en representaciones artísticas; en particular, se puede ver en varios mosaicos romanos del siglo III d.C. En muchos casos, estos simplemente representan cintas enrolladas como límites. Cuando el número de espiras es impar, estas cintas son tiras de Möbius, pero para un número par de espiras son topológicamente equivalentes a anillos sin torcer . Por lo tanto, si la cinta es una tira de Möbius puede ser una coincidencia, más que una elección deliberada. En al menos un caso, se dibujó una cinta con diferentes colores en diferentes lados con un número impar de vueltas, lo que obligó al artista a arreglar torpemente el punto donde los colores no coincidían. Otro mosaico de la ciudad de Sentinum (representado) muestra el zodíaco , sostenido por el dios Aion , como una banda con un solo giro. No hay evidencia clara de que la unilateralidad de esta representación visual del tiempo celestial fuera intencional; podría haber sido elegido simplemente como una forma de hacer que todos los signos del zodíaco aparecieran en el lado visible de la tira. También se alega que algunas otras representaciones antiguas del ourobouros o de decoraciones en forma de ocho representan tiras de Möbius, pero no está claro si tenían la intención de representar tiras planas de algún tipo .

Independientemente de la tradición matemática, los maquinistas saben desde hace tiempo que las correas mecánicas se desgastan la mitad de rápido cuando forman tiras de Möbius, porque usan toda la superficie de la correa en lugar de solo la superficie interior de una correa sin torcer. Además, tal cinturón puede ser menos propenso a enrollarse de lado a lado. Una de las primeras descripciones escritas de esta técnica data de 1871, que es posterior a las primeras publicaciones matemáticas sobre la tira de Möbius. Mucho antes, una imagen de una bomba de cadena en una obra de Ismail al-Jazari de 1206 muestra una configuración de cinta de Möbius para su cadena de transmisión. Otro uso de esta superficie lo hicieron costureras en París (en una fecha no especificada): iniciaron a los novicios al exigirles que cosieran una tira de Möbius como un cuello en una prenda.

Propiedades

Un objeto 2d que atraviesa una vez alrededor de la tira de Möbius regresa en forma reflejada

La tira de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Es una superficie no orientable : si un objeto bidimensional asimétrico se desliza una vez alrededor de la tira, vuelve a su posición inicial como su imagen especular. En particular, una flecha curva que apunta en el sentido de las agujas del reloj (↻) volvería a ser una flecha que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj (↺), lo que implica que, dentro de la cinta de Möbius, es imposible definir de forma coherente lo que significa ser en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Es la superficie no orientable más simple: cualquier otra superficie no es orientable si y solo si tiene una tira de Möbius como subconjunto. De manera relacionada, cuando se incrusta en el espacio euclidiano , la cinta de Möbius tiene solo un lado. Un objeto tridimensional que se desliza una vez alrededor de la superficie de la tira no se refleja, sino que regresa al mismo punto de la tira en lo que localmente parece ser su otro lado, mostrando que ambas posiciones son en realidad parte de un solo lado. . Este comportamiento es diferente de las superficies familiares orientables en tres dimensiones, como las que se modelan con hojas planas de papel, pajitas cilíndricas para beber o bolas huecas, en las que un lado de la superficie no está conectado con el otro. Sin embargo, esta es una propiedad de su incrustación en el espacio más que una propiedad intrínseca de la propia tira de Möbius: existen otros espacios topológicos en los que la tira de Möbius puede incrustarse de modo que tenga dos lados. Por ejemplo, si las caras delantera y trasera de un cubo se pegan entre sí con un reflejo de espejo de izquierda a derecha, el resultado es un espacio topológico tridimensional (el producto cartesiano de una tira de Möbius con un intervalo) en el que la parte superior y las mitades inferiores del cubo se pueden separar entre sí mediante una tira de Möbius de dos caras. A diferencia de los discos, esferas y cilindros, para los que es posible incrustar simultáneamente un conjunto incontable de copias inconexas en el espacio tridimensional, solo se puede incrustar simultáneamente un número contable de tiras de Möbius.

