Anillo de cohomología - Cohomology ring

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el anillo de cohomología de un espacio topológico X es un anillo formado por los grupos de cohomología de X junto con el producto de copa que sirve como multiplicación de anillos. Aquí 'cohomología' se suele entender como cohomología singular , pero la estructura del anillo también está presente en otras teorías como la cohomología de De Rham . También es funtorial : para una aplicación continua de espacios se obtiene un homomorfismo de anillo en los anillos de cohomología, que es contravariant.

Específicamente, dada una secuencia de grupos de cohomología H ^k ( X ; R ) en X con coeficientes en un anillo conmutativo R (típicamente R es Z _n , Z , Q , R o C ) uno puede definir el producto de taza , que toma el formar

${\ Displaystyle H ^ {k} (X; R) \ times H ^ {\ ell} (X; R) \ to H ^ {k + \ ell} (X; R).}$

El producto de taza da una multiplicación de la suma directa de los grupos de cohomología.

${\ Displaystyle H ^ {\ bullet} (X; R) = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H ^ {k} (X; R).}$

Esta multiplicación convierte H ^• ( X ; R ) en un anillo. De hecho, es, naturalmente, una N - anillo graduado con el número entero no negativo k sirve como el grado. El producto de taza respeta esta clasificación.

El anillo de cohomología se clasifica como conmutativo en el sentido de que el producto de la taza conmuta hasta un signo determinado por la clasificación. Específicamente, para elementos puros de grado k y ℓ; tenemos

${\ Displaystyle (\ alpha ^ {k} \ smile \ beta ^ {\ ell}) = (- 1) ^ {k \ ell} (\ beta ^ {\ ell} \ smile \ alpha ^ {k}).}$

Un invariante numérico derivado del anillo de cohomología es la longitud de la copa , que significa el número máximo de elementos graduados de grado ≥ 1 que cuando se multiplican dan un resultado distinto de cero. Por ejemplo, un espacio proyectivo complejo tiene una longitud de copa igual a su dimensión compleja .

Ejemplos

• ${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {n}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [\ alpha] / ( \ alpha ^ {n + 1})}$donde .${\ Displaystyle | \ alpha | = 1}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {*} (\ mathbb {R} P ^ {\ infty}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [\ alpha]}$donde .${\ Displaystyle | \ alpha | = 1}$
• Por la fórmula de Künneth , el anillo de cohomología mod 2 del producto cartesiano de n copias de es un anillo polinomial en n variables con coeficientes en .${\ Displaystyle \ mathbb {R} P ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Ver también

• Cohomología cuántica

Referencias

• Novikov, SP (1996). Topología I, Topografía general . Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.