Análisis complejo -Complex analysis

El análisis complejo , tradicionalmente conocido como teoría de funciones de variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica , las matemáticas aplicadas ; así como en la física , incluidas las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica y, en particular, la mecánica cuántica . Por extensión, el uso del análisis complejo también tiene aplicaciones en campos de ingeniería como la ingeniería nuclear , aeroespacial , mecánica y eléctrica .

Como una función diferenciable de una variable compleja es igual a su serie de Taylor (es decir, es analítica ), el análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de una variable compleja (es decir, funciones holomorfas ).

Historia

Augustin-Louis Cauchy , uno de los fundadores del análisis complejo

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y un poco antes. Los matemáticos importantes asociados con los números complejos incluyen a Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Gösta Mittag-Leffler , Weierstrass y muchos más en el siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de las asignaciones conformes , tiene muchas aplicaciones físicas y también se utiliza en toda la teoría analítica de números . En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular a través de un nuevo impulso de la dinámica compleja y las imágenes de los fractales producidos por la iteración de funciones holomorfas . Otra aplicación importante del análisis complejo es la teoría de cuerdas , que examina las invariantes conformes en la teoría cuántica de campos .

Funciones complejas

Una función exponencial Una n de una variable discreta ( entera ) n , similar a la progresión geométrica

Una función compleja es una función de números complejos a números complejos. En otras palabras, es una función que tiene un subconjunto de los números complejos como dominio y los números complejos como codominio . Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo .

Para cualquier función compleja, los valores del dominio y sus imágenes en el rango se pueden separar en partes reales e imaginarias :

donde están todos en valor real.

En otras palabras, una función compleja se puede descomponer en

y

es decir, en dos funciones de valor real ( , ) de dos variables reales ( , ).

De manera similar, cualquier función f de valores complejos en un conjunto arbitrario X (es isomorfa a, y por lo tanto, en ese sentido, a él) puede considerarse como un par ordenado de dos funciones de valores reales : (Re f , Im f ) o, alternativamente, como una función vectorial de X en

Algunas propiedades de las funciones de valor complejo (como la continuidad ) no son más que las propiedades correspondientes de las funciones de valor vectorial de dos variables reales. Otros conceptos de análisis complejo, como diferenciabilidad , son generalizaciones directas de conceptos similares para funciones reales, pero pueden tener propiedades muy diferentes. En particular, toda función compleja diferenciable es analítica (ver la siguiente sección), y dos funciones diferenciables que son iguales en la vecindad de un punto son iguales en la intersección de su dominio (si los dominios están conectados ). Esta última propiedad es la base del principio de continuación analítica que permite extender cada función analítica real de una manera única para obtener una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo con un número finito de arcos de curva eliminados. Muchas funciones complejas básicas y especiales se definen de esta manera, incluida la función exponencial compleja , las funciones logarítmicas complejas y las funciones trigonométricas .

Funciones holomorfas

Las funciones complejas que son derivables en cada punto de un subconjunto abierto del plano complejo se dice que son holomorfas en . En el contexto del análisis complejo, la derivada de at se define como

Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la de la derivada de una función real. Sin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de manera significativamente diferente en comparación con sus contrapartes reales. En particular, para que exista este límite, el valor del cociente de diferencias debe acercarse al mismo número complejo, independientemente de la forma en que nos acerquemos en el plano complejo. En consecuencia, la diferenciabilidad compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables , mientras que la existencia de la n -ésima derivada no implica necesariamente la existencia de la ( n + 1)-ésima derivada para funciones reales. Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más estricta de analiticidad , lo que significa que la función, en cada punto de su dominio, está dada localmente por una serie de potencias convergentes. En esencia, esto significa que las funciones holomorfas en pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante polinomios en alguna vecindad de cada punto en . Esto contrasta fuertemente con las funciones reales diferenciables; hay funciones reales infinitamente diferenciables que en ninguna parte son analíticas; ver Función suave no analítica § Una función suave que en ninguna parte es analítica real .

La mayoría de las funciones elementales, incluidas la función exponencial , las funciones trigonométricas y todas las funciones polinómicas , extendidas adecuadamente a argumentos complejos como funciones , son holomorfas en todo el plano complejo, lo que las convierte en funciones completas , mientras que las funciones racionales , donde p y q son polinomios, son holomorfas en dominios que excluyen puntos donde q es cero. Tales funciones que son holomorfas en todas partes excepto en un conjunto de puntos aislados se conocen como funciones meromórficas . Por otro lado, las funciones , y no son holomorfas en ninguna parte del plano complejo, como puede demostrarse por su incapacidad para satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann (ver más abajo) .