Un camino a lo largo del borde de una tira de Möbius, trazado hasta que regresa a su punto de partida en el borde, incluye todos los puntos límite de la tira de Möbius en una sola curva continua. Para una tira de Möbius formada pegando y torciendo un rectángulo, tiene el doble de largo que la línea central de la tira. En este sentido, la cinta de Möbius se diferencia de un anillo sin torcer y como un disco circular en que tiene un solo límite. Una tira de Möbius en el espacio euclidiano no se puede mover ni estirar en su imagen especular; es un objeto quiral con diestro o zurdo. Las tiras de Möbius con números impares de medias vueltas mayores que uno, o que están anudadas antes de pegarlas, son distintas como subconjuntos incrustados del espacio tridimensional, aunque todas son equivalentes como superficies topológicas bidimensionales . Más precisamente, dos cintas de Möbius están incrustadas de manera equivalente en un espacio tridimensional cuando sus líneas centrales determinan el mismo nudo y tienen el mismo número de giros que la otra. Sin embargo, con un número par de giros, se obtiene una superficie topológica diferente, llamada anillo .

La cinta de Möbius se puede transformar continuamente en su línea central, haciéndola más estrecha mientras se fijan los puntos en la línea central. Esta transformación es un ejemplo de retracción por deformación , y su existencia significa que la tira de Möbius tiene muchas de las mismas propiedades que su línea central, que es topológicamente un círculo. En particular, su grupo fundamental es el mismo que el grupo fundamental de un círculo, un grupo cíclico infinito . Por lo tanto, los caminos en la cinta de Möbius que comienzan y terminan en el mismo punto se pueden distinguir topológicamente (hasta la homotopía ) solo por el número de veces que dan la vuelta a la cinta.

Cortar la línea central produce una tira de dos lados (no Möbius)
Un solo corte descentrado separa una tira de Möbius (púrpura) de una tira de dos caras

Cortar una tira de Möbius a lo largo de la línea central con un par de tijeras produce una tira larga con dos medias vueltas, en lugar de dos tiras separadas. El resultado no es una cinta de Möbius, sino que es topológicamente equivalente a un cilindro. Cortar esta tira de doble torsión nuevamente a lo largo de su línea central produce dos tiras de doble torsión unidas. Si, en cambio, una tira de Möbius se corta a lo largo, un tercio de su ancho, produce dos tiras unidas. Uno de los dos es una cinta de Möbius central, más delgada, mientras que el otro tiene dos medios giros. Estas formas entrelazadas, formadas por cortes longitudinales de tiras de Möbius con anchos variables, a veces se denominan anillos paradrómicos .

Subdivisión en seis regiones adyacentes entre sí, delimitadas por el gráfico de Tietze
Solución al problema de las tres utilidades en una cinta de Möbius

La tira de Möbius se puede cortar en seis regiones adyacentes entre sí, lo que demuestra que los mapas en la superficie de la tira de Möbius a veces pueden requerir seis colores, en contraste con el teorema de los cuatro colores para el plano. Seis colores siempre son suficientes. Este resultado es parte del teorema de Ringel-Youngs , que establece cuántos colores necesita cada superficie topológica. Los bordes y vértices de estas seis regiones forman el gráfico de Tietze , que es un gráfico dual en esta superficie para el gráfico completo de seis vértices , pero no se puede dibujar sin cruces en un plano . Otra familia de gráficos que se pueden incrustar en la tira de Möbius, pero no en el plano, son las escaleras de Möbius , los límites de las subdivisiones de la tira de Möbius en rectángulos que se encuentran de extremo a extremo. Estos incluyen el gráfico de utilidad, un gráfico bipartito completo de seis vértices cuya incrustación en la tira de Möbius muestra que, a diferencia del plano, el problema de las tres utilidades se puede resolver en una tira de Möbius transparente. La característica de Euler de la tira de Möbius es cero , lo que significa que para cualquier subdivisión de la tira por vértices y aristas en regiones, los números , y de vértices, aristas y regiones satisfacen . Por ejemplo, el gráfico de Tietze tiene vértices, aristas y regiones; .

Construcciones

Hay muchas formas diferentes de definir superficies geométricas con la topología de la cinta de Möbius, lo que genera realizaciones con propiedades geométricas adicionales.

