Formación de clases - Class formation

En matemáticas, una formación de clase es un grupo topológico que actúa sobre un módulo que satisface determinadas condiciones. Las formaciones de clase fueron introducidas por Emil Artin y John Tate para organizar los diversos grupos y módulos de Galois que aparecen en la teoría de campo de clase .

Definiciones

Una formación es un grupo topológico G junto con un módulo G topológico A sobre el que G actúa continuamente.

Una capa de E / F de una formación es un par de subgrupos abierto E , F de G tal que F es un subgrupo de índice finito de E . Se llama capa normal si F es un subgrupo normal de E , y capa cíclica si además el grupo del cociente es cíclico. Si E es un subgrupo de G , entonces A E se define como los elementos de A fijados por E . Nosotros escribimos

H n ( E / F )

para el grupo de cohomología Tate H n ( E / F , A F ) siempre que E / F es una capa normal. (Algunos autores piensan en E y F como campos fijos en lugar de un subgrupo de G , así que escriba F / E en lugar de E / F. ) En las aplicaciones, G es a menudo el grupo de Galois absoluto de un campo, y en particular es profinito , y los subgrupos abiertos corresponden, por tanto, a las extensiones finitas del campo contenidas en algún cierre separable fijo.

Una formación de clase es una formación tal que para cada capa normal E / F

H 1 ( E / F ) es trivial y
H 2 ( E / F ) es cíclico de orden | E / F |.

En la práctica, estos grupos cíclicos vienen provistos de generadores canónicos u E / F ∈ H 2 ( E / F ), llamados clases fundamentales , que son compatibles entre sí en el sentido de que la restricción (de clases de cohomología) de una clase fundamental es otra clase fundamental. A menudo, las clases fundamentales se consideran parte de la estructura de una formación de clases.

Una formación que satisface solo la condición H 1 ( E / F ) = 1 a veces se denomina formación de campo . Por ejemplo, si G es cualquier grupo finito que actúa sobre un campo L y A = L × , entonces se trata de una formación de campo según el teorema 90 de Hilbert .

Ejemplos de

Los ejemplos más importantes de formación de clases (ordenados aproximadamente por orden de dificultad) son los siguientes:

  • Teoría de campo de clase local de Arquímedes : el módulo A es el grupo de números complejos distintos de cero, y G es trivial o es el grupo cíclico de orden 2 generado por conjugación compleja.
  • Campos finitos: el módulo A son los números enteros (con acción G trivial ), y G es el grupo de Galois absoluto de un campo finito, que es isomorfo a la compleción profinita de los números enteros.
  • Teoría del campo de clase local de la característica p > 0: El módulo A es el cierre algebraico separable del campo de la serie formal de Laurent sobre un campo finito, y G es el grupo de Galois.
  • Teoría de campo de clase local no arquimediana de la característica 0: El módulo A es el cierre algebraico de un campo de números p -ádicos, y G es el grupo de Galois.
  • Teoría del campo de clases global de la característica p > 0: El módulo A es la unión de los grupos de clases ideales de extensiones finitas separables de algún campo de función sobre un campo finito, y G es el grupo de Galois.
  • La teoría de campos de clase mundial de la característica 0: El módulo A es la unión de los grupos de clases Idele de campos de números algebraicos, y G es el grupo de Galois de los números racionales (o algún campo de números algebraicos) que actúa sobre un .

Es fácil verificar la propiedad de formación de clases para el caso de campo finito y el caso de campo local de Arquímedes, pero los casos restantes son más difíciles. La mayor parte del arduo trabajo de la teoría del campo de clases consiste en demostrar que se trata de formaciones de clase. Esto se hace en varios pasos, como se describe en las secciones siguientes.

La primera desigualdad

La primera desigualdad de la teoría del campo de clases establece que

| H 0 ( E / F ) | ≥ | E / F |

para capas cíclicos E / F . Por lo general, se prueba usando propiedades del cociente de Herbrand , en la forma más precisa

| H 0 ( E / F ) | = | E / F | × | H 1 ( E / F ) |.

