Interior (topología) - Interior (topology)

El punto x es un punto interior de S . El punto y está en el límite de S .

En matemáticas , específicamente en la topología , el interior de un subconjunto S de un espacio topológico X es la unión de todos los subconjuntos de S que están abiertos en X . Un punto que está en el interior de S es un punto interior de S .

El interior de S es el complemento del cierre del complemento de S . En este sentido, interior y cierre son nociones duales .

El exterior de un conjunto S es el complemento del cierre de S ; consta de los puntos que no están ni en el conjunto ni en su límite . El interior, el límite y el exterior de un subconjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de estos están vacíos). El interior y el exterior siempre están abiertos mientras que el límite siempre está cerrado . Los conjuntos con el interior vacío se han denominado conjuntos de límites .

Definiciones

Punto interior

Si S es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces x es un punto interior de S si existe una bola abierta con centro en x que está completamente contenido en S . (Esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo).

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto S de un espacio métrico X con métrica d : x es un punto interior de S si existe r > 0 , tal que y está en S siempre que la distancia d ( x , y ) < r .

Esta definición se generaliza a los espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Deje que S sea un subconjunto de un espacio topológico X . Entonces x es un punto interior de S si x está contenida en un abierto de X que está completamente contenida en S . (De manera equivalente, x es un punto interior de S si S es una vecindad de x ).

Interior de un set

El interior de un subconjunto S de un espacio topológico X , denotado por Int S o S ° , se puede definir de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

1. Int S es el subconjunto abierto más grande de X contenido (como subconjunto) en S
2. Int S es la unión de todos los conjuntos abiertos de X contenidos en S
3. Int S es el conjunto de todos los puntos interiores de S

Ejemplos de

una es un punto interior de M , porque hay una ε-vecindad de una que es un subconjunto de M .

• En cualquier espacio, el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• En cualquier espacio X , si S ⊆ X , a continuación, int S ⊆ S .
• Si X es el espacio euclidiano de números reales , entonces int ([0, 1]) = (0, 1) .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Si X es el espacio euclidiano , entonces el interior del conjunto de números racionales está vacío.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Si X es el plano complejo , entonces${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ operatorname {int} (\ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq 1 \}) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}.}$
• En cualquier espacio euclidiano, el interior de cualquier conjunto finito es el conjunto vacío.

En el conjunto de números reales, se pueden colocar otras topologías en lugar de la estándar.

• Si X =${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , donde tiene la topología de límite inferior , entonces int ([0, 1]) = [0, 1).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Si se considera la topología en la que todos los conjuntos están abiertos, entonces int ([0, 1]) = [0, 1] .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Si se considera la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, entonces int ([0, 1]) es el conjunto vacío.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , dado que todo conjunto está abierto, todo conjunto es igual a su interior.
• En cualquier espacio indiscreto X , dado que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y el propio X , tenemos X = int X y para cada subconjunto propio S de X , int S es el conjunto vacío.

Propiedades

Deje X un espacio topológico y dejar que S y T sea subconjunto de X .

• Int S es abierto en X .
• Si T está abierto en X entonces T ⊆ S si y sólo si T ⊆ Int S .
• Int S es un subconjunto abierto de S cuando a S se le da la topología del subespacio .
• S es un subconjunto abierto de X si y sólo si S = int S .
• Intensive : Int S ⊆ S .
• Idempotencia : Int (Int S ) = Int S .
• Conserva / distribuye sobre la intersección binaria : Int ( S ∩ T ) = (Int S ) ∩ (Int T ) .
• Monótono / no decreciente con respecto a ⊆ : Si S ⊆ T entonces Int S ⊆ Int T .

Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos / palabras

"interior", "Int", "abierto", "subconjunto" y "más grande"

son reemplazados respectivamente por

"cierre", "Cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"

y se intercambian los siguientes símbolos:

1. "⊆" intercambiado con "⊇"
2. "∪" intercambiado con "∩"

Para obtener más detalles sobre este asunto, consulte el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .

Otras propiedades incluyen:

• Si S es cerrado en X y Int T = ∅ entonces Int ( S ∪ T ) = Int S .

Operador interior

El operador de interiores es dual al cierre del operador, que se denota por o por una línea alta ^- , en el sentido de que ${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = X \ setminus {\ overline {(X \ setminus S)}}}$

y también

${\ Displaystyle {\ overline {S}} = X \ setminus \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S),}$

donde es el espacio topológico que contiene y la barra invertida denota la diferencia de la teoría de conjuntos . Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores, reemplazando conjuntos con sus complementos en${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S,}$${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$${\ Displaystyle X.}$

En general, el operador interior no se desplaza con los sindicatos. Sin embargo, en un espacio métrico completo , se cumple el siguiente resultado:

El resultado anterior implica que cada espacio métrico completo es un espacio de Baire .

Exterior de un set

El exterior ( topológico ) de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o simplemente es el complemento del cierre de : ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$${\ Displaystyle \ operatorname {ext} S,}$${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S: = X \ setminus \ operatorname {cl} _ {X} S}$

aunque se puede definir de manera equivalente en términos del interior por:

${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S = \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S)}$

Alternativamente, el interior podría definirse en términos del exterior utilizando la igualdad de conjunto ${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = \ operatorname {ext} _ {X} (X \ setminus S).}$

Como consecuencia de esta relación entre el interior y el exterior, muchas propiedades del exterior pueden deducirse directamente de las identidades del conjunto interior y elemental . Tales propiedades incluyen lo siguiente: ${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S}$

• ${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$es un subconjunto abierto de eso es disjunto de${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$
• Si entonces${\ Displaystyle S \ subseteq T}$${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} T \ subseteq \ operatorname {ext} _ {X} S.}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$es igual a la unión de todos los subconjuntos abiertos que están separados de${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$es igual al subconjunto abierto más grande que es disjunto de${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$

A diferencia del operador interior, no es idempotente , aunque tiene la propiedad de que${\ Displaystyle \ operatorname {ext} _ {X}}$${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S \ subseteq \ operatorname {ext} _ {X} \ left (\ operatorname {ext} _ {X} S \ right).}$

Formas interiores disjuntas

Las formas rojas no son interiores disjuntos con el Triángulo azul. Las formas verde y amarilla son interiores disjuntos con el Triángulo azul, pero solo la forma amarilla está completamente disjunta del Triángulo azul.

Dos formas a y b se denominan interior-disjuntos si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas interiores disjuntas pueden o no cruzarse en su límite.

Ver también

• Interior algebraico  - Generalización del interior topológico
• Límite (topología)
• Cierre (topología)
• Exterior (topología)  : el subconjunto abierto más grande que está "fuera de" un subconjunto determinado.
• Álgebra interior
• Teorema de la curva de Jordan  : división por una curva cerrada del plano en dos regiones
• Interior cuasi relativo  - Generalización del interior algebraico
• Interior relativo  - Generalización del interior topológico

Referencias

Bibliografía

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enlaces externos

• Interior en PlanetMath .