Orientabilidad - Orientability

Un toro es una superficie orientable

La banda de Möbius es una superficie no orientable. Tenga en cuenta que el cangrejo violinista que se mueve a su alrededor se ha volteado hacia la izquierda y hacia la derecha con cada circulación completa. Esto no sucedería si el cangrejo estuviera en el toro.

La superficie romana no es orientable.

En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos , como los espacios vectoriales reales , los espacios euclidianos , las superficies y, en general, las variedades que permiten una definición coherente de "en sentido horario" y "antihorario". Un espacio es orientable si existe tal definición consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y una elección entre ellas es una orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclidianos y las esferas son orientables. Un espacio no es orientable si "en el sentido de las agujas del reloj" se cambia a "en el sentido contrario a las agujas del reloj" después de recorrer algunos bucles en él y volver al punto de partida. Esto significa que una forma geométrica , como , que se mueve continuamente a lo largo de dicho bucle, cambia en su propia imagen reflejada . Una tira de Möbius es un ejemplo de un espacio no orientable.

Se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables hay más estructura, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para lo cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en el espacio. valores paramétricos.

Superficies orientables

En esta animación, se hace una analogía simple usando un engranaje que gira de acuerdo con la regla de la mano derecha en el vector normal de una superficie. La orientación de las curvas dada por los límites viene dada por la dirección en la que se mueven los puntos cuando son empujados por el engranaje en movimiento. En una superficie no orientable, como la banda de Möbius, el límite tendría que moverse en ambas direcciones a la vez, lo que no es posible.

Una superficie S en el espacio euclidiano R ³ es orientable si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y volver a donde comenzó para que se vea como su propia imagen especular ( ). De lo contrario, la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si se puede definir un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj en la superficie de una manera continua. Es decir, un bucle que gira en una dirección en la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin solaparse) en un bucle que gira en la dirección opuesta. Esto resulta ser equivalente a la cuestión de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea homeomórfico a la banda de Möbius . Por lo tanto, para las superficies, la banda de Möbius puede considerarse la fuente de toda la no orientabilidad.

Para una superficie orientable, una elección consistente de "en el sentido de las agujas del reloj" (en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj) se llama orientación y la superficie se llama orientada . Para las superficies incrustadas en el espacio euclidiano, una orientación se especifica mediante la elección de una superficie normal n continuamente variable en cada punto. Si tal normal existe, entonces siempre hay dos formas de seleccionarlo: n o - n . De manera más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre un Oriente ed superficie y un Oriente capaces superficie es sutil y con frecuencia borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie que es orientable de forma abstracta y tiene el dato adicional de una elección de una de las dos posibles orientaciones.

Ejemplos de

La mayoría de las superficies que encontramos en el mundo físico son orientables. Las esferas , los planos y los toros son orientables, por ejemplo. Pero las tiras de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Todos ellos, visualizados en 3 dimensiones, tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R ³ , solo se sumergen con bonitas intersecciones.

Tenga en cuenta que localmente una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastra sobre una superficie de un solo lado pensaría que hay un "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede arrastrarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie o voltearse por un borde, sino simplemente arrastrándose lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no equivale a ser bilateral; sin embargo, esto se mantiene cuando el espacio ambiental (como R ³ arriba) es orientable. Por ejemplo, un toro incrustado en

{\ Displaystyle K ^ {2} \ times S ^ {1}}

puede ser de una cara y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos caras; aquí se refiere a la botella de Klein. ${\ Displaystyle K ^ {2}}$

Orientación por triangulación

Cualquier superficie tiene una triangulación : una descomposición en triángulos de manera que cada borde de un triángulo está pegado como máximo a otro borde. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor del perímetro del triángulo, asociando una dirección a cada borde del triángulo. Si esto se hace de tal manera que, cuando se pegan, los bordes vecinos apuntan en la dirección opuesta, esto determina una orientación de la superficie. Tal elección solo es posible si la superficie es orientable, y en este caso hay exactamente dos orientaciones diferentes.

Si la figura se puede posicionar de manera consistente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación seleccionando la dirección de cada uno de los triángulos en función de la Ordene rojo-verde-azul de colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque se generaliza a cualquier n- múltiple que tenga una triangulación. Sin embargo, algunas variedades de 4 no tienen triangulación y, en general, para n > 4 algunas variedades de n tienen triangulaciones que no son equivalentes.

Orientabilidad y homología

Si H ₁ ( S ) denota el primer grupo de homología de una superficie S , entonces S es orientable si y solo si H ₁ ( S ) tiene un subgrupo de torsión trivial . Más precisamente, si S es orientable, entonces H ₁ ( S ) es un grupo abeliano libre , y si no, H ₁ ( S ) = F + Z / 2 Z donde F es abeliano libre, y se genera el factor Z / 2 Z por la curva del medio en una banda de Möbius incrustado en S .

