Dualidad de Poincaré - Poincaré duality

En matemáticas , el teorema de la dualidad de Poincaré , que lleva el nombre de Henri Poincaré , es un resultado básico de la estructura de los grupos de variedades de homología y cohomología . Establece que si M es una variedad cerrada de orientación n- dimensional ( compacta y sin límite), entonces el k- ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( ) -ésimo grupo de homología de M , para todos los enteros k ${\ Displaystyle nk}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (M) \ cong H_ {nk} (M).}$

La dualidad de Poincaré es válida para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada colector tiene una orientación única mod 2, la dualidad de Poincaré tiene mod 2 sin ningún supuesto de orientación.

Historia

Una forma de Poincaré dualidad se afirmó primero, sin pruebas, por Henri Poincaré en 1893. Se afirmó en términos de números de Betti : La k ésimo y ( ) th números de Betti de una cerrada (es decir, compacto y sin límite) orientable n - múltiples son iguales. El concepto de cohomología estaba en ese momento a unos 40 años de ser aclarado. En su artículo Analysis Situs de 1895 , Poincaré intentó probar el teorema utilizando la teoría de la intersección topológica , que él mismo había inventado. Las críticas de Poul Heegaard a su trabajo lo llevaron a darse cuenta de que su prueba adolecía de graves defectos. En los dos primeros complementos de Analysis Situs , Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales. ${\ Displaystyle nk}$

La dualidad de Poincaré no tomó su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de taza y tapón y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

Formulación moderna

El enunciado moderno del teorema de la dualidad de Poincaré es en términos de homología y cohomología: si es un n- múltiple de orientación cerrada , y es un número natural menor que , entonces hay un isomorfismo definido canónicamente . Para definir tal isomorfismo, se elige una clase fundamental fija de , que existirá si está orientado. Luego, el isomorfismo se define asignando un elemento a su producto de límite . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle H ^ {k} (M, \ mathbb {Z}) \ to H_ {nk} (M, \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle [M]}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ alpha \ en H ^ {k} (M)}$${\ Displaystyle [M] \ fruncir el ceño \ alpha}$

Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de n colectores cerrados orientables son cero para grados mayores que n .

Aquí, la homología y la cohomología son integrales, pero el isomorfismo sigue siendo válido sobre cualquier anillo de coeficientes. En el caso de que una variedad orientada no sea compacta, se debe reemplazar la homología por Borel-Moore_homology

${\ Displaystyle H ^ {i} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} H_ {ni} ^ {BM} (X),}$

o reemplace la cohomología por la cohomología con soporte compacto

${\ Displaystyle H_ {c} ^ {i} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} H_ {ni} (X).}$

Estructuras de celda dual

Dada una variedad triangulada, hay una descomposición poliédrica dual correspondiente. La descomposición poliédrica dual es una descomposición celular de la variedad tal que las k- celdas de la descomposición poliédrica dual están en correspondencia biyectiva con las ( ) -células de la triangulación, generalizando la noción de poliedros duales . ${\ Displaystyle nk}$

Precisamente, sea T una triangulación de un múltiple M de n . Deje que S sea un simple del t . Sea un simplex de dimensión superior de T que contenga S , por lo que podemos pensar en S como un subconjunto de los vértices de . Defina el DS de celda dual correspondiente a S de modo que sea ​​el casco convexo de los baricentros de todos los subconjuntos de los vértices de ese contenido . Se puede comprobar que si S es i- dimensional, entonces DS es una celda ( ) -dimensional. Por otra parte, la doble células a T forman una CW-descomposición de M , y la única ( ) -dimensional dual de células que se cruza con una i células beta S es DS . Así, el emparejamiento dado al tomar intersecciones induce un isomorfismo , donde es la homología celular de la triangulación T , y son las homologías y cohomologías celulares de la descomposición dual poliédrica / CW la variedad, respectivamente. El hecho de que se trate de un isomorfismo de complejos de cadenas es una prueba de la dualidad de Poincaré. En términos generales, esto equivale al hecho de que la relación de límite para la triangulación T es la relación de incidencia para la descomposición poliédrica dual bajo la correspondencia . ${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ Delta \ cap DS}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle ni}$${\ Displaystyle ni}$${\ Displaystyle C_ {i} M \ otimes C_ {ni} M \ to \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle C_ {i} M \ a C ^ {ni} M}$${\ Displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle C_ {ni} M}$${\ Displaystyle C ^ {ni} M}$${\ Displaystyle S \ longmapsto DS}$

Naturalidad

Tenga en cuenta que es un functor contravariante mientras que es covariante . La familia de los isomorfismos ${\ Displaystyle H ^ {k}}$${\ Displaystyle H_ {nk}}$

${\ Displaystyle D_ {M} \ colon H ^ {k} (M) \ to H_ {nk} (M)}$

es natural en el siguiente sentido: si

${\ Displaystyle f \ dos puntos M \ a N}$

es un mapa continuo entre dos n- múltiples orientados que es compatible con la orientación, es decir, que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N , entonces

${\ Displaystyle D_ {N} = f _ {*} \ circ D_ {M} \ circ f ^ {*},}$

donde y son los mapas inducidos por f en homología y cohomología, respectivamente. ${\ Displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*}}$