Barrido de un segmento de línea

Una tira de Möbius barrida por un segmento de línea giratorio en un plano giratorio
Una tira de Möbius barrida por un segmento de línea giratorio en un plano giratorio
Conoide de Plücker barrido por un movimiento diferente de un segmento de línea
Conoide de Plücker barrido por un movimiento diferente de un segmento de línea

Una forma de incrustar la tira de Möbius en el espacio euclidiano tridimensional es barrerla con un segmento de línea que gira en un plano, que a su vez gira alrededor de una de sus líneas. Para que la superficie barrida se encuentre consigo misma después de medio giro, el segmento de línea debe girar alrededor de su centro a la mitad de la velocidad angular de rotación del plano. Esto se puede describir como una superficie paramétrica definida por ecuaciones para las coordenadas cartesianas de sus puntos,

para y , donde un parámetro describe el ángulo de rotación del plano alrededor de su eje central y el otro parámetro describe la posición de un punto a lo largo del segmento de línea giratorio. Esto produce una tira de Möbius de ancho 1, cuyo círculo central tiene radio 1, se encuentra en el plano y está centrado en . El mismo método puede producir tiras de Möbius con cualquier número impar de medias vueltas, girando el segmento más rápidamente en su plano. El segmento giratorio barre un disco circular en el plano en el que gira, y la tira de Möbius que genera forma un corte a través del toro sólido barrido por este disco. Debido a la unilateralidad de este corte, el toro cortado permanece conectado.

Una línea o segmento de línea barrida con un movimiento diferente, girando en un plano horizontal alrededor del origen a medida que se mueve hacia arriba y hacia abajo, forma el conoide o cilindroide de Plücker , una superficie reglada algebraica en forma de tira de Möbius autocruzada. Tiene aplicaciones en el diseño de engranajes .

Superficies poliédricas y pliegues planos

Trihexaflexagon siendo flexionado

Una tira de papel puede formar una tira de Möbius aplanada en el plano doblándola en ángulo de modo que su línea central quede a lo largo de un triángulo equilátero y uniendo los extremos. La tira más corta para la que esto es posible consta de tres triángulos equiláteros, doblados en los bordes donde se encuentran dos triángulos. Su relación de aspecto  , la relación entre la longitud de la tira y su ancho, es , y el mismo método de plegado funciona para cualquier relación de aspecto más grande . Para una tira de nueve triángulos equiláteros, el resultado es un trihexaflexágono , que se puede flexionar para revelar diferentes partes de su superficie. Para las tiras demasiado cortas para aplicar este método directamente, primero se puede "doblar en acordeón" la tira en su dirección ancha de un lado a otro usando un número par de pliegues. Con dos pliegues, por ejemplo, una tira se convertiría en una tira doblada cuya sección transversal tiene la forma de una 'N' y seguiría siendo una 'N' después de un medio giro. La tira plegada en acordeón más estrecha se puede doblar y unir de la misma manera que se haría con una tira más larga .

Tiras de Möbius poliédricas de cinco vértices y plegadas planas

La tira de Möbius también se puede incrustar como una superficie poliédrica en el espacio o plegarse planamente en el plano, con solo cinco caras triangulares que comparten cinco vértices. En este sentido, es más simple que el cilindro , que requiere seis triángulos y seis vértices, incluso cuando se representa de forma más abstracta como un complejo simplicial . Una cinta de Möbius de cinco triángulos se puede representar de manera más simétrica mediante cinco de los diez triángulos equiláteros de un símplex regular de cuatro dimensiones . Esta tira de Möbius poliédrica de cuatro dimensiones es la única tira de Möbius apretada , una que es completamente de cuatro dimensiones y para la cual todos los cortes por hiperplanos la separan en dos partes que son topológicamente equivalentes a discos o círculos.

Otras incrustaciones poliédricas de las tiras de Möbius incluyen una con cuatro cuadriláteros convexos como caras, otra con tres caras cuadriláteras no convexas y una que usa los vértices y el punto central de un octaedro regular, con un límite triangular . Cada triangulación abstracta del plano proyectivo se puede incrustar en 3D como una tira poliédrica de Möbius con un límite triangular después de eliminar una de sus caras; un ejemplo es el plano proyectivo de seis vértices obtenido al agregar un vértice a la tira de Möbius de cinco vértices, conectada por triángulos a cada uno de sus bordes límite. Sin embargo, no todas las triangulaciones abstractas de la cinta de Möbius pueden representarse geométricamente, como una superficie poliédrica. Para que sea realizable, es necesario y suficiente que no haya dos 3-ciclos disjuntos no contráctiles en la triangulación.