Orientabilidad de colectores

Deje que M sea un topológico conectado n - colector . Hay varias definiciones posibles de lo que significa que M sea orientable. Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable. Ocasionalmente, $n = 0$ debe convertirse en un caso especial. Cuando más de una de estas definiciones se aplica a M , entonces M es orientable bajo una definición si y solo si es orientable bajo las otras.

Orientabilidad de variedades diferenciables

Las definiciones más intuitivas requieren que M sea una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de M son funciones C ¹ . Tal función admite un determinante jacobiano . Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación . Un atlas orientado en M es un atlas para el que todas las funciones de transición conservan la orientación. M es orientable si admite un atlas orientado. Cuando $n > 0$ , una orientación de M es un atlas orientado al máximo. (Cuando $n = 0$ , una orientación de M es una función $M \to {\pm 1}$ .)

La orientabilidad y las orientaciones también se pueden expresar en términos del haz tangente. El paquete tangente es un paquete vectorial , por lo que es un paquete de fibras con grupo de estructura $GL (n, R)$ . Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el haz tangente que son transformaciones lineales por fibras. Si el grupo de estructura se puede reducir al grupo $GL + (n, R)$ de matrices determinantes positivas, o de manera equivalente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una orientación que conserva la transformación lineal en cada espacio tangente, entonces la variedad M es orientable. A la inversa, M es orientable si y solo si el grupo de estructura del haz tangente puede reducirse de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el paquete de marcos.

Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es a través de formas de volumen . Una forma de volumen es una sección en ninguna parte de fuga ω de $⋀ n T * M$ , la potencia de la parte superior exterior del haz de cotangente de M . Por ejemplo, R ⁿ tiene una forma de volumen estándar dada por $dx 1 \land \dots \land dx n$ . Dada una forma de volumen en M , la colección de todos los gráficos $U \to R n$ para los que la forma de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de ω es un atlas orientado. Por tanto, la existencia de una forma volumétrica equivale a la orientabilidad de la variedad.

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción más de la orientabilidad. Si $X 1,\dots, X n$ es una base de vectores tangentes en un punto p , entonces se dice que la base es diestra si $ω (X 1,\dots, X n)> 0$ . Una función de transición es la preservación de la orientación si y solo si envía bases diestras a bases diestras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo de estructura del haz tangente o del haz de tramas a $GL + (n, R)$ . Al igual que antes, esto implica la capacidad de orientación de M . Por el contrario, si M es orientable, las formas de volumen local se pueden unir para crear una forma de volumen global, siendo necesaria la orientabilidad para garantizar que la forma global no desaparezca en ninguna parte.

Homología y orientabilidad de variedades generales

En el corazón de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable está la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué es exactamente lo que preservan tales funciones de transición. No pueden estar conservando una orientación de la variedad porque una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición conserva o no conserva un atlas del que es miembro.

Esta cuestión se puede resolver definiendo las orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto p corresponde a una elección de izquierda y derecha cerca de ese punto. En un colector bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento dimensional superior cerca de p pero no en p . Para el caso general, sea M una variedad n topológica . Una orientación local de M alrededor de un punto p es una elección de generador del grupo

{\ Displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right).}

Para ver el significado geométrico de este grupo, elija un gráfico alrededor de p . En ese gráfico existe un entorno de p , que es una bola abierta B alrededor del origen O . Según el teorema de la escisión , es isomorfo a . La bola B es contráctil, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en el grado cero, y el espacio $B$ $\$ $O$ es una esfera $($ $n$ $- 1)$ , por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados $n$ $- 1$ y $0$ . Un cálculo con la secuencia larga exacta en homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomórfico a . Por tanto, la elección del generador corresponde a la decisión de si, en el gráfico dado, una esfera alrededor de p es positiva o negativa. Un reflejo de $R$ $n a$ través del origen actúa por negación , por lo que el significado geométrico de la elección del generador es que distingue los gráficos de sus reflejos. ${\ Displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$ ${\ Displaystyle H_ {n} \ left (B, B \ setminus \ {O \}; \ mathbf {Z} \ right)}$ ${\ Displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z} \ right) \ cong \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z} \ right)}$

En una variedad topológica, una función de transición conserva la orientación si, en cada punto p de su dominio, fija los generadores de . A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el que todas las funciones de transición conservan la orientación, M es orientable si admite un atlas orientado, y cuando $n$ $> 0$ , una orientación de M es un atlas orientado máximo. ${\ Displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$

