Colector complejo - Complex manifold

Mapas holomórficos

En la geometría diferencial y geometría compleja , un colector de complejo es un colector con un atlas de cartas al disco unidad abierta en , de manera que los mapas de transición son holomorphic . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

El término variedad compleja se usa de diversas formas para significar una variedad compleja en el sentido anterior (que puede especificarse como una variedad compleja integrable ) y una variedad casi compleja .

Implicaciones de la estructura compleja

Dado que las funciones holomórficas son mucho más rígidas que las funciones suaves , las teorías de variedades suaves y complejas tienen sabores muy diferentes: las variedades complejas compactas están mucho más cerca de las variedades algebraicas que de las variedades diferenciables.

Por ejemplo, el Whitney incrustación teorema nos dice que cada suavizar n colector -dimensional puede ser incrustado como una subvariedad suave de R ^{2 n} , mientras que es "raro" para un colector de complejo para tener una incrustación holomorphic en C ⁿ . Considere, por ejemplo, cualquier variedad compleja conectada compacta M : cualquier función holomórfica en ella es constante según el teorema de Liouville . Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomórfica de M en C ⁿ , entonces las funciones de coordenadas de C ⁿ se restringirían a funciones holomórficas no constantes en M , lo que contradice la compacidad, excepto en el caso de que M sea solo un punto. Las variedades complejas que se pueden incrustar en C ⁿ se denominan variedades de Stein y forman una clase muy especial de variedades que incluyen, por ejemplo, variedades algebraicas afines complejas suaves.

La clasificación de variedades complejas es mucho más sutil que la de variedades diferenciables. Por ejemplo, mientras que en dimensiones distintas de cuatro, una variedad topológica dada tiene como mucho un número finito de estructuras lisas , una variedad topológica que soporta una estructura compleja puede soportar, ya menudo lo hace, incontables estructuras complejas. Las superficies de Riemann , variedades bidimensionales equipadas con una estructura compleja, que se clasifican topológicamente por género , son un ejemplo importante de este fenómeno. El conjunto de estructuras complejas en una superficie orientable dada, equivalencia módulo biholomórfico, forma en sí mismo una variedad algebraica compleja denominada espacio de módulos , cuya estructura sigue siendo un área de investigación activa.

Dado que los mapas de transición entre gráficos son biholomórficos, las variedades complejas son, en particular, suaves y canónicamente orientadas (no solo orientables : un mapa biholomórfico a (un subconjunto de) C ⁿ da una orientación, ya que los mapas biholomórficos conservan la orientación).

Ejemplos de variedades complejas

Superficies de Riemann .
Variedades Calabi – Yau .
El producto cartesiano de dos variedades complejas.
La imagen inversa de cualquier valor no crítico de un mapa holomórfico.

Variedades algebraicas complejas suaves

Las variedades algebraicas complejas suaves son variedades complejas, que incluyen:

Espacios vectoriales complejos.
Espacios proyectivos complejos , P ⁿ ( C ).
Grassmannianos complejos .
Grupos de Lie complejos como GL ( n , C ) o Sp ( n , C ).

De manera similar, los análogos cuaterniónicos de estos también son variedades complejas.

Simplemente conectado

Las variedades complejas unidimensionales simplemente conectadas son isomorfas a:

Δ, el disco unitario en C
C , el plano complejo
Ĉ , la esfera de Riemann

Tenga en cuenta que hay inclusiones entre estos como Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , pero que no hay mapas no constantes en la otra dirección, según el teorema de Liouville .

Disco vs espacio vs polidisco

Los siguientes espacios son diferentes como variedades complejas, lo que demuestra el carácter geométrico más rígido de las variedades complejas (en comparación con las variedades suaves):

espacio complejo . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
el disco de la unidad o bola abierta

{\ Displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ | z \ | <1 \ right \}.}

el polidisco

{\ Displaystyle \ left \ {z = (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ vert z_ {j} \ vert <1 \ \ forall j = 1, \ puntos, n \ derecha \}.}

Estructuras casi complejas

Una estructura casi compleja en una variedad 2n real es una estructura GL ( n , C ) (en el sentido de estructuras G ), es decir, el haz tangente está equipado con una estructura compleja lineal .