Es bastante sencillo de probar, porque el cociente de Herbrand es fácil de calcular, ya que es multiplicativo en secuencias cortas y exactas y es 1 para módulos finitos.

Antes de aproximadamente 1950, la primera desigualdad se conocía como la segunda desigualdad y viceversa.

La segunda desigualdad

La segunda desigualdad de la teoría del campo de clases establece que

| H 0 ( E / F ) | ≤ | E / F |

para todas las capas normales de E / F .

Para los campos locales, esta desigualdad se sigue fácilmente del teorema 90 de Hilbert junto con la primera desigualdad y algunas propiedades básicas de la cohomología de grupo.

La segunda desigualdad fue probada primero para campos globales por Weber usando propiedades de la serie L de campos numéricos, como sigue. Supongamos que la capa E / F corresponde a una extensión k ⊂ K de campos globales. Al estudiar la función zeta de Dedekind de K, se muestra que los primos de grado 1 de K tienen densidad de Dirichlet dada por el orden del polo en s = 1, que es 1 (cuando K son los racionales, esto es esencialmente la prueba de Euler de que hay infinitos números primos usando el polo en s = 1 de la función zeta de Riemann .) Como cada primo en k que es una norma es el producto de grados ( K / k ) = | E / F | primos de grado 1 distintos de K , esto muestra que el conjunto de primos de k que son normas tiene densidad 1 / | E / F |. Por otro lado, al estudiar la serie L de caracteres de Dirichlet del grupo H 0 ( E / F ), se muestra que la densidad de Dirichlet de los números primos de k que representan el elemento trivial de este grupo tiene densidad 1 / | H 0 ( E / F ) |. (Esta parte de la prueba es una generalización de la prueba de Dirichlet de que hay infinitos números primos en las progresiones aritméticas). Pero un primo representa un elemento trivial del grupo H 0 ( E / F ) si es igual a una norma módulo principal ideales , por lo que este conjunto es al menos tan denso como el conjunto de números primos que son normas. Entonces

1 / | H 0 ( E / F ) | ≥ 1 / | E / F |

que es la segunda desigualdad.

En 1940, Chevalley encontró una prueba puramente algebraica de la segunda desigualdad, pero es más larga y más difícil que la prueba original de Weber. Antes de aproximadamente 1950, la segunda desigualdad se conocía como la primera desigualdad; el nombre se cambió porque la prueba algebraica de Chevalley usa la primera desigualdad.

Takagi definió un campo de clase como aquél en el que la igualdad se mantiene en la segunda desigualdad. Según el isomorfismo de Artin a continuación, H 0 ( E / F ) es isomorfo a la abelianización de E / F , por lo que la igualdad en la segunda desigualdad se cumple exactamente para las extensiones abelianas, y los campos de clase son los mismos que las extensiones abelianas.

La primera y la segunda desigualdad se pueden combinar de la siguiente manera. Para capas cíclicas, las dos desigualdades juntas demuestran que

H 1 ( E / F ) | E / F | = H 0 ( E / F ) ≤ | E / F |

asi que

H 0 ( E / F ) = | E / F |

y

H 1 ( E / F ) = 1.

Ahora, un teorema básico sobre los grupos de cohomología muestra que, dado que H 1 ( E / F ) = 1 para todas las capas cíclicas, tenemos

H 1 ( E / F ) = 1

para todas las capas normales (por lo que, en particular, la formación es una formación de campo). Esta prueba de que H 1 ( E / F ) es siempre trivial es bastante indirecta; no se conoce ninguna prueba "directa" de ello (sea lo que sea que esto signifique) para los campos globales. (Para campos locales, la desaparición de H 1 ( E / F ) es solo el teorema 90 de Hilbert).