Intuitivamente, una orientación de M debería definir una orientación local única de M en cada punto. Esto se hace más preciso observando que cualquier gráfico en el atlas orientado alrededor de p puede usarse para determinar una esfera alrededor de p , y esta esfera determina un generador de . Además, cualquier otro gráfico alrededor de p está relacionado con el primer gráfico por una función de transición que conserva la orientación, y esto implica que los dos gráficos producen el mismo generador, por lo que el generador es único. ${\ Displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$

También son posibles definiciones puramente homológicas. Suponiendo que M está cerrado y conectado, M es orientable si y sólo si el n -ésimo grupo de homología es isomorfo a los números enteros Z . Una orientación de M es una elección del generador $α$ de este grupo. Este generador determina un atlas orientado fijando un generador del grupo cíclico infinito y tomando los gráficos orientados como aquellos para los que $α$ avanza hacia el generador fijo. A la inversa, un atlas orientado determina un generador de este tipo, ya que las orientaciones locales compatibles se pueden pegar juntas para proporcionar un generador para el grupo de homología . ${\ Displaystyle H_ {n} (M; \ mathbf {Z})}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (M; \ mathbf {Z})}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (M; \ mathbf {Z})}$

Orientación y cohomología

Una M múltiple es orientable si y solo si la primera clase Stiefel-Whitney desaparece. En particular, si el primer grupo de cohomología con coeficientes Z / 2 es cero, entonces la variedad es orientable. Además, si M es orientable y w ₁ desaparece, parametriza las opciones de orientación. Esta caracterización de la orientabilidad se extiende a la orientabilidad de los paquetes vectoriales generales sobre M , no solo al paquete tangente. ${\ Displaystyle w_ {1} (M) \ in H ^ {1} (M; \ mathbf {Z} / 2)}$ ${\ Displaystyle H ^ {0} (M; \ mathbf {Z} / 2)}$

La doble tapa de orientación

Alrededor de cada punto de M hay dos orientaciones locales. Intuitivamente, hay una manera de pasar de una orientación local en un punto $p$ a una orientación local en un punto cercano $p'$ : cuando los dos puntos se encuentran en el mismo gráfico de coordenadas $U \to R n$ , ese gráfico de coordenadas define orientaciones locales compatibles en $p$ y $p'$ . Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede dar una topología, y esta topología lo convierte en una variedad.

Más precisamente, dejar que O sea el conjunto de todas las orientaciones locales de M . Para topologizar O especificaremos una subbase para su topología. Vamos T sea un abierto de M elegido de tal manera que es isomorfo a Z . Suponga que α es un generador de este grupo. Para cada p en U , hay una función de avance . El codominio de este grupo tiene dos generadores y α se asigna a uno de ellos. La topología en O se define de modo que ${\ Displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus U; \ mathbf {Z})}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus U; \ mathbf {Z}) \ to H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$

{\ Displaystyle \ {{\ text {Imagen de}} \ alpha {\ text {in}} H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right) \ colon p \ in U \}}

Esta abierto.

Hay un mapa canónico $π: O \to M$ que envía una orientación local de p a p . Está claro que cada punto de M tiene precisamente dos imágenes previas debajo de $π$ . De hecho, $π$ es incluso un homeomorfismo local, debido a que los preimages de los conjuntos abiertos U mencionados anteriormente son homeomorfo a la unión de la desunión de las dos copias de T . Si M es orientable, entonces m sí mismo es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que O es la unión disjunta de dos copias de M . Sin embargo, si M no es orientable, entonces O está conectado y es orientable. El colector O se denomina cubierta doble de orientación .

Colectores con límite

Si M es una variedad con límite, entonces una orientación de M se define como una orientación de su interior. Tal orientación induce una orientación de ∂ M . De hecho, suponga que una orientación de M es fija. Sea $U \to R n +$ un gráfico en un punto límite de M que, cuando se restringe al interior de M , está en el atlas orientado elegido. La restricción de esta tabla para ∂ M es un diagrama de ∂ M . Tales tablas de formar un atlas orientadas para ∂ M .

Cuando M es suave, en cada punto p de ∂ M , la restricción del haz tangente de M a ∂ M es isomorfa a $T p \partial M \oplus R$ , donde el factor de R se describe mediante el vector normal que apunta hacia adentro. La orientación de T _p ∂ M está definida por la condición de que una base de T _p ∂ M esté orientada positivamente si y solo si, cuando se combina con el vector normal que apunta hacia adentro, define una base de T _p M orientada positivamente .

Doble tapa orientable

Reproducir medios

Animación de la doble tapa orientable de la tira de Möbius .

