Producto de taza - Cup product

En matemáticas , específicamente en la topología algebraica , el producto taza es un método de dos contiguo cociclos de grado p y q para formar un cociclo compuesto de grado p + q . Esto define una operación de producto conmutativo graduada asociativa (y distributiva) en cohomología, convirtiendo la cohomología de un espacio X en un anillo graduado, H ^∗ ( X ), llamado anillo de cohomología . El producto de la taza se introdujo en el trabajo de JW Alexander , Eduard Čech y Hassler Whitney de 1935 a 1938 y, en general, por Samuel Eilenberg en 1944.

Definición

En cohomology singular , el producto taza es una construcción que da un producto en el graduada anillo de cohomología H ^* ( X ) de un espacio topológico X .

La construcción comienza con un producto de cochains : si es una p -cochain y es una q -cochain, entonces ${\ Displaystyle \ alpha ^ {p}}$ ${\ Displaystyle \ beta ^ {q}}$

{\ Displaystyle (\ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q}) (\ sigma) = \ alpha ^ {p} (\ sigma \ circ \ iota _ {0,1, ... p}) \ cdot \ beta ^ {q} (\ sigma \ circ \ iota _ {p, p + 1, ..., p + q})}

donde σ es un singular ( p + q ) - simplex y es la incrustación canónica del simplex generado por S en el -simplex cuyos vértices están indexados por . ${\ Displaystyle \ iota _ {S}, S \ subconjunto \ {0,1, ..., p + q \}}$ ${\ Displaystyle (p + q)}$ ${\ Displaystyle \ {0, ..., p + q \}}$

De manera informal, es la p -ésima cara frontal y es la q -ésima cara posterior de σ, respectivamente. ${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {0,1, ..., p}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {p, p + 1, ..., p + q}}$

El co-límite del producto de taza de las monedas y está dado por ${\ Displaystyle \ alpha ^ {p}}$ ${\ Displaystyle \ beta ^ {q}}$

{\ Displaystyle \ delta (\ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q}) = \ delta {\ alpha ^ {p}} \ smile \ beta ^ {q} + (- 1) ^ {p} ( \ alpha ^ {p} \ smile \ delta {\ beta ^ {q}}).}

El producto de copa de dos ciclos es nuevamente un ciclo, y el producto de un co-límite con un co-ciclo (en cualquier orden) es un co-límite. La operación del producto en taza induce una operación bilineal en cohomología,

{\ Displaystyle H ^ {p} (X) \ times H ^ {q} (X) \ to H ^ {p + q} (X).}

Propiedades

La operación del producto en taza en cohomología satisface la identidad

{\ Displaystyle \ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ smile \ alpha ^ {p})}

de modo que la multiplicación correspondiente sea graduada-conmutativa .

El producto copa es funtorial , en el siguiente sentido: si

{\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}

es una función continua, y

{\ Displaystyle f ^ {*} \ colon H ^ {*} (Y) \ to H ^ {*} (X)}

es el homomorfismo inducido en cohomología, entonces

{\ Displaystyle f ^ {*} (\ alpha \ smile \ beta) = f ^ {*} (\ alpha) \ smile f ^ {*} (\ beta),}

para todas las clases α, β en H ^* ( Y ). En otras palabras, f ^* es un homomorfismo de anillo (graduado) .

Interpretación

Es posible ver el producto en taza como inducido por la siguiente composición: ${\ Displaystyle \ smile \ colon H ^ {p} (X) \ times H ^ {q} (X) \ to H ^ {p + q} (X)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle C ^ {\ bullet} (X) \ times C ^ {\ bullet} (X) \ to C ^ {\ bullet} (X \ times X) {\ overset {\ Delta ^ {*}} {\ to}} C ^ {\ bullet} (X)}$

en términos de los complejos de cadena de y , donde el primer mapa es el mapa de Künneth y el segundo es el mapa inducido por la diagonal . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ times X}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ colon X \ to X \ times X}$