Rectángulos suavemente incrustados

Una tira de Möbius rectangular, hecha uniendo los extremos de un rectángulo de papel, se puede incrustar suavemente en un espacio tridimensional siempre que su relación de aspecto sea mayor que , la misma relación que para la versión de triángulo equilátero doblado plano de la tira de Möbius. Este empotramiento triangular plano puede elevarse hasta un empotramiento suave en tres dimensiones, en el que la tira descansa plana en tres planos paralelos entre tres rodillos cilíndricos, cada uno tangente a dos de los planos. Matemáticamente, una hoja de papel incrustada suavemente se puede modelar como una superficie desarrollable , que se puede doblar pero no estirar. A medida que su relación de aspecto disminuye hacia , todas las incrustaciones suaves parecen acercarse a la misma forma triangular.

Los pliegues longitudinales de una tira plana de Möbius plegada en acordeón evitan que forme una incrustación tridimensional en la que las capas se separan entre sí y se doblan suavemente sin arrugarse ni estirarse fuera de los pliegues. En cambio, a diferencia del estuche plegado plano, hay un límite inferior para la relación de aspecto de las tiras de Möbius rectangulares lisas. Su relación de aspecto no puede ser inferior a , incluso si se permiten las autointersecciones. Existen tiras de Möbius suaves que se intersecan a sí mismas para cualquier relación de aspecto por encima de este límite. Sin autointersecciones, la relación de aspecto debe ser al menos

Problema no resuelto de matemáticas :

¿Se puede pegar un rectángulo de papel de extremo a extremo para formar una tira de Möbius suave incrustada en el espacio? 

Para las relaciones de aspecto entre este límite y , se desconoce si existen incrustaciones suaves, sin autointersección . Si el requisito de suavidad se relaja para permitir superficies continuamente diferenciables , el teorema de Nash-Kuiper implica que dos bordes opuestos cualesquiera de cualquier rectángulo se pueden pegar para formar una tira de Möbius incrustada, sin importar cuán pequeña sea la relación de aspecto . El caso límite, una superficie obtenida a partir de una franja infinita del plano entre dos rectas paralelas, pegadas con orientación opuesta entre sí, se denomina franja de Möbius ilimitada o haz lineal tautológico real . Aunque no tiene una incrustación suave en el espacio tridimensional, puede incrustarse suavemente en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones.

La forma de energía mínima de una tira de Möbius lisa pegada a partir de un rectángulo no tiene una descripción analítica conocida, pero se puede calcular numéricamente y ha sido objeto de mucho estudio en teoría de placas desde el trabajo inicial sobre este tema en 1930 por Michael Sadowsky . También es posible encontrar superficies algebraicas que contienen tiras de Möbius rectangulares desarrollables .

Hacer que el límite sea circular

Pegado de dos tiras de Möbius para formar una botella de Klein
Una proyección de la cinta de Möbius sudanesa

El borde, o límite , de una tira de Möbius es topológicamente equivalente a un círculo . En las formas comunes de la tira de Möbius, tiene una forma diferente a la de un círculo, pero no está anudada y, por lo tanto, toda la tira se puede estirar sin cruzarse para hacer que el borde sea perfectamente circular. Uno de esos ejemplos se basa en la topología de la botella de Klein , una superficie de un solo lado sin límite que no se puede incrustar en un espacio tridimensional, pero se puede sumergir (permitiendo que la superficie se cruce a sí misma de ciertas formas restringidas). Una botella de Klein es la superficie que resulta cuando dos tiras de Möbius se pegan de borde a borde y, al invertir ese proceso, una botella de Klein se puede cortar a lo largo de un corte cuidadosamente elegido para producir dos tiras de Möbius. Para una forma de botella de Klein conocida como botella de Klein de Lawson, la curva a lo largo de la cual se corta se puede hacer circular, lo que da como resultado tiras de Möbius con bordes circulares.