Una noción estrechamente relacionada utiliza la idea de cubrir el espacio . Para una variedad M conectada, tome M ^∗ , el conjunto de pares ( x , o) donde x es un punto de M y o es una orientación en x ; aquí asumimos que M es suave para que podamos elegir una orientación en el espacio tangente en un punto o usamos homología singular para definir la orientación. Entonces, para cada subconjunto abierto orientado de M , consideramos el conjunto de pares correspondiente y lo definimos como un conjunto abierto de M ^∗ . Esto le da a M ^∗ una topología y el envío de proyección ( x , o) ax es entonces un mapa de cobertura 2 a 1. Este espacio de cobertura se denomina doble tapa orientable , ya que es orientable. M ^∗ está conectado si y solo si M no es orientable.

Otra forma de construir esta cubierta es dividir los bucles basados en un punto base en bucles que conservan la orientación o que invierten la orientación. Los bucles de preservación de la orientación generan un subgrupo del grupo fundamental que es el grupo completo o el índice dos. En el último caso (lo que significa que hay un camino de inversión de orientación), el subgrupo corresponde a una doble cubierta conectada; esta cubierta es orientable por construcción. En el primer caso, uno puede simplemente tomar dos copias de M , cada una de las cuales corresponde a una orientación diferente.

Orientación de los paquetes de vectores

Un conjunto de vectores reales , que a priori tiene un grupo de estructura GL (n) , se denomina orientable cuando el grupo de estructura puede reducirse al grupo de matrices con determinante positivo . Para el haz tangente , esta reducción siempre es posible si el colector base subyacente es orientable y, de hecho, esto proporciona una manera conveniente de definir la orientabilidad de un colector real suave : un colector suave se define como orientable si su haz tangente es orientable ( como un paquete de vectores). Tenga en cuenta que, como variedad por derecho propio, el haz tangente siempre es orientable, incluso sobre variedades no orientables. ${\ Displaystyle GL ^ {+} (n)}$

Conceptos relacionados

Geometría lorentziana

En la geometría de Lorentz , hay dos tipos de orientabilidad: orientabilidad espacial y orientabilidad temporal . Estos juegan un papel en la estructura causal del espacio-tiempo. En el contexto de la relatividad general , una variedad espaciotemporal es orientable en el espacio si, siempre que dos observadores diestros parten en naves espaciales partiendo del mismo punto espaciotemporal y luego se reencuentran en otro punto, permanecen diestros con respecto a uno. otro. Si un espacio-tiempo es orientable en el tiempo, los dos observadores siempre estarán de acuerdo en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. De hecho, un espacio-tiempo es orientable en el tiempo si y solo si dos observadores pueden ponerse de acuerdo sobre cuál de las dos reuniones precedió a la otra.

Formalmente, el grupo pseudo-ortogonal O ( p , q ) tiene un par de caracteres : el carácter de orientación espacial σ ₊ y el carácter de orientación temporal σ _- ,

{\ Displaystyle \ sigma _ {\ pm}: \ operatorname {O} (p, q) \ to \ {- 1, + 1 \}.}

Su producto σ = σ ₊ σ _- es el determinante, que da el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudo-Riemanniana se identifica con una sección del paquete asociado

{\ Displaystyle \ operatorname {O} (M) \ times _ {\ sigma _ {+}} \ {- 1, + 1 \}}

donde O ( M ) es el paquete de tramas pseudo-ortogonales. De manera similar, una orientación temporal es una sección del paquete asociado

{\ Displaystyle \ operatorname {O} (M) \ times _ {\ sigma _ {-}} \ {- 1, + 1 \}.}

Ver también

Referencias

^ Munroe, Marshall Evans (1963). Cálculo multidimensional moderno . Addison-Wesley Pub. Co. p. 263.
^ Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.
^ Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521795401.
^ Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521795401., Teorema 3.26 (a) de la pág. 236
^ Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-08542-0., Teorema 1.2 en la pág. 79
^ SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
^ Mark J. Hadley (2002) La orientabilidad del espacio-tiempo , la gravedad clásica y cuántica 19: 4565-4571 arXiv: gr-qc / 0202031v4

enlaces externos

Orientación de colectores en el Atlas de colectores.
Revestimiento de orientación en Manifold Atlas.
Orientación de las variedades en las teorías de cohomología generalizada en el Atlas de las variedades.
El artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre Orientación .

[1] Munroe, Marshall Evans (1963). Cálculo multidimensional moderno . Addison-Wesley Pub. Co. p. 263.

[2] Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . HarperCollins . ISBN 978-0-8053-9021-6.

[3] Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521795401.

[4] Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521795401., Teorema 3.26 (a) de la pág. 236

[5] Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-08542-0., Teorema 1.2 en la pág. 79

[6] SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.

[7] Mark J. Hadley (2002) La orientabilidad del espacio-tiempo , la gravedad clásica y cuántica 19: 4565-4571 arXiv: gr-qc / 0202031v4

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