Mapas abiertos y cerrados - Open and closed maps

En matemáticas , más específicamente en topología , un mapa abierto es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Es decir, una función está abierta si para cualquier conjunto abierto en la imagen está abierto en. Asimismo, un mapa cerrado es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Un mapa puede estar abierto, cerrado, ambos o ninguno; en particular, no es necesario cerrar un mapa abierto y viceversa. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle Y.}$

Los mapas abiertos y cerrados no son necesariamente continuos . Además, la continuidad es independiente de la apertura y el cierre en el caso general y una función continua puede tener una, ambas o ninguna propiedad; este hecho sigue siendo cierto incluso si uno se limita a los espacios métricos. Aunque sus definiciones parecen más naturales, los mapas abiertos y cerrados son mucho menos importantes que los mapas continuos. Recuerde que, por definición, una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto de está abierta en (de manera equivalente, si la preimagen de cada conjunto cerrado de está cerrada en ). ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

Simion Stoilow y Gordon Thomas Whyburn fueron los primeros en estudiar mapas abiertos .

Definiciones y caracterizaciones

Si es un subconjunto de un espacio topológico, entonces dejemos y (resp. ) Denotar el cierre (resp. Interior ) de en ese espacio. Sea una función entre espacios topológicos . Si hay un conjunto, entonces se llama imagen de debajo${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ overline {S}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Int} S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f (S): = \ left \ {f (s) ~: ~ s \ in S \ cap \ operatorname {dominio} f \ right \}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f.}$

Definiciones contrapuestas

Hay dos definiciones diferentes de " mapa abierto " en competencia, pero estrechamente relacionadas, que se utilizan ampliamente, donde ambas definiciones se pueden resumir como: "es un mapa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos". La siguiente terminología se utiliza a veces para distinguir entre las dos definiciones.

Un mapa se llama ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

• " Mapa Totalmente abierta " si cada vez que es un subconjunto abierto del dominio a continuación, es un subconjunto abierto de 's codominio${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle Y.}$
• " Mapa relativamente abierto " si siempre es un subconjunto abierto del dominio, entonces es un subconjunto abierto de la imagen de, donde, como es habitual, este conjunto está dotado de la topología subespacial inducida en él por el codominio de${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (X),}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle Y.}$

Un mapa sobreyectivo es relativamente abierto si y solo si está fuertemente abierto; así que para este importante caso especial las definiciones son equivalentes. De manera más general, el mapa es un mapa relativamente abierto si y solo si la proyección es un mapa fuertemente abierto. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle f: X \ to \ operatorname {Im} f}$

Advertencia : muchos autores definen "mapa abierto" como " mapa relativamente abierto" (por ejemplo, La Enciclopedia de Matemáticas) mientras que otros definen "mapa abierto" como " mapa fuertemente abierto". En general, estas definiciones no son equivalentes, por lo que es aconsejable comprobar siempre qué definición de "mapa abierto" está utilizando un autor.

Todo mapa fuertemente abierto es un mapa relativamente abierto. Y debido a que siempre es un subconjunto abierto de la imagen de un mapa fuertemente abierto, debe ser un subconjunto abierto de Sin embargo, un mapa relativamente abierto es un mapa fuertemente abierto si y solo si su imagen es un subconjunto abierto de su codominio En resumen, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle f (X) = \ operatorname {Im} f}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle Y.}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f}$${\ Displaystyle Y.}$

un mapa está fuertemente abierto si y solo si es relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio.

Al usar esta caracterización, a menudo es sencillo aplicar los resultados que involucran una de estas dos definiciones de "mapa abierto" a una situación que involucra la otra definición. La discusión anterior también se aplicará a mapas cerrados si cada instancia de la palabra "abierto" se reemplaza por la palabra "cerrado".

Mapas abiertos

Un mapa se denomina mapa abierto o mapa fuertemente abierto si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

1. Definición: asigna subconjuntos abiertos de su dominio a subconjuntos abiertos de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto abierto de , es un subconjunto abierto de${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle Y.}$
2. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$es un mapa relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (X)}$${\ Displaystyle Y.}$
3. Para todos y cada uno de los vecindarios de (por pequeños que sean), existe un vecindario de tal que${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle V \ subseteq f (N).}$
   • Cualquiera de las instancias de la palabra "vecindario" en esta declaración se puede reemplazar con "vecindario abierto" y la declaración resultante aún caracterizaría mapas fuertemente abiertos.
4. ${\ Displaystyle f \ left (\ operatorname {Int} _ {X} A \ right) \ subseteq \ operatorname {Int} _ {Y} (f (A))}$para todos los subconjuntos de donde denota el interior topológico del conjunto.${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ operatorname {Int}}$
5. Siempre que sea ​​un subconjunto cerrado de entonces el conjunto es un subconjunto cerrado de${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ left \ {y \ in Y ~: ~ f ^ {- 1} (y) \ subseteq C \ right \}}$${\ Displaystyle Y.}$
   • Esta es una consecuencia de la identidad que se aplica a todos los subconjuntos.${\ Displaystyle f (X \ setminus R) = Y \ setminus \ left \ {y \ in Y: f ^ {- 1} (y) \ subseteq R \ right \},}$${\ Displaystyle R \ subseteq X.}$

y si es una base para , se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle X}$