Para el grupo cíclico, H 0 es lo mismo que H 2 , entonces H 2 ( E / F ) = | E / F | para todas las capas cíclicas. Otro teorema de cohomología de grupo muestra que desde H 1 ( E / F ) = 1 para todas las capas normales y H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | para todas las capas cíclicas, tenemos

H 2 ( E / F ) ≤ | E / F |

para todas las capas normales. (De hecho, la igualdad es válida para todas las capas normales, pero esto requiere más trabajo; consulte la siguiente sección).

El grupo Brauer

Los grupos Brauer H 2 ( E / *) de una formación de clase se definen a ser el límite directa de los grupos H 2 ( E / F ) como F corre sobre todos los subgrupos abiertos de E . Una consecuencia fácil de la desaparición de H 1 para todas las capas es que los grupos H 2 ( E / F ) son todos subgrupos del grupo Brauer. En la teoría de campo de clase local, los grupos de Brauer son los mismos que los grupos de campos de Brauer , pero en la teoría de campo de clase global, el grupo de Brauer de la formación no es el grupo de Brauer del campo global correspondiente (aunque están relacionados).

El siguiente paso es demostrar que H 2 ( E / F ) es cíclico de orden exactamente | E / F |; la sección anterior muestra que tiene como máximo este orden, por lo que es suficiente encontrar algún elemento de orden | E / F | en H 2 ( E / F ).

La prueba de extensiones arbitrarias usa un homomorfismo del grupo G en la compleción profinita de los enteros con el núcleo G ∞ , o en otras palabras, una secuencia compatible de homomorfismos de G en los grupos cíclicos de orden n para todo n , con núcleos G n . Estos homomorfismos se construyen usando extensiones ciclotómicas cíclicas de campos; para los campos finitos están dados por el cierre algebraico, para los campos locales no arquimedianos están dados por las extensiones máximas no ramificadas, y para los campos globales son un poco más complicados. Como estas extensiones se dan explícitamente, se puede comprobar que tienen la propiedad de que H 2 ( G / G n ) es cíclico de orden n , con un generador canónico. Se sigue de esto que para cualquier capa E , el grupo H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) es canónicamente isomorfo a Q / Z . Esta idea de utilizar raíces de unidad fue introducida por Chebotarev en su demostración del teorema de densidad de Chebotarev , y poco después Artin la utilizó para demostrar su teorema de reciprocidad.

Para las capas generales E , F hay una secuencia exacta

Los dos últimos grupos de esta secuencia se pueden identificar con Q / Z y el mapa entre ellos se multiplica por | E / F |. Así que el primer grupo es canónicamente isomorfo a Z / n Z . Como H 2 ( E / F ) tiene orden como máximo Z / n Z debe ser igual a Z / n Z (y en particular está contenido en el grupo intermedio)).

Esto muestra que el segundo grupo de cohomología H 2 ( E / F ) de cualquier capa es cíclico de orden | E / F |, que completa la verificación de los axiomas de la formación de una clase. Con un poco más de cuidado en las demostraciones, obtenemos un generador canónico de H 2 ( E / F ), llamado clase fundamental .

De esto se deduce que el grupo de Brauer H 2 ( E / *) es (canónicamente) isomorfo al grupo Q / Z , excepto en el caso de los campos locales de Arquímedes R y C cuando tiene el orden 2 o 1.

El teorema de Tate y el mapa de Artin

El teorema de Tate en cohomología de grupo es el siguiente. Suponga que A es un módulo sobre un grupo finito G y que a es un elemento de H 2 ( G , A ), tal que para cada subgrupo E de G

  • H 1 ( E , A ) es trivial y
  • H 2 ( E , A ) es generado por Res (a) que tiene orden E .

Entonces el producto de taza con a es un isomorfismo

  • H n ( sol , Z ) → H n +2 ( sol , A ).

Si aplicamos el caso n = −2 del teorema de Tate a una formación de clases, encontramos que hay un isomorfismo

  • H −2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )

para cualquier capa normal E / F . El grupo H -2 ( E / F , Z ) es sólo el abelianization de E / F , y el grupo H 0 ( E / F , A F ) es A E módulo el grupo de normas de A F . En otras palabras, tenemos una descripción explícita de la abelianization del grupo de Galois E / F en términos de una E .