Esta composición pasa al cociente para dar un mapa bien definido en términos de cohomología, este es el producto en taza. Este enfoque explica la existencia de un producto en taza para la cohomología pero no para la homología: induce un mapa pero también induciría un mapa , que va al revés para permitirnos definir un producto. Sin embargo, esto es útil para definir el producto de tapón . ${\ Displaystyle \ Delta \ colon X \ to X \ times X}$ ${\ Displaystyle \ Delta ^ {*} \ colon H ^ {\ bullet} (X \ times X) \ to H ^ {\ bullet} (X)}$ ${\ Displaystyle \ Delta _ {*} \ colon H _ {\ bullet} (X) \ to H _ {\ bullet} (X \ times X)}$

La bilinealidad se deriva de esta presentación del producto en taza, es decir, y ${\ Displaystyle (u_ {1} + u_ {2}) \ smile v = u_ {1} \ smile v + u_ {2} \ smile v}$ ${\ Displaystyle u \ smile (v_ {1} + v_ {2}) = u \ smile v_ {1} + u \ smile v_ {2}.}$

Ejemplos de

Los productos de copa pueden usarse para distinguir colectores de cuñas de espacios con grupos de cohomología idénticos. El espacio tiene los mismos grupos de cohomología que el toro T , pero con un producto de copa diferente. En el caso de X la multiplicación de las monedas asociadas a las copias de es degenerada, mientras que en T la multiplicación en el primer grupo de cohomología puede usarse para descomponer el toro como un diagrama de 2 celdas, teniendo así un producto igual a Z (más generalmente M donde este es el módulo base). ${\ Displaystyle X: = S ^ {2} \ vee S ^ {1} \ vee S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Otras definiciones

Producto de copa y formas diferenciales

En la cohomología de De Rham , el producto de la taza de formas diferenciales es inducido por el producto de la cuña . En otras palabras, el producto en cuña de dos formas diferenciales cerradas pertenece a la clase de Rham del producto en taza de las dos clases de Rham originales.

Producto de copa e intersecciones geométricas.

El número de enlace se puede definir en términos de un producto de taza que no desaparece en el complemento de un enlace. El complemento de la deformación de estos dos círculos enlazados se retrae a un toro, que tiene un producto de copa que no desaparece.

Para las variedades orientadas, existe una heurística geométrica de que "el producto de la taza es dual para las intersecciones".

De hecho, sea una variedad de dimensiones suave orientada . Si dos subvariedades de codimensión y se intersecan transversalmente , entonces su intersección es de nuevo una subvariedad de codimensión . Al tomar las imágenes de las clases de homología fundamental de estas variedades bajo inclusión, se puede obtener un producto bilineal sobre la homología. Este producto es Poincaré dual al producto de taza, en el sentido de que tomando los maridajes de Poincaré entonces existe la siguiente igualdad: ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle j}$ ${\ Displaystyle A \ cap B}$ ${\ Displaystyle i + j}$ ${\ Displaystyle [A] ^ {*}, [B] ^ {*} \ en H ^ {i}, H ^ {j}}$

${\ Displaystyle [A] ^ {*} \ smile [B] ^ {*} = [A \ cap B] ^ {*} \ in H ^ {i + j} (X, \ mathbb {Z})}$ .

De manera similar, el número de enlace se puede definir en términos de intersecciones, cambiando las dimensiones en 1 o, alternativamente, en términos de un producto de taza que no desaparece en el complemento de un enlace.

Productos Massey

Los productos Massey generalizan el producto de taza, lo que permite definir "números de enlace de orden superior", las invariantes de Milnor .

El producto de taza es una operación binaria (2-aria); se puede definir una operación ternaria (3-aria) y de orden superior llamada producto de Massey , que generaliza el producto de taza. Se trata de una operación de cohomología de orden superior , que solo se define parcialmente (solo se define para algunos triples).

Ver también

Referencias

James R. Munkres, "Elementos de topología algebraica", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (tapa dura) ISBN 0-201-62728-0 ( tapa blanda )
Glen E. Bredon , "Topología y geometría", Springer-Verlag, Nueva York (1993) ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher, " Topología algebraica ", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0

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