La botella de Klein de Lawson es una superficie mínima autocruzada en la hiperesfera unitaria del espacio de 4 dimensiones, el conjunto de puntos de la forma

para _ La mitad de esta botella de Klein, el subconjunto con , da una tira de Möbius incrustada en la hiperesfera como una superficie mínima con un gran círculo como límite. Esta incrustación a veces se denomina "banda de Möbius sudanesa" en honor a los topólogos Sue Goodman y Daniel Asimov, quienes la descubrieron en la década de 1970. Geométricamente, la botella de Klein de Lawson se puede construir mediante el barrido de un gran círculo a través de un gran movimiento circular en las 3 esferas, y la tira sudanesa de Möbius se obtiene mediante el barrido de un semicírculo en lugar de un círculo, o de manera equivalente, cortando la botella de Klein a lo largo de un círculo. que es perpendicular a todos los círculos barridos. La proyección estereográfica transforma esta forma de un espacio esférico tridimensional en un espacio euclidiano tridimensional, preservando la circularidad de su límite. La proyección más simétrica se obtiene utilizando un punto de proyección que se encuentra en ese gran círculo que pasa por el punto medio de cada uno de los semicírculos, pero produce una incrustación ilimitada con el punto de proyección eliminado de su línea central. En cambio, dejar la tira sudanesa de Möbius sin proyectar, en la 3 esfera, la deja con un grupo infinito de simetrías isomórficas al grupo ortogonal , el grupo de simetrías de un círculo.
Representación esquemática de una tapa cruzada con un fondo abierto, que muestra sus conjuntos de niveles . Esta superficie se cruza a lo largo del segmento de línea vertical.

La franja sudanesa de Möbius se extiende por todos los lados de su círculo limítrofe, inevitablemente si se quiere que la superficie evite cruzarse a sí misma. Otra forma de la tira de Möbius, llamada cross-cap o crosscap , también tiene un límite circular, pero por lo demás permanece en un solo lado del plano de este círculo, lo que lo hace más conveniente para unir agujeros circulares en otras superficies. Para ello, se cruza a sí mismo. Se puede formar quitando un cuadrilátero de la parte superior de un hemisferio, orientando los bordes del cuadrilátero en direcciones alternas y luego pegando pares opuestos de estos bordes de manera consistente con esta orientación. Las dos partes de la superficie formadas por los dos pares de aristas pegadas se cruzan entre sí con un punto de pellizco como el de un paraguas Whitney en cada extremo del segmento de cruce, la misma estructura topológica que se ve en el conoide de Plücker.

Superficies de curvatura constante

La tira de Möbius abierta es el interior relativo de una tira de Möbius estándar, formada al omitir los puntos en su borde límite. Se le puede dar una geometría riemanniana de curvatura gaussiana constante positiva, negativa o cero . Los casos de curvatura negativa y cero forman superficies geodésicas completas, lo que significa que todas las geodésicas ("líneas rectas" en la superficie) pueden extenderse indefinidamente en cualquier dirección.

curvatura cero
Se puede construir una tira abierta con curvatura cero pegando los lados opuestos de una tira plana entre dos líneas paralelas, descritas anteriormente como el haz de líneas tautológico . La métrica resultante convierte a la tira abierta de Möbius en una superficie plana completa (geodésicamente) (es decir, con una curvatura gaussiana cero en todas partes). Esta es la métrica única en la cinta de Möbius, hasta una escala uniforme, que es tanto plana como completa. Es el espacio cociente de un plano por una reflexión deslizante y (junto con el plano, el cilindro , el toro y la botella de Klein ) es una de las cinco variedades planas completas bidimensionales .
curvatura negativa
La cinta de Möbius abierta también admite métricas completas de curvatura negativa constante. Una forma de ver esto es comenzar con el modelo del semiplano superior (Poincaré) del plano hiperbólico , una geometría de curvatura constante cuyas líneas están representadas en el modelo por semicírculos que se encuentran con el eje en ángulo recto. Tome el subconjunto del semiplano superior entre dos semicírculos anidados e identifique el semicírculo exterior con la inversión izquierda-derecha del semicírculo interior. El resultado es topológicamente una tira de Möbius completa y no compacta con curvatura negativa constante. Es una superficie hiperbólica completa "no estándar" en el sentido de que contiene un semiplano hiperbólico completo (en realidad dos, en lados opuestos del eje de reflexión deslizante), y es una de las 13 superficies no estándar. Nuevamente, esto puede entenderse como el cociente del plano hiperbólico por un reflejo deslizante.
Curvatura positiva
Una tira de Möbius de curvatura constante positiva no puede ser completa, ya que se sabe que las únicas superficies completas de curvatura constante positiva son la esfera y el plano proyectivo . Sin embargo, en cierto sentido, está a solo un punto de ser una superficie completa, ya que la tira de Möbius abierta es homeomorfa al plano proyectivo una vez perforado, la superficie obtenida al eliminar cualquier punto del plano proyectivo.