Tomando el inverso de este isomorfismo da un homomorfismo

A E → abelianización de E / F ,

y tomando el límite sobre todos los subgrupos abiertos F da un homomorfismo

A E → abelianización de E ,

llamado el mapa de Artin . El mapa de Artin no es necesariamente sobreyectivo, pero tiene una imagen densa. Por el teorema de existencia debajo de su núcleo está el componente conectado de A E (para la teoría de campos de clases), que es trivial para la teoría de campos de clases de campos locales no arquímedes y para campos de función, pero no es trivial para campos locales arquímedes y números. los campos.

El teorema de la existencia de Takagi

El principal teorema restante de la teoría de campos de clases es el teorema de existencia de Takagi , que establece que cada subgrupo cerrado de índice finito del grupo de clase idele es el grupo de normas correspondientes a alguna extensión abeliana. La forma clásica de demostrar esto es construir algunas extensiones con pequeños grupos de normas, primero agregando muchas raíces de unidad y luego tomando extensiones de Kummer y extensiones de Artin-Schreier . Estas extensiones pueden ser no abelianas (aunque son extensiones de grupos abelianos por grupos abelianos); sin embargo, esto realmente no importa, ya que el grupo normativo de una extensión de Galois no abeliana es el mismo que el de su extensión abeliana máxima (esto se puede demostrar usando lo que ya sabemos sobre los campos de clase). Esto da suficientes extensiones (abelianas) para mostrar que hay una extensión abeliana correspondiente a cualquier subgrupo de índice finito del grupo de clases idele.

Una consecuencia es que el núcleo del mapa de Artin es el componente conectado de la identidad del grupo de clase idele, de modo que la abelianización del grupo de Galois de F es la compleción profinita del grupo de clase idele.

Para la teoría del campo de clases local, también es posible construir extensiones abelianas más explícitamente utilizando las leyes de grupo formales de Lubin-Tate . Para campos globales, las extensiones abelianas pueden construirse explícitamente en algunos casos: por ejemplo, las extensiones abelianas de los racionales pueden construirse usando raíces de unidad, y las extensiones abelianas de campos imaginarios cuadráticos pueden construirse usando funciones elípticas, pero encontrando una análogo de esto para campos globales arbitrarios es un problema sin resolver.

Grupo Weil

Artículo principal: grupo Weil
Este no es un grupo Weyl y no tiene ninguna conexión con el grupo Weil-Châtelet o el grupo Mordell-Weil

El grupo de Weil de una formación de clases con clases fundamentales u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F ) es una especie de grupo de Galois modificado, introducido por Weil (1951) y utilizado en varias formulaciones de teoría de campo de clases, y en particular en el programa Langlands .

Si E / F es una capa normal, entonces el grupo Weil U de E / F es la extensión

1 → A F → U → E / F → 1

correspondiente a la clase fundamental u E / F en H 2 ( E / F , A F ). El grupo Weil de toda la formación se define para ser el límite inverso de los grupos Weil de todas las capas de G / F , para F un subgrupo abierto de G .

El mapa de reciprocidad de la formación de clases ( G ,  A ) induce un isomorfismo de A G a la abelianización del grupo de Weil.

Ver también

Referencias

  • Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1952], teoría del campo de clases , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR  0223335
  • Kawada, Yukiyosi (1971), "Class formations", 1969 Number Theory Institute (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 96-114
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, 67 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR  0554237, esp. capítulo XI: Formación de clases
  • Tate, J. (1979), "Antecedentes de la teoría de números" , Formas automórficas, representaciones y funciones L, Parte 2 , Proc. Simpos. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 3 a 26, ISBN 978-0-8218-1435-2
  • Weil, André (1951), "Sur la theorie du corps de classes", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 3 : 1–35, doi : 10.2969 / jmsj / 00310001 , ISSN  0025-5645 , MR  0044569, reimpreso en el volumen I de sus artículos recopilados, ISBN  0-387-90330-5