Tenga en cuenta la hipótesis muy fuerte y crucial que f mapea la clase fundamental de la M a la clase fundamental de N . La naturalidad no es válida para un mapa continuo arbitrario f , ya que en general no es una inyección en la cohomología. Por ejemplo, si f es un mapa de cobertura a continuación, se asigna la clase fundamental de M a un múltiplo de la clase fundamental de N . Este múltiplo es el grado del mapa f . ${\ displaystyle f ^ {*}}$

Formulación de emparejamientos bilineales

Suponiendo que el colector M es compacto, sin límites y orientable , supongamos

${\ Displaystyle \ tau H_ {i} M}$

denotar el subgrupo de torsión de y sea ${\ Displaystyle H_ {i} M}$

${\ Displaystyle fH_ {i} M = H_ {i} M / \ tau H_ {i} M}$

sea ​​la parte libre - todos los grupos de homología tomados con coeficientes enteros en esta sección. Luego están los mapas bilineales que son emparejamientos de dualidad (explicados a continuación).

${\ Displaystyle fH_ {i} M \ a veces fH_ {ni} M \ to \ mathbb {Z}}$

y

${\ Displaystyle \ tau H_ {i} M \ otimes \ tau H_ {ni-1} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$.

Aquí está el cociente de los racionales por los números enteros, tomado como un grupo aditivo. Observe que en el formulario de enlace de torsión, hay un en la dimensión, por lo que las dimensiones emparejadas suman en lugar de . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle n-1,}$${\ Displaystyle n}$

La primera forma se denomina típicamente producto de intersección y la segunda forma de enlace de torsión . Suponiendo que el colector M es suave, el producto de la intersección se calcula perturbando las clases de homología para que sean transversales y calculando su número de intersección orientada. Para la forma de torsión que une, uno calcula el emparejamiento de x y y mediante la realización de nx como el límite de alguna clase z . Entonces, la forma toma el valor igual a la fracción cuyo numerador es el número de intersección transversal de z con y , y cuyo denominador es n .

La afirmación de que los emparejamientos son emparejamientos de dualidad significa que los mapas adjuntos

${\ Displaystyle fH_ {i} M \ to \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (fH_ {ni} M, \ mathbb {Z})}$

y

${\ Displaystyle \ tau H_ {i} M \ to \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (\ tau H_ {ni-1} M, \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})}$

son isomorfismos de grupos.

Este resultado es una aplicación de Poincaré Duality

${\ Displaystyle H_ {i} M \ simeq H ^ {ni} M}$,

junto con el teorema del coeficiente universal , que da una identificación

${\ Displaystyle fH ^ {ni} M \ equiv \ mathrm {Hom} (H_ {ni} M; \ mathbb {Z})}$

y

${\ Displaystyle \ tau H ^ {ni} M \ equiv \ mathrm {Ext} (H_ {ni-1} M; \ mathbb {Z}) \ equiv \ mathrm {Hom} (\ tau H_ {ni-1} M ; \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})}$.

Así, la dualidad de Poincaré dice que y son isomorfos, aunque no existe un mapa natural que dé el isomorfismo, y de manera similar y también son isomorfos, aunque no de forma natural. ${\ Displaystyle fH_ {i} M}$${\ Displaystyle fH_ {ni} M}$${\ Displaystyle \ tau H_ {i} M}$${\ Displaystyle \ tau H_ {ni-1} M}$

Dimensión media

Mientras que para la mayoría de las dimensiones, la dualidad de Poincaré induce un emparejamiento bilineal entre diferentes grupos de homología, en la dimensión media induce una forma bilineal en un solo grupo de homología. La forma de intersección resultante es un invariante topológico muy importante.

Lo que se entiende por "dimensión media" depende de la paridad. Para la dimensión uniforme que es más común, esta es literalmente la dimensión media k, y hay una forma en la parte libre de la homología media: ${\ Displaystyle n = 2k,}$

${\ Displaystyle fH_ {k} M \ a veces fH_ {k} M \ to \ mathbb {Z}}$

Por el contrario, para la dimensión impar que se discute con menos frecuencia, es más simplemente la dimensión media inferior k, y hay una forma en la parte de torsión de la homología en esa dimensión: ${\ Displaystyle n = 2k + 1,}$

${\ Displaystyle \ tau H_ {k} M \ otimes \ tau H_ {k} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.}$

Sin embargo, también existe un emparejamiento entre la parte libre de la homología en la dimensión media inferior k y en la dimensión media superior : ${\ Displaystyle k + 1}$

${\ Displaystyle fH_ {k} M \ a veces fH_ {k + 1} M \ to \ mathbb {Z}.}$

Los grupos resultantes, aunque no son un solo grupo con una forma bilineal, son un complejo de cadena simple y se estudian en la teoría L algebraica .

Aplicaciones

Este enfoque de la dualidad de Poincaré fue utilizado por Józef Przytycki y Akira Yasuhara para dar una clasificación elemental de homotopía y difeomorfismo de los espacios de lentes tridimensionales .