Concretamente, este es un endomorfismo del haz tangente cuyo cuadrado es - I ; este endomorfismo es análogo a la multiplicación por el número imaginario i , y se denota con J (para evitar confusiones con la matriz identidad I ). Una variedad casi compleja es necesariamente de dimensión uniforme.

Una estructura casi compleja es más débil que una estructura compleja: cualquier variedad compleja tiene una estructura casi compleja, pero no todas las estructuras casi complejas provienen de una estructura compleja. Tenga en cuenta que cada variedad real de dimensión uniforme tiene una estructura casi compleja definida localmente a partir del gráfico de coordenadas local. La pregunta es si esta compleja estructura se puede definir globalmente. Una estructura casi compleja que proviene de una estructura compleja se llama integrable , y cuando se desea especificar una estructura compleja en contraposición a una estructura casi compleja, se dice una estructura compleja integrable . Para estructuras complejas integrables, el llamado tensor de Nijenhuis desaparece. Este tensor se define en pares de campos vectoriales, X , Y por

{\ Displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] \.}

Por ejemplo, la esfera de 6 dimensiones S ⁶ tiene una estructura natural casi compleja que surge del hecho de que es el complemento ortogonal de i en la esfera unitaria de los octoniones , pero esta no es una estructura compleja. (La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf .) Utilizando una estructura casi compleja podemos dar sentido a los mapas holomórficos y preguntar acerca de la existencia de coordenadas holomórficas en la variedad. La existencia de coordenadas holomórficas equivale a decir que la variedad es compleja (que es lo que dice la definición del gráfico).

Tensando el paquete tangente con los números complejos obtenemos el paquete tangente complejo , en el que la multiplicación por números complejos tiene sentido (incluso si comenzamos con una variedad real). Los valores propios de una estructura casi compleja son ± i y los eigenspaces formar sub-haces denotados por T ^0,1M y T ^1,0M . El teorema de Newlander-Nirenberg muestra que una estructura casi compleja es en realidad una estructura compleja precisamente cuando estos subconjuntos son involutivos , es decir, cerrados bajo el corchete de Lie de campos vectoriales, y una estructura tan casi compleja se llama integrable .

Colectores Kähler y Calabi – Yau

Se puede definir un análogo de una métrica de Riemann para variedades complejas, llamada métrica hermitiana . Como una métrica riemanniana, una métrica hermitiana consiste en un producto interno definido positivo que varía suavemente en el haz tangente, que es hermitiano con respecto a la estructura compleja en el espacio tangente en cada punto. Como en el caso de Riemann, tales métricas siempre existen en abundancia en cualquier variedad compleja. Si la parte simétrica sesgada de dicha métrica es simpléctica , es decir, cerrada y no degenerada, entonces la métrica se llama Kähler . Las estructuras de Kähler son mucho más difíciles de conseguir y son mucho más rígidas.

Los ejemplos de variedades de Kähler incluyen variedades proyectivas suaves y, en general, cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler. Las variedades de Hopf son ejemplos de variedades complejas que no son de Kähler. Para construir uno, tome un espacio vectorial complejo menos el origen y considere la acción del grupo de enteros en este espacio mediante la multiplicación por exp ( n ). El cociente es una variedad compleja cuyo primer número de Betti es uno, por lo que según la teoría de Hodge , no puede ser Kähler.

Una variedad Calabi-Yau se puede definir como una variedad Ricci-flat Kähler compacta o, de manera equivalente, una cuya primera clase Chern desaparece.

Ver también

Notas al pie

^ Uno debe usar el disco de la unidad abiertacomo el espacio modelo en lugar deporque estos no son isomorfos, a diferencia de las variedades reales. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
^ Esto significa que todos los espacios proyectivos complejos son orientables , en contraste con el caso real
^ Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema Hopf". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 57 : 1-9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

Referencias

Kodaira, Kunihiko (17 de noviembre de 2004). Colectores complejos y deformación de estructuras complejas . Clásicos de las matemáticas. Saltador. ISBN 3-540-22614-1.

[1] Uno debe usar el disco de la unidad abiertacomo el espacio modelo en lugar deporque estos no son isomorfos, a diferencia de las variedades reales. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

[2] Esto significa que todos los espacios proyectivos complejos son orientables , en contraste con el caso real

[3] Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema Hopf". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 57 : 1-9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

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