Geometría compleja - Complex geometry

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Largo
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
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En matemáticas , la geometría compleja es el estudio de estructuras y construcciones geométricas que surgen de, o se describen por, los números complejos . En particular, la geometría compleja se ocupa del estudio de espacios como variedades complejas y variedades algebraicas complejas , funciones de varias variables complejas y construcciones holomórficas como haces de vectores holomórficos y haces coherentes . La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con los aspectos más geométricos del análisis complejo .

La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través del programa de modelo mínimo y la construcción de espacios de módulos distingue el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedades suaves es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de la geometría compleja permite, especialmente en el entorno compacto , que los resultados analíticos globales se prueben con gran éxito, incluida la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi , la correspondencia Hitchin-Kobayashi , la correspondencia no beliana de Hodge , y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y métricas de Kähler de curvatura escalar constante .

La geometría compleja tiene aplicaciones importantes para la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría de campos conforme , la teoría de cuerdas y la simetría especular . A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, donde las variedades de banderas generalizadas se pueden estudiar utilizando geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott , o en geometría simpléctica , donde las variedades de Kähler son simplécticas, en riemanniano. geometría donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como las variedades de Calabi-Yau y las variedades hiperkähler , y en la teoría de gauge , donde los paquetes de vectores holomórficos a menudo admiten soluciones a ecuaciones diferenciales importantes que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills . La geometría compleja también es impactante en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en el entorno complejo como la teoría de Hodge de variedades de Kähler inspiran la comprensión de las estructuras de Hodge para variedades y esquemas , así como la teoría p-adic de Hodge , la teoría de deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de la deformación de los esquemas, y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y Grothendieck 's conjeturas estándar . Por otro lado, los resultados y las técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los desarrollos en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades Calabi-Yau , que los teóricos de cuerdas predicen que deberían tienen la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ , y el desarrollo de la teoría de variedades simplécticas de Gromov-Witten ha conducido a avances en la geometría enumerativa de variedades complejas.

La conjetura de Hodge , uno de los problemas del premio del milenio , es un problema de geometría compleja.

Idea

Un ejemplo típico de un espacio complejo es la línea proyectiva compleja . Puede verse como la esfera , una variedad suave que surge de la geometría diferencial , o la esfera de Riemann , una extensión del plano complejo al agregar un punto en el infinito .

En términos generales, la geometría compleja se ocupa de espacios y objetos geométricos que se modelan, en cierto sentido, en el plano complejo . Características del plano complejo y análisis complejo de una sola variable, como una noción intrínseca de orientabilidad (es decir, poder rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de las funciones holomórficas (es decir, , la existencia de una única derivada compleja implica una diferenciación compleja para todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas del estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, cada variedad compleja es canónicamente orientable, y una forma del teorema de Liouville se mantiene en variedades complejas compactas o variedades algebraicas complejas proyectivas .

La geometría compleja tiene un sabor diferente a lo que podría llamarse geometría real , el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta numérica real . Por ejemplo, mientras que las variedades suaves admiten particiones de unidad , colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a una en algún conjunto abierto , e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomórficas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de la identidad , un resultado típico en el análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja se remonta a esta observación fundamental.

Es cierto que cada variedad compleja es, en particular, una verdadera variedad suave. Esto se debe a que el plano complejo es, después de olvidar su estructura compleja, isomorfo al plano real . Sin embargo, la geometría compleja no se considera típicamente como un subcampo particular de la geometría diferencial , el estudio de variedades suaves. En particular, el teorema GAGA de Serre dice que cada variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica , y el estudio de datos holomórficos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Esta equivalencia indica que la geometría compleja está en cierto sentido más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial . Otro ejemplo de esto que se vincula con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de las funciones meromórficas se pueden describir fácilmente. Por el contrario, el posible comportamiento singular de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, uno puede estudiar fácilmente espacios singulares en geometría compleja, como variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.

En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y un geómetro complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja implican la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomórficos adjuntos a ellos (como haces de vectores holomórficos y haces coherentes ) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.

Definiciones

La geometría compleja se ocupa del estudio de variedades complejas , y algebraica compleja y variedades analíticas complejas . En esta sección, se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.

Una variedad compleja es un espacio topológico tal que: ${\ Displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle X}$es Hausdorff y segundo contable .
• ${\ Displaystyle X}$es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de para algunos . Es decir, por cada punto , existe un entorno abierto de y un homeomorfismo a un subconjunto abierto . Estos conjuntos abiertos se denominan gráficos .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle p \ en X}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ a V}$${\ Displaystyle V \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$
• Si y son dos gráficos superpuestos que se asignan a conjuntos abiertos de respectivamente, entonces la función de transición es un biholomorfismo .${\ Displaystyle (U_ {1}, \ varphi)}$${\ Displaystyle (U_ {2}, \ psi)}$${\ Displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to \ psi (U_ {1} \ cap U_ {2})}$

Tenga en cuenta que puesto que cada biholomorphism es un difeomorfismo , y es isomorfismo como un espacio vectorial real de a , cada colector de complejo de dimensión es en particular un múltiple liso de dimensión , que es siempre un número par. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 2n}$

