Cohomología de De Rham - De Rham cohomology

Campo vectorial correspondiente a una forma diferencial en el plano perforado que es cerrada pero no exacta, lo que demuestra que la cohomología de De Rham de este espacio no es trivial.

En matemáticas , de Rham cohomology (el nombre de Georges de Rham ) es una herramienta que pertenece tanto a la topología algebraica y a la topología diferencial , capaz de expresar información topológica básica sobre múltiples lisos en una forma particularmente adaptado para el cálculo y la representación concreta de las clases de cohomología . Es una teoría de la cohomología basada en la existencia de formas diferenciales con propiedades prescritas.

Todas las formas exactas son cerradas, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Por otro lado, existe una relación entre la falta de exactitud y la existencia de "agujeros". Los grupos de cohomología de De Rham son un conjunto de invariantes de variedades suaves que hacen que la relación antes mencionada sea cuantitativa, y se discutirán en este artículo.

El concepto de integración de formas es de fundamental importancia en topología diferencial, geometría y física, y también produce uno de los ejemplos más importantes de cohomología , a saber, la cohomología de De Rham , que (en términos generales) mide precisamente el grado en que el teorema fundamental de el cálculo falla en dimensiones superiores y en variedades generales.
-  Terence Tao , Formas diferenciales e integración

Definición

El complejo de Rham es el complejo cocadena de formas diferenciales en alguna variedad suave M , con la derivada exterior como diferencial:

${\ Displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {3} (M) \ to \ cdots,}$

donde Ω ⁰ ( M ) es el espacio de funciones suaves en M , Ω ¹ ( M ) es el espacio de formas 1 , y así sucesivamente. Las formas que son la imagen de otras formas bajo la derivada exterior , más la función constante 0 en Ω ⁰ ( M ) , se llaman exactas y las formas cuya derivada exterior es 0 se llaman cerradas (ver Formas diferenciales cerradas y exactas ); la relación d ² = 0 entonces dice que las formas exactas son cerradas.

Por el contrario, las formas cerradas no son necesariamente exactas. Un caso ilustrativo es un círculo como una variedad, y la forma 1 corresponde a la derivada del ángulo desde un punto de referencia en su centro, típicamente escrito como dθ (descrito en Formas diferenciales cerradas y exactas ). No hay ninguna función θ definida en todo el círculo tal que dθ sea ​​su derivada; el aumento de 2 π al dar una vuelta alrededor del círculo en la dirección positiva implica una función θ multivalor . La eliminación de un punto del círculo evita esto, al mismo tiempo que cambia la topología del colector.

La idea detrás de la cohomología de De Rham es definir clases de equivalencia de formas cerradas en una variedad. Se clasifican dos formas cerradas α , β ∈ Ω ^k ( M ) como cohomólogas si difieren en una forma exacta, es decir, si α - β es exacta. Esta clasificación induce una relación de equivalencia en el espacio de formas cerradas en Ω ^k ( M ) . A continuación, se define el grupo de cohomología k -ésimo de Rham como el conjunto de clases de equivalencia, es decir, el conjunto de formas cerradas en Ω ^k ( M ) módulo las formas exactas. ${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$

Tenga en cuenta que, para cualquier colector M compuesto por m componentes desconectados, cada uno de los cuales está conectado , tenemos que

${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Esto se deduce del hecho de que cualquier función suave en M con el derivado de cero en todas partes es constante por separado en cada uno de los componentes conectados de M .

Cohomología de De Rham calculada

A menudo se pueden encontrar las cohomologías generales de De Rham de una variedad utilizando el hecho anterior sobre la cohomología cero y una secuencia de Mayer-Vietoris . Otro dato útil es que la cohomología de De Rham es una homotopía invariante. Si bien no se proporciona el cálculo, las siguientes son las cohomologías de De Rham calculadas para algunos objetos topológicos comunes :

La n- esfera

Para la n -esfera , y también cuando se toma junto con un producto de intervalos abiertos, tenemos lo siguiente. Sea n > 0, m ≥ 0 , y yo sea ​​un intervalo real abierto. Luego ${\ Displaystyle S ^ {n}}$

${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n} \ times I ^ {m}) \ simeq {\ begin {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {o }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {y}} k \ neq n. \ end {cases}}}$

El n- torus

El -torus es el producto cartesiano: . De manera similar, permitiendo aquí, obtenemos ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}}$${\ Displaystyle n \ geq 1}$

${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n \ elija k}.}$

También podemos encontrar generadores explícitos para la cohomología de De Rham del toro directamente usando formas diferenciales. Dada una variedad cociente y una forma diferencial podemos decir que es -invariante si se le da cualquier difeomorfismo inducido por , tenemos . En particular, el retroceso de cualquier forma en es invariable. Además, el retroceso es un morfismo inyectivo. En nuestro caso las formas diferenciales son -invariantes ya que . Pero tenga en cuenta que for no es una forma invariante . Esto con inyectividad implica que ${\ Displaystyle \ pi: X \ to X / G}$${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (X)}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ cdot g: X \ a X}$${\ Displaystyle (\ cdot g) ^ {*} (\ omega) = \ omega}$${\ Displaystyle X / G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ Displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}}$${\ Displaystyle x_ {i} + \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ Displaystyle [dx_ {i}] \ in H_ {dR} ^ {1} (T ^ {n})}$

Dado que el anillo de cohomología de un toro es generado por , al tomar los productos exteriores de estas formas se obtienen todos los representantes explícitos de la cohomología de De Rham de un toro. ${\ Displaystyle H ^ {1}}$

Espacio euclidiano perforado

El espacio euclidiano perforado se elimina simplemente con el origen. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {de otro modo}} \ end {cases}}.}$

La tira de Möbius

Podemos deducir del hecho de que la tira de Möbius , M , puede ser una deformación retraída a la esfera 1 (es decir, el círculo unitario real), que:

${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {1}).}$

Teorema de de Rham

El teorema de Stokes es una expresión de dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas . Dice que el emparejamiento de formas y cadenas diferenciales, a través de la integración, da un homomorfismo de la cohomología de De Rham a los grupos de cohomología singulares. El teorema de De Rham , probado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad suave M , este mapa es de hecho un isomorfismo . ${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ ${\ Displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$

Más precisamente, considere el mapa

${\ Displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M) \ to H ^ {p} (M; \ mathbb {R}),}$

definido de la siguiente manera: para cualquiera , sea I ( ω ) el elemento de que actúa de la siguiente manera: ${\ Displaystyle [\ omega] \ en H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M)}$${\ Displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H ^ {p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

El teorema de de Rham afirma que se trata de un isomorfismo entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular.

El producto exterior dota a la suma directa de estos grupos de una estructura anular . Otro resultado del teorema es que los dos anillos de cohomología son isomorfos (como anillos graduados ), donde el producto análogo en la cohomología singular es el producto de copa .

Isomorfismo de Rham teórico de la gavilla

La cohomología de Rham es isomorfa a la cohomología Čech , donde está el haz de grupos abelianos determinado por para todos los conjuntos abiertos conectados , y para conjuntos abiertos de tal manera que , el morfismo del grupo viene dado por el mapa de identidad en y donde hay una buena cubierta abierta. de (es decir, todos los conjuntos abiertos en la cubierta abierta son contraíbles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en están vacías o contraíbles hasta un punto). En otras palabras, es la gavilla constante que da la gavilla de la asignación constante de la gavilla . ${\ Displaystyle H ^ {*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U \ subconjunto M}$${\ Displaystyle U, V}$${\ Displaystyle U \ subconjunto V}$${\ Displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ underline {\ mathbb {R}}} (V) \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Dicho de otra manera, si es una variedad compacta C ^{m +1} de dimensión , entonces para cada una , hay un isomorfismo ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle k \ leq m}$

${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ cong {\ check {H}} ^ {k} (M, {\ underline {\ mathbb {R}}})}$

donde el lado izquierdo es el grupo de cohomología -th de Rham y el lado derecho es la cohomología Čech para la gavilla constante con fibra${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Prueba

Dejar que denotan la gavilla de los gérmenes de -formas sobre (con la gavilla de funciones en ). Según el lema de Poincaré , la siguiente secuencia de gavillas es exacta (en la categoría de gavillas): ${\ Displaystyle \ Omega ^ {k}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {0}}$${\ Displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle 0 \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} \ to \ Omega ^ {0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {m} \ to 0.}$

Esta secuencia ahora se divide en secuencias breves y exactas.

${\ Displaystyle 0 \ to d \ Omega ^ {k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^ {k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^ {k } \ a 0.}$

Cada uno de estos induce una secuencia larga y exacta en cohomología. Dado que la gavilla de funciones en una multiplicidad admite particiones de unidad , la gavilla-cohomología se desvanece . Por tanto, las secuencias largas de cohomología exacta se separan en última instancia en una cadena de isomorfismos. En un extremo de la cadena se encuentra la cohomología Čech y en el otro se encuentra la cohomología de Rham. ${\ Displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ Displaystyle H ^ {i} (\ Omega ^ {k})}$${\ Displaystyle i> 0}$

Ideas relacionadas

La cohomología de De Rham ha inspirado muchas ideas matemáticas, incluida la cohomología de Dolbeault , la teoría de Hodge y el teorema del índice de Atiyah-Singer . Sin embargo, incluso en contextos más clásicos, el teorema ha inspirado una serie de desarrollos. En primer lugar, la teoría de Hodge prueba que existe un isomorfismo entre la cohomología formada por formas armónicas y la cohomología de De Rham formada por formas cerradas módulo formas exactas. Esto se basa en una definición apropiada de formas armónicas y del teorema de Hodge. Para obtener más detalles, consulte la teoría de Hodge .

Formas armónicas

Si M es una variedad compacta de Riemann , entonces cada clase de equivalencia en contiene exactamente una forma armónica . Es decir, cada miembro de una clase de equivalencia dada de formas cerradas puede escribirse como ${\ Displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = \ alpha + \ gamma}$

donde es exacta y es armónica: . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Cualquier función armónica en una variedad Riemanniana conectada compacta es una constante. Por tanto, este elemento representativo particular puede entenderse como un extremo (un mínimo) de todas las formas cohomólogamente equivalentes en la variedad. Por ejemplo, en un 2 - toro , uno puede imaginar un constante 1 -forma como uno donde todo el "pelo" se peina de forma ordenada en la misma dirección (y todos los "cabello" que tienen la misma longitud). En este caso, hay dos peinados cohomológicamente distintos; todos los demás son combinaciones lineales. En particular, esto implica que el primer número Betti de un 2 -torus es dos. De manera más general, en un toro -dimensional , se pueden considerar las diversas combinaciones de formas -en el toro. Hay elegir tales combings que se pueden utilizar para formar los vectores de la base para ; el número de Betti-ésima para el grupo de cohomología de de Rham para la -torus De este modo se elija . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T ^ {n}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {k} (T ^ {n})}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$

Más precisamente, para un colector diferencial M , se puede equipar con alguna métrica auxiliar de Riemann . Entonces el laplaciano se define por ${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$

con la derivada exterior y la codiferencial . El laplaciano es un operador diferencial lineal homogéneo (en clasificación ) que actúa sobre el álgebra exterior de formas diferenciales : podemos observar su acción en cada componente de grado por separado. ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle k}$

Si es compacto y orientado , la dimensión del núcleo del laplaciano que actúa sobre el espacio de las formas k es entonces igual (según la teoría de Hodge ) a la del grupo de cohomología de De Rham en grado : el laplaciano escoge una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas . En particular, el espacio de todas las formas armónicas en es isomorfo a. La dimensión de cada uno de esos espacios es finita, y está dada por el -ésimo número de Betti . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ Displaystyle k}$

Descomposición de Hodge

Sea una variedad de Riemann de orientación compacta . La descomposición de Hodge establece que cualquier forma -en se divide de forma única en la suma de tres componentes L ² : ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ omega = \ alpha + \ beta + \ gamma,}$

donde es exacto, co-exacto y armónico. ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Se dice que una forma es co-cerrado si y co-exacta si de alguna forma , y que es armónica si el laplaciano es cero, . Esto se sigue al señalar que las formas exactas y co-exactas son ortogonales; el complemento ortogonal consiste entonces en formas que son a la vez cerradas y co-cerradas: es decir, de formas armónicas. Aquí, la ortogonalidad se define con respecto al producto interno L ² en : ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ Displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$

${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Mediante el uso de espacios o distribuciones de Sobolev , la descomposición puede extenderse, por ejemplo, a una variedad Riemanniana completa (orientada o no).

Ver también

• Teoría de Hodge
• Integración a lo largo de las fibras (para la cohomología de De Rham, el empuje hacia adelante viene dado por la integración )

Citas

Referencias

enlaces externos

• Idea del proyecto De Rham Cohomology in Mathifold
• "Cohomology De Rham" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]