6. ${\ Displaystyle f}$mapea conjuntos abiertos básicos a conjuntos abiertos en su codominio (es decir, para cualquier conjunto abierto básico es un subconjunto abierto de ).${\ Displaystyle B \ in {\ mathcal {B}},}$ ${\ Displaystyle f (B)}$${\ Displaystyle Y}$

Mapas cerrados

Un mapa se denomina mapa relativamente cerrado si siempre es un subconjunto cerrado del dominio, entonces es un subconjunto cerrado de la imagen de, donde, como es habitual, este conjunto está dotado de la topología subespacial inducida en él por el codominio de.${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (C)}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (X),}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle Y.}$

Un mapa se denomina mapa cerrado o mapa fuertemente cerrado si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

1. Definición: asigna subconjuntos cerrados de su dominio a subconjuntos cerrados de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto cerrado de es un subconjunto cerrado de${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle f (C)}$${\ Displaystyle Y.}$
2. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$es un mapa relativamente cerrado y su imagen es un subconjunto cerrado de su codominio${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (X)}$${\ Displaystyle Y.}$
3. ${\ Displaystyle {\ overline {f (A)}} \ subseteq f \ left ({\ overline {A}} \ right)}$ para cada subconjunto ${\ Displaystyle A \ subseteq X.}$
4. Siempre que sea ​​un subconjunto abierto de entonces el conjunto es un subconjunto abierto de${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ left \ {y \ in Y ~: ~ f ^ {- 1} (y) \ subseteq U \ right \}}$${\ Displaystyle Y.}$

Un mapa sobreyectivo está fuertemente cerrado si y solo si es relativamente cerrado. Entonces, para este importante caso especial, las dos definiciones son equivalentes. Por definición, el mapa es un mapa relativamente cerrado si y solo si la sobreyección es un mapa fuertemente cerrado. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle f: X \ to \ operatorname {Im} f}$

Si en la definición de conjunto abierto de " mapa continuo " (que es la declaración: "cada preimagen de un conjunto abierto está abierta"), ambas instancias de la palabra "abierto" se reemplazan por "cerrado", entonces la declaración de resultados (" toda preimagen de un conjunto cerrado está cerrada ") equivale a continuidad. Esto no sucede con la definición de "mapa abierto" (que es: "cada imagen de un conjunto abierto está abierto") ya que la declaración que resulta ("cada imagen de un conjunto cerrado es cerrada") es la definición de "cerrado map ", que en general no equivale a la apertura. Existen mapas abiertos que no están cerrados y también existen mapas cerrados que no están abiertos. Esta diferencia entre mapas abiertos / cerrados y mapas continuos se debe en última instancia al hecho de que para cualquier conjunto solo está garantizado en general, mientras que para las imágenes previas, la igualdad siempre se mantiene. ${\ Displaystyle S,}$${\ Displaystyle f (X \ setminus S) \ supseteq f (X) \ setminus f (S)}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (Y \ setminus S) = f ^ {- 1} (Y) \ setminus f ^ {- 1} (S)}$

Ejemplos de

La función definida por es continua, cerrada y relativamente abierta, pero no (fuertemente) abierta. Esto se debe a que si hay algún intervalo abierto en el dominio de que no contiene, entonces, donde este intervalo abierto es un subconjunto abierto de ambos y Sin embargo, si hay algún intervalo abierto en el que contiene, entonces, que no es un subconjunto abierto del codominio de, sino es un subconjunto abierto de Porque el conjunto de todos los intervalos abiertos en es una base para la topología euclidiana en esto muestra que es relativamente abierto pero no (fuertemente) abierto. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle U = (a, b)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle f (U) = (\ min \ {a ^ {2}, b ^ {2} \}, \ max \ {a ^ {2}, b ^ {2} \}),}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f: = f (\ mathbb {R}) = [0, \ infty).}$${\ Displaystyle U = (a, b)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle f (U) = [0, \ max \ {a ^ {2}, b ^ {2} \}),}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f = [0, \ infty).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