En contraste con las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítico complejo afín es un subconjunto de tal manera que sobre cada punto , hay un entorno abierto de y una colección de un número finito de funciones holomorfas de tal manera que . Por convención también requerimos que el conjunto sea irreducible . Un punto es singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomórficas no tiene rango completo en , y no singular en caso contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjunto del espacio proyectivo complejo que, de la misma manera, está dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomórficas en subconjuntos abiertos de . ${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle p \ en X}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}: U \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X \ cap U = \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = \ cdots = f_ {k} (z) = 0 \} = Z (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p \ en X}$${\ Displaystyle (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en variables complejas. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva , se requiere que el subconjunto esté dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomios homogéneos . ${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Para definir una variedad analítica compleja o algebraica compleja general, se requiere la noción de un espacio anillado localmente . Una variedad algebraica / analítica compleja es un espacio anillado localmente que es localmente isomorfo como un espacio anillado localmente a una variedad algebraica / analítica compleja afín. En el caso analítico, uno típicamente permite tener una topología que es localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de , mientras que en el caso algebraico a menudo está equipado con una topología Zariski . Nuevamente, también por convención requerimos que este espacio anillado localmente sea irreducible. ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle X}$

Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica / algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad que son singulares se denomina locus singular , denotado , y el complemento es el locus no singular o liso , denotado . Decimos que una variedad compleja es suave o no singular si su locus singular está vacío. Es decir, si es igual a su locus no singular. ${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {cantar}}$${\ Displaystyle X ^ {nonsing}}$

Según el teorema de la función implícita para funciones holomórficas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero no es en general afín o proyectiva. Según el teorema de GAGA de Serre, toda variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad compleja. De manera más general, el locus no singular de cualquier variedad compleja es una variedad compleja.

Tipos de espacios complejos

Colectores Kähler

Las variedades complejas pueden estudiarse desde la perspectiva de la geometría diferencial, por lo que están equipadas con estructuras geométricas adicionales, como una forma métrica o simpléctica de Riemann . Para que esta estructura adicional sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado. Una variedad de Kähler es una variedad compleja con una estructura métrica y simpléctica de Riemann compatible con la estructura compleja. Cada subvariedad complejo de un colector de Kähler es Kähler, y así, en particular, cada afín no singular o variedad compleja proyectiva es Kähler, después de restringir el estándar métrica hermitiana en o la Fubini-Study métrica en respectivamente. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Otros ejemplos importantes de colectores Kähler incluyen superficies Riemann, superficies K3 y colectores Calabi-Yau .

Colectores Stein

El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas proyectivas son en realidad algebraicas. Si bien esto no es estrictamente cierto para las variedades afines, existe una clase de variedades complejas que actúan de manera muy similar a las variedades algebraicas complejas afines, llamadas variedades de Stein . Una variedad es Stein si es holomórfica convexa y holomórfica separable (ver el artículo sobre las variedades Stein para las definiciones técnicas). Sin embargo, se puede demostrar que esto equivale a ser una subvariedad compleja de para algunos . Otra forma en que las variedades de Stein son similares a las variedades algebraicas complejas afines es que los teoremas A y B de Cartan son válidos para las variedades de Stein. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Ejemplos de variedades de Stein incluyen superficies de Riemann no compactas y variedades algebraicas complejas afines no singulares.

Colectores Hyper-Kähler

Una clase especial de variedades complejas son las variedades hiper-Kähler , que son variedades de Riemann que admiten tres estructuras casi complejas integrables compatibles distintas que satisfacen las relaciones cuaterniónicas . Por lo tanto, las variedades hiper-Kähler son variedades Kähler de tres formas diferentes y, por lo tanto, tienen una rica estructura geométrica. ${\ Displaystyle I, J, K}$ ${\ Displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = - \ operatorname {Id}}$

Ejemplos de variedades hiper-Kähler incluyen espacios ALE , superficies K3, espacios de módulos de haz de Higgs , variedades de carcaj y muchos otros espacios de módulos que surgen de la teoría de gauge y la teoría de la representación .

Colectores Calabi – Yau

Un trozo bidimensional real de un triple Calabi-Yau quíntico

Como se mencionó, las variedades Calabi-Yau dan una clase particular de variedades de Kähler. Estos son dados por variedades de Kähler con un paquete canónico trivial . Por lo general, la definición de una variedad Calabi-Yau también requiere ser compacta. En este caso, la prueba de Yau de la conjetura de Calabi implica que admite una métrica de Kähler con curvatura de Ricci que se desvanece , y esto puede tomarse como una definición equivalente de Calabi-Yau. ${\ Displaystyle K_ {X} = \ Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Las variedades Calabi-Yau han encontrado uso en la teoría de cuerdas y la simetría especular , donde se utilizan para modelar las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo en modelos de 10 dimensiones de la teoría de cuerdas. Los ejemplos de variedades Calabi-Yau se dan mediante curvas elípticas , superficies K3 y variedades abelianas complejas .

Variedades complejas de Fano

Una variedad Fano compleja es una variedad algebraica compleja con un amplio paquete de líneas anti-canónicas (es decir, es amplio). Las variedades de Fano son de considerable interés en la geometría algebraica compleja y, en particular, en la geometría biracional , donde a menudo surgen en el programa de modelo mínimo . Los ejemplos fundamentales de las variedades Fano vienen dados por espacio proyectivo donde , e hipersuperficies lisas de grado menor que . ${\ Displaystyle K_ {X} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ Displaystyle K = {\ mathcal {O}} (- n-1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ Displaystyle n + 