Clase fundamental - Fundamental class

En matemáticas , la clase fundamental es una clase de homología [ M ] asociada a un colector compacto orientable conectado de dimensión n , que corresponde al generador del grupo de homología . Se puede pensar en la clase fundamental como la orientación de los simplices de dimensión superior de una triangulación adecuada de la variedad. ${\ Displaystyle H_ {n} (M, \ parcial M; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}$

Definición

Cerrado, orientable

Cuando M es una variedad cerrada orientable conectada de dimensión n , el grupo de homología superior es cíclico infinito :, y una orientación es una elección de generador, una elección de isomorfismo . El generador se llama clase fundamental . ${\ Displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ to H_ {n} (M, \ mathbf {Z})}$

Si M está desconectado (pero aún orientable), una clase fundamental es la suma directa de las clases fundamentales para cada componente conectado (correspondiente a una orientación para cada componente).

En relación con la cohomología de De Rham , representa la integración sobre M ; a saber, para M un múltiple liso, un n -form ω se puede combinar con la clase fundamental como

${\ Displaystyle \ langle \ omega, [M] \ rangle = \ int _ {M} \ omega \,}$

que es la integral de ω sobre M , y depende solo de la clase de cohomología de ω.

Clase Stiefel-Whitney

Si M no es orientable, entonces no se puede definir una clase fundamental M que viva dentro de los enteros. Sin embargo, cada colector cerrado es orientable y (para M conectado). Por lo tanto es Cada colector cerrado -oriented (no sólo orientar capaz : no hay ambigüedad en la elección de la orientación), y tiene una clase -fundamental. ${\ Displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z}) \ ncong \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle H_ {n} (M, \ mathbf {Z} _ {2}) = \ mathbf {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$

Esta clase fundamental se utiliza para definir la clase Stiefel-Whitney . ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {2}}$

Con límite

Si M es una variedad compacta orientable con límite, entonces el grupo de homología relativa superior es nuevamente cíclico infinito , y la noción de clase fundamental se extiende al caso relativo. ${\ Displaystyle H_ {n} (M, \ parcial M) \ cong \ mathbf {Z}}$

Dualidad de Poincaré

Para cualquier grupo abeliano y entero no negativo se puede obtener un isomorfismo ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle q \ geq 0}$

${\ Displaystyle [M] \ ceño fruncido ~: H ^ {q} (M; G) \ rightarrow H_ {nq} (M; G)}$ .

utilizando el producto cap de la clase fundamental y el grupo -cohomología. Este isomorfismo le da a Poincaré dualidad: ${\ Displaystyle q}$

${\ Displaystyle H ^ {*} (M; G) \ cong H_ {n - *} (M; G)}$ .

La dualidad de Poincaré se extiende al caso relativo.

Véase también la dualidad Twisted Poincaré

Aplicaciones

En la descomposición de Bruhat de la variedad de bandera de un grupo de Lie , la clase fundamental corresponde a la celda de Schubert de dimensión superior , o equivalentemente el elemento más largo de un grupo Coxeter .

Ver también

• El elemento más largo de un grupo Coxeter
• Dualidad de Poincaré

Referencias

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   9780521795401 . Señor   1867354 .

enlaces externos

• Clase fundamental en Manifold Atlas.
• El artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre la clase fundamental .