Las superficies mínimas se describen con una curvatura media cero constante en lugar de una curvatura gaussiana constante. La tira sudanesa de Möbius se construyó como una superficie mínima delimitada por un gran círculo en una esfera de 3, pero también hay una única superficie mínima completa (sin límites) inmersa en el espacio euclidiano que tiene la topología de una tira abierta de Möbius. Se llama la tira de Meeks Möbius, después de su descripción de 1982 por William Hamilton Meeks, III . Aunque globalmente inestable como superficie mínima, pequeños parches, delimitados por curvas no contráctiles dentro de la superficie, pueden formar tiras de Möbius incrustadas estables como superficies mínimas. Tanto la tira de Meeks Möbius como cualquier superficie mínima de dimensiones superiores con la topología de la tira de Möbius se pueden construir utilizando soluciones al problema de Björling , que define una superficie mínima únicamente a partir de su curva límite y planos tangentes a lo largo de esta curva.

espacios de lineas

A la familia de líneas en el plano se le puede dar la estructura de un espacio suave, con cada línea representada como un punto en este espacio. El espacio de líneas resultante es topológicamente equivalente a la cinta abierta de Möbius . Una forma de ver esto es extender el plano euclidiano al plano proyectivo real agregando una línea más, la línea en el infinito . Por dualidad proyectiva el espacio de líneas en el plano proyectivo es equivalente a su espacio de puntos, el propio plano proyectivo. Quitando la línea en el infinito, para producir el espacio de líneas euclidianas, perfora este espacio de líneas proyectivas. Por lo tanto, el espacio de líneas euclidianas es un plano proyectivo perforado, que es una de las formas de la cinta abierta de Möbius. El espacio de líneas en el plano hiperbólico se puede parametrizar mediante pares desordenados de puntos distintos en un círculo, los pares de puntos en el infinito de cada línea. Este espacio, de nuevo, tiene la topología de una cinta de Möbius abierta .

Estos espacios de líneas son altamente simétricos. Las simetrías de las líneas euclidianas incluyen las transformaciones afines , y las simetrías de las líneas hiperbólicas incluyen las transformaciones de Möbius . Las transformaciones afines y las transformaciones de Möbius forman grupos de Lie de 6 dimensiones , espacios topológicos que tienen una estructura algebraica compatible que describe la composición de las simetrías. Debido a que cada línea en el plano es simétrica a cualquier otra línea, la cinta de Möbius abierta es un espacio homogéneo , un espacio con simetrías que llevan cada punto a cualquier otro punto. Los espacios homogéneos de grupos de Lie se denominan variedades de solución , y la cinta de Möbius se puede usar como contraejemplo , mostrando que no toda variedad de solución es una variedad nula , y que no toda variedad de solución puede factorizarse en un producto directo de una variedad de solución compacta con . Estas simetrías también proporcionan otra forma de construir la cinta de Möbius en sí misma, como un modelo grupal de estos grupos de Lie. Un modelo de grupo consta de un grupo de Lie y un subgrupo estabilizador de su acción; la contracción de las clases laterales del subgrupo a puntos produce un espacio con la misma topología que el espacio homogéneo subyacente. En el caso de las simetrías de las líneas euclidianas, el estabilizador del eje está formado por todas las simetrías que llevan el eje a sí mismo. Cada línea corresponde a una clase lateral, el conjunto de simetrías que se asignan al eje -. Por lo tanto, el espacio cociente , un espacio que tiene un punto por clase lateral y hereda su topología del espacio de simetrías, es lo mismo que el espacio de líneas, y es nuevamente una cinta de Möbius abierta.

Aplicaciones

Flujo eléctrico en una resistencia de Möbius

Más allá de las aplicaciones ya comentadas de las tiras de Möbius para el diseño de correas mecánicas que se desgastan uniformemente en toda su superficie, y del conoide de Plücker para el diseño de engranajes, otras aplicaciones de las tiras de Möbius incluyen:

  • Cintas de grafeno retorcidas para formar tiras de Möbius con nuevas características electrónicas, incluido el magnetismo helicoidal
  • Aromaticidad de Möbius , una propiedad de los productos químicos orgánicos cuya estructura molecular forma un ciclo, con orbitales moleculares alineados a lo largo del ciclo en el patrón de una tira de Möbius
  • La resistencia de Möbius , una tira de material conductor que cubre el lado único de una tira dieléctrica de Möbius, de manera que cancela su propia autoinducción.
  • Resonadores con un diseño compacto y una frecuencia de resonancia que es la mitad de la de las bobinas lineales de construcción idéntica
  • Patrones de polarización en la luz que emerge de una placa q
  • Una prueba de la imposibilidad de reglas de agregación bipartitas continuas, anónimas y unánimes en la teoría de la elección social
  • Montañas rusas de bucle de Möbius , una forma de montaña rusa de doble vía en la que las dos vías giran en espiral una alrededor de la otra un número impar de veces, de modo que los vagones regresan a la otra vía en la que comenzaron.
  • Mapas del mundo proyectados en una tira de Möbius con las convenientes propiedades de que no hay límites este-oeste y que la antípoda de cualquier punto del mapa se puede encontrar en el otro lado impreso de la superficie en el mismo punto de la tira de Möbius.

Los científicos también han estudiado la energía de las películas de jabón con forma de tiras de Möbius, la síntesis química de moléculas con forma de tira de Möbius y la formación de tiras de Möbius a nanoescala más grandes utilizando origami de ADN .

En la cultura popular

Las obras de arte bidimensionales que presentan la tira de Möbius incluyen una pintura sin título de 1947 de Corrado Cagli (conmemorada en un poema de Charles Olson ) y dos grabados de MC Escher : Möbius Band I (1961), que representa tres peces planos doblados mordiéndose la cola entre sí; y Möbius Band II (1963), que representa hormigas arrastrándose alrededor de una tira de Möbius en forma de lemniscata . También es un tema popular de la escultura matemática , que incluye obras de Max Bill ( Cinta sin fin , 1953), José de Rivera ( Infinito , 1967) y Sebastián . En Immortality (1982) de John Robinson se usó una tira de Möbius anudada en forma de trébol . Continuum (1976) de Charles O. Perry es una de varias piezas de Perry que explora variaciones de la cinta de Möbius.

Debido a su forma fácilmente reconocible, las tiras de Möbius son un elemento común del diseño gráfico . El conocido logotipo de tres flechas para el reciclaje , diseñado en 1970, se basa en la forma triangular suave de la cinta de Möbius, al igual que el logotipo de la Expo '74 de temática ambiental . Algunas variaciones del símbolo de reciclaje usan una incrustación diferente con tres medios giros en lugar de uno, y la versión original del logotipo de Google Drive usaba una tira de Möbius de tres giros doblada plana, al igual que otros diseños similares. El Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) de Brasil utiliza una tira de Möbius suave y estilizada como logotipo, y tiene una gran escultura a juego de una tira de Möbius en exhibición en su edificio. La tira de Möbius también ha aparecido en la obra de arte de los sellos postales de países como Brasil, Bélgica, los Países Bajos y Suiza.