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es la relación entre las derivadas parciales de sus componentes reales e imaginarias, conocidas como condiciones de Cauchy-Riemann . Si , definida por , donde , es holomorfa en una región , entonces para todos ,

En términos de las partes real e imaginaria de la función, u y v , esto es equivalente al par de ecuaciones y , donde los subíndices indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones de Cauchy-Riemann no caracterizan funciones holomorfas, sin condiciones de continuidad adicionales (ver el teorema de Looman-Menchoff ).

Las funciones holomorfas exhiben algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de una función completa puede tomar solo tres formas posibles: , o para alguna . En otras palabras, si dos números complejos distintos no están en el rango de una función completa , entonces es una función constante. Además, una función holomorfa en un conjunto abierto conexo está determinada por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío.

mapa conforme

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen debajo de un mapa conforme (abajo). Se ve que asigna pares de líneas que se cruzan a 90° a pares de curvas que aún se cruzan a 90°.

En matemáticas , un mapa conforme es una función que conserva localmente los ángulos , pero no necesariamente las longitudes.

Más formalmente, let y be subconjuntos abiertos de . Una función se llama conforme (o que conserva el ángulo) en un punto si conserva los ángulos entre las curvas dirigidas a través de , además de conservar la orientación. Los mapas conformes conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .

La propiedad conforme puede describirse en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir mapeos de inversión de orientación cuyos jacobianos se pueden escribir como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal.

Para mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles. En tres dimensiones y más, el teorema de Liouville limita claramente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.

La noción de conformidad se generaliza de forma natural a mapas entre variedades riemannianas o semirriemannianas .

Resultados principales

Gráfica de la rueda de colores de la función f ( x ) = ( X 2 - 1)( X - 2 - yo ) 2/x 2 + 2 + 2 yo.
El matiz representa el argumento , el brillo la magnitud.

Una de las herramientas centrales en el análisis complejo es la integral de línea . La integral de línea alrededor de un camino cerrado de una función que es holomorfa en todas partes dentro del área delimitada por el camino cerrado es siempre cero, como lo establece el teorema de la integral de Cauchy . Los valores de tal función holomorfa dentro de un disco se pueden calcular mediante una integral de trayectoria en el límite del disco (como se muestra en la fórmula integral de Cauchy ). Las integrales de trayectoria en el plano complejo se utilizan a menudo para determinar integrales reales complicadas, y aquí se aplica la teoría de los residuos , entre otras (ver métodos de integración de contorno ). Un "polo" (o singularidad aislada ) de una función es un punto donde el valor de la función se vuelve ilimitado o "explota". Si una función tiene tal polo, entonces se puede calcular el residuo de la función allí, que se puede usar para calcular las integrales de trayectoria que involucran a la función; este es el contenido del poderoso teorema del residuo . El notable comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales se describe mediante el teorema de Picard . Las funciones que tienen solo polos pero no singularidades esenciales se llaman meromórficas . Las series de Laurent son el equivalente de valores complejos de las series de Taylor , pero se pueden usar para estudiar el comportamiento de funciones cercanas a las singularidades a través de sumas infinitas de funciones mejor entendidas, como polinomios.

Una función acotada que es holomorfa en todo el plano complejo debe ser constante; este es el teorema de Liouville . Se puede utilizar para proporcionar una demostración breve y natural del teorema fundamental del álgebra que establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado .

Si una función es holomorfa en un dominio conectado , sus valores están completamente determinados por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. Se dice que la función en el dominio mayor se continúa analíticamente a partir de sus valores en el dominio menor. Esto permite la extensión de la definición de funciones, como la función zeta de Riemann , que inicialmente se definen en términos de sumas infinitas que convergen solo en dominios limitados a casi todo el plano complejo. A veces, como en el caso del logaritmo natural , es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio no simplemente conectado en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa en una superficie estrechamente relacionada conocida como superficie de Riemann .

Todo esto se refiere a un análisis complejo en una variable. También hay una teoría muy rica de análisis complejo en más de una dimensión compleja en la que las propiedades analíticas, como la expansión de la serie de potencias, se mantienen, mientras que la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones holomorfas en una dimensión compleja (como la conformidad ) no se mantienen. . El teorema de mapeo de Riemann sobre la relación conforme de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones superiores.

Una aplicación importante de ciertos espacios complejos es en la mecánica cuántica como funciones de onda .

Ver también

Referencias

Fuentes

enlaces externos