Formulación de isomorfismo de Thom

La dualidad de Poincaré está estrechamente relacionada con el teorema del isomorfismo de Thom , como explicaremos aquí. Para esta exposición, sea ​​un colector n compacto, orientado sin límites. Sea el producto de consigo mismo, sea ​​una vecindad tubular abierta de la diagonal hacia adentro . Considere los mapas: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M \ times M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle M \ times M}$

• ${\ Displaystyle H _ {*} M \ veces H _ {*} M \ a H _ {*} (M \ times M)}$el producto cruzado de homología

• ${\ Displaystyle H _ {*} (M \ times M) \ to H _ {*} \ left (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right)}$ inclusión.

• ${\ Displaystyle H _ {*} \ left (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right) \ to H _ {*} (\ nu M, \ parcial \ nu M)}$ mapa de escisión donde se encuentra el haz de disco normal de la diagonal en .${\ Displaystyle \ nu M}$${\ Displaystyle M \ times M}$

• ${\ Displaystyle H _ {*} (\ nu M, \ parcial \ nu M) \ a H _ {* - n} M}$el isomorfismo de Thom . Este mapa está bien definido ya que hay una identificación estándar que es un paquete orientado, por lo que se aplica el isomorfismo de Thom.${\ Displaystyle \ nu M \ equiv TM}$

Combinado, esto da un mapa , que es el producto de intersección; estrictamente hablando, es una generalización del producto de intersección anterior, pero también se llama producto de intersección. Un argumento similar con el teorema de Künneth da la forma de enlace de torsión . ${\ Displaystyle H_ {i} M \ otimes H_ {j} M \ to H_ {i + jn} M}$

Esta formulación de la dualidad de Poincaré se ha vuelto bastante popular, ya que proporciona un medio para definir la dualidad de Poincaré para cualquier teoría de homología generalizada, siempre que se tenga un isomorfismo de Thom para esa teoría de homología. Un teorema de isomorfismo de Thom para una teoría de homología se acepta ahora como la noción generalizada de orientabilidad para una teoría de homología. Por ejemplo, una estructura en una variedad resulta ser precisamente lo que se necesita para ser orientable en el sentido de la teoría k topológica compleja . ${\ Displaystyle girar ^ {c}}$

Generalizaciones y resultados relacionados

El teorema de la dualidad de Poincaré-Lefschetz es una generalización para variedades con límite. En el caso no orientable, teniendo en cuenta el haz de orientaciones locales, se puede dar un enunciado que es independiente de la orientabilidad: ver Dualidad Twisted Poincaré .

La dualidad de Blanchfield es una versión de la dualidad de Poincaré que proporciona un isomorfismo entre la homología de un espacio de cobertura abeliano de un colector y la cohomología correspondiente con soportes compactos. Se utiliza para obtener resultados estructurales básicos sobre el módulo Alexander y se puede utilizar para definir las firmas de un nudo .

Con el desarrollo de la teoría de la homología para incluir la teoría K y otras teorías extraordinarias de alrededor de 1955, se comprendió que la homología podría ser reemplazada por otras teorías, una vez que se construyeron los productos de las variedades; y ahora hay tratamientos de libros de texto en general. Más específicamente, existe un teorema de dualidad de Poincaré general para una teoría de homología generalizada que requiere una noción de orientación con respecto a una teoría de homología, y se formula en términos de un teorema de isomorfismo de Thom generalizado . El teorema del isomorfismo de Thom a este respecto puede considerarse como la idea germinal de la dualidad de Poincaré para las teorías de homología generalizadas. ${\ Displaystyle H '_ {*}}$

La dualidad Verdier es la generalización apropiada a objetos geométricos (posiblemente singulares ), como espacios o esquemas analíticos , mientras que la homología de intersección fue desarrollada por Robert MacPherson y Mark Goresky para espacios estratificados , como variedades algebraicas reales o complejas, precisamente para generalizar la dualidad de Poincaré. a espacios tan estratificados.

Hay muchas otras formas de dualidad geométrica en la topología algebraica , incluyendo Lefschetz dualidad , Alexander dualidad , la dualidad de Hodge y S-dualidad .

Más algebraicamente, se puede abstraer la noción de complejo de Poincaré , que es un objeto algebraico que se comporta como el complejo de cadena singular de una variedad, satisfaciendo notablemente la dualidad de Poincaré en sus grupos de homología, con respecto a un elemento distinguido (correspondiente a la clase fundamental ). Estos se utilizan en la teoría de la cirugía para algebraizar preguntas sobre variedades. Un espacio de Poincaré es aquel cuyo singular complejo de cadenas es un complejo de Poincaré. No todos son múltiples, pero su fracaso en ser múltiples se puede medir mediante la teoría de la obstrucción .

Ver también

• Descomposición de Bruhat
• Clase fundamental
• Grupo Weyl

Referencias

Otras lecturas

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Teoría de la intersección de variedades con operadores con aplicaciones a la teoría de nudos", Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi : 10.2307 / 1969966 , JSTOR  1969966 , MR  0085512
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523

enlaces externos

• Forma de intersección en Manifold Atlas
• Forma de vinculación en el Atlas múltiple