Las tiras de Möbius han sido una inspiración frecuente para el diseño arquitectónico de edificios y puentes. Sin embargo, muchos de estos son proyectos o diseños conceptuales en lugar de objetos construidos, o extienden su interpretación de la cinta de Möbius más allá de su reconocimiento como una forma matemática o una parte funcional de la arquitectura. Un ejemplo es la Biblioteca Nacional de Kazajstán , para la que se planeó un edificio con la forma de una cinta de Möbius engrosada, pero se refinó con un diseño diferente después de que los arquitectos originales se retiraran del proyecto. Un edificio notable que incorpora una tira de Möbius es el Salón de la Fama de NASCAR , que está rodeado por una gran cinta retorcida de acero inoxidable que actúa como fachada y dosel, y evoca las formas curvas de las pistas de carreras. En menor escala, Moebius Chair (2006) de Pedro Reyes es un banco de cortejo cuya base y laterales tienen forma de cinta de Möbius. Como una forma de matemáticas y artes de la fibra , las bufandas se han tejido en tiras de Möbius desde el trabajo de Elizabeth Zimmermann a principios de la década de 1980. En el diseño de alimentos , las tiras de Möbius se han utilizado para rebanar bagels , hacer bucles con tocino y crear nuevas formas para la pasta .

Aunque matemáticamente la tira de Möbius y la cuarta dimensión son conceptos puramente espaciales, a menudo se los ha invocado en la ficción especulativa como base para un ciclo temporal en el que las víctimas desprevenidas pueden quedar atrapadas. Ejemplos de este tropo incluyen "No-Sided Professor" de Martin Gardner (1946), " A Subway Named Mobius " de Armin Joseph Deutsch (1950) y la película Moebius (1996) basada en ella. Un mundo entero con la forma de una tira de Möbius es el escenario de "El muro de la oscuridad" de Arthur C. Clarke (1946), mientras que las tiras de Möbius convencionales se utilizan como ingeniosas invenciones en múltiples historias de William Hazlett Upson de la década de 1940. Se ha analizado que otras obras de ficción tienen una estructura similar a la tira de Möbius, en la que los elementos de la trama se repiten con un giro; estos incluyen En busca del tiempo perdido (1913-1927) de Marcel Proust , Seis personajes en busca de un autor (1921) de Luigi Pirandello , Es una vida maravillosa (1946) de Frank Capra , Lost in the Funhouse (1968), Samuel R. Delany 's Dhalgren ( 1975) y la película Donnie Darko (2001).

Uno de los cánones musicales de JS Bach , el quinto de 14 cánones ( BWV 1087 ) descubierto en 1974 en la copia de Bach de las Variaciones Goldberg , presenta una simetría de deslizamiento-reflejo en la que cada voz del canon repite, con notas invertidas , lo mismo. motivo de dos compases anteriores. Debido a esta simetría, se puede pensar que este canon tiene su partitura escrita en una cinta de Möbius. En teoría musical , los tonos que difieren en una octava generalmente se consideran notas equivalentes, y el espacio de las posibles notas forma un círculo, el círculo cromático . Debido a que la tira de Möbius es el espacio de configuración de dos puntos desordenados en un círculo, el espacio de todos los acordes de dos notas toma la forma de una tira de Möbius. Esta concepción, y las generalizaciones a más puntos, es una aplicación significativa de orbifolds a la teoría musical . Los grupos musicales modernos que toman su nombre de la tira de Möbius incluyen al trío estadounidense de rock electrónico Mobius Band y la banda noruega de rock progresivo Ring Van Möbius .

Las tiras de Möbius y sus propiedades se han utilizado en el diseño de magia escénica . Uno de esos trucos, conocido como las bandas afganas, utiliza el hecho de que la tira de Möbius sigue siendo una sola tira cuando se corta a lo largo. Se originó en la década de 1880 y fue muy popular en la primera mitad del siglo XX. Existen muchas versiones de este truco y han sido realizadas por ilusionistas famosos como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs .

Ver también

  • Contador de Möbius , un registro de desplazamiento cuyo bit de salida se complementa antes de ser retroalimentado al bit de entrada
  • Triángulo de Penrose , una figura imposible cuyo límite parece envolverlo en una cinta de Möbius
  • Teoría de la cinta , la teoría matemática de tiras infinitesimalmente delgadas que siguen curvas espaciales anudadas
  • Atractor de Smale-Williams , un fractal formado al engrosar repetidamente una curva espacial en una tira de Möbius y luego reemplazarla con el borde del límite
  • Toro umbilical , una forma tridimensional con su límite formado por una tira de Möbius, pegada a sí misma a lo largo de su único borde

notas

Referencias

enlaces externos