Si tiene la topología discreta (es decir, todos los subconjuntos están abiertos y cerrados), entonces cada función es tanto abierta como cerrada (pero no necesariamente continua). Por ejemplo, la función de suelo de a es abierta y cerrada, pero no continua. Este ejemplo muestra que no es necesario conectar la imagen de un espacio conectado debajo de un mapa abierto o cerrado. ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Siempre que tenemos un producto de espacios topológicos las proyecciones naturales son abiertas (además de continuas). Dado que las proyecciones de los haces de fibras y los mapas de cobertura son proyecciones locales naturales de productos, también son mapas abiertos. Sin embargo, no es necesario cerrar las proyecciones. Considere, por ejemplo, la proyección del primer componente; entonces el conjunto está cerrado pero no cerrado. Sin embargo, para un espacio compacto, la proyección está cerrada. Este es esencialmente el lema del tubo . ${\ Displaystyle X = \ prod X_ {i},}$${\ Displaystyle p_ {i}: X \ a X_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {1}: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle A = \ {\ left (x, 1 / x \ right): x \ neq 0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2},}$${\ Displaystyle p_ {1} (A) = \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X \ times Y \ to X}$

A cada punto del círculo unitario podemos asociar el ángulo del eje positivo con el rayo que conecta el punto con el origen. Esta función desde el círculo unitario hasta el intervalo semiabierto [0,2π) es biyectiva, abierta y cerrada, pero no continua. Muestra que la imagen de un espacio compacto debajo de un mapa abierto o cerrado no necesita ser compacta. También tenga en cuenta que si consideramos esto como una función del círculo unitario a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es fundamental. ${\ Displaystyle x}$

Condiciones suficientes

Todo homeomorfismo es abierto, cerrado y continuo. De hecho, un mapa continuo biyectivo es un homeomorfismo si y solo si está abierto, o de manera equivalente, si y solo si está cerrado.

La composición de dos mapas abiertos (respectivamente mapas cerrados) y es nuevamente un mapa abierto (resp. Un mapa cerrado) Sin embargo, la composición de dos mapas relativamente abiertos o cerrados no necesita ser relativamente abierta o cerrada. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle g: Y \ to Z}$${\ Displaystyle g \ circ f: X \ a Z.}$

La suma categórica de dos mapas abiertos está abierta o la de dos mapas cerrados está cerrada. El producto categórico de dos mapas abiertos está abierto, sin embargo, no es necesario cerrar el producto categórico de dos mapas cerrados.

Un mapa biyectivo está abierto si y solo si está cerrado. El inverso de un mapa continuo biyectivo es un mapa biyectivo abierto / cerrado (y viceversa). Un mapa abierto sobreyectivo no es necesariamente un mapa cerrado, y del mismo modo, un mapa cerrado sobreyectivo no es necesariamente un mapa abierto. Todos los homeomorfismos locales , incluidos todos los gráficos de coordenadas en las variedades y todos los mapas de cobertura , son mapas abiertos.

Una variante del lema del mapa cerrado establece que si una función continua entre espacios de Hausdorff localmente compactos es adecuada, también está cerrada.

En el análisis complejo , el teorema de mapeo abierto de nombre idéntico establece que cada función holomórfica no constante definida en un subconjunto abierto conectado del plano complejo es un mapa abierto.

La invariancia del dominio teorema de que una función continua y localmente inyectiva entre dos dimensionales variedades topológicas debe estar abierto. ${\ Displaystyle n}$

En el análisis funcional , el teorema de mapeo abierto establece que todo operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es un mapa abierto. Este teorema se ha generalizado a los espacios vectoriales topológicos más allá de los espacios de Banach.

Un mapa sobreyectivo se llama mapa casi abierto${\ Displaystyle f: X \ to Y}$si por cada existe alguno que sea ​​un${\ Displaystyle y \ in Y}$${\ Displaystyle x \ in f ^ {- 1} (y)}$${\ Displaystyle x}$ punto de apertura para elcual, por definición, significa que por cada vecindario abiertodees unvecindariodeadentro(tengaencuenta queno se requiereque el vecindariosea ​​unvecindarioabierto). Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyecciónes un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición quenodepende de ninguna manera dela topología): ${\ Displaystyle f,}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f: (X, \ tau) \ to (Y, \ sigma)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ sigma}$

siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir ) entonces para cada vecindario de existe algún vecindario de tal que${\ Displaystyle m, n \ en X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (m) = f (n)}$${\ Displaystyle U \ in \ tau}$${\ Displaystyle m,}$${\ Displaystyle V \ in \ tau}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle F (V) \ subseteq F (U).}$

Si el mapa es continuo, la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua entonces es un mapa abierto si y solo si está casi abierto y cumple la condición anterior. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

Propiedades

Sea un mapa. Dado cualquier subconjunto si es un relativamente abierto (resp. Relativamente cerrado, fuertemente abierta, fuertemente cerrado, continuo, sobreyectiva ) mapear entonces el mismo es cierto de su restricción ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle T \ subseteq Y,}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

${\ Displaystyle f {\ big \ vert} _ {f ^ {- 1} (T)} ~: ~ f ^ {- 1} (T) \ to T}$

al subconjunto saturado${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (T).}$

Mapas abiertos o cerrados que son continuos

Si es un mapa continuo que también está abierto o cerrado, entonces: ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

• si es una sobreyección, entonces es un mapa de cociente e incluso un mapa de cociente hereditario , ${\ Displaystyle f}$
  • Un mapa sobreyectivo se llama
  cociente hereditario si para cada subconjunto la restricción es un mapa de cociente.${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle T \ subseteq Y,}$${\ Displaystyle f {\ big \ vert} _ {f ^ {- 1} (T)} ~: ~ f ^ {- 1} (T) \ to T}$

si es una inyección, entonces es una incrustación topológica .${\ Displaystyle f}$

si es una biyección, entonces es un homeomorfismo .${\ Displaystyle f}$

En los dos primeros casos, estar abierto o cerrado es simplemente una condición suficiente para la conclusión que sigue. En el tercer caso, también es necesario .

Abrir mapas continuos

Si es un mapa continuo (fuertemente) abierto, y luego: ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle A \ subseteq X,}$${\ Displaystyle S \ subseteq Y,}$

• ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ operatorname {Bd} _ {Y} S \ right) = \ operatorname {Bd} _ {X} \ left (f ^ {- 1} (S) \ right) }$donde denota el límite de un conjunto.${\ Displaystyle \ operatorname {Bd}}$
• ${\ Displaystyle f ^ {- 1} \ left ({\ overline {S}} \ right) = {\ overline {f ^ {- 1} (S)}}}$donde denotan el cierre de un conjunto.${\ Displaystyle {\ overline {S}}}$
• Si donde denota el interior de un conjunto, entonces ${\ Displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {\ operatorname {Int} _ {X} A}},}$${\ Displaystyle \ operatorname {Int}}$
  $${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Int} _ {Y} f (A)}} = {\ overline {f (A)}} = {\ overline {f \ left (\ operatorname {Int} _ {X } A \ right)}} = {\ overline {f \ left ({\ overline {\ operatorname {Int} _ {X} A}} \ right)}}}$$

  
  donde este conjunto es también necesariamente un conjunto cerrado regular (in ). En particular, si es un conjunto cerrado regular, entonces también lo es Y si es un conjunto abierto regular, entonces también lo es${\ Displaystyle {\ overline {f (A)}}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ overline {f (A)}}.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle Y \ setminus {\ overline {f (X \ setminus A)}}.}$
• Si el mapa abierto continuo también es sobreyectivo entonces y además, es un subconjunto abierto regular (resp. Un cerrado regular) de si y solo si es un subconjunto abierto regular (resp. Un cerrado regular) de${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} f ^ {- 1} (S) = f ^ {- 1} \ left (\ operatorname {Int} _ {Y} S \ right)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (S)}$${\ Displaystyle X.}$
• Si una red converge en un punto y si el mapa abierto continuo es sobreyectivo, entonces para cualquiera existe una red en (indexada por algún conjunto dirigido ) tal que en y es una subred de Además, el conjunto de indexación puede tomarse como con el pedido del producto donde se encuentra cualquier base de vecindario de dirigido por${\ Displaystyle y _ {\ bullet} = \ left (y_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle y \ in Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle x \ in f ^ {- 1} (y)}$${\ Displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (y_ {a} \ right) _ {a \ in A}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle x _ {\ bullet} \ to x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f \ left (x _ {\ bullet} \ right): = \ left (f \ left (x_ {a} \ right) \ right) _ {a \ in A}}$${\ Displaystyle y _ {\ bullet}.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A: = I \ times {\ mathcal {N}} _ {x}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \, \ supseteq. \,}$

Ver también

• Mapa casi abierto  : un mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto
• Operador lineal cerrado
• Homeomorfismo local  : mapa abierto continuo que, alrededor de cada punto de su dominio, tiene un vecindario en el que se restringe a un homomorfismo
• Mapa cuasi abierto  : función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio
• Mapa de cociente
• Mapa perfecto: mapa  sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos
• Mapa adecuado  : mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta
• Mapa de cobertura de secuencia

Notas

Citas

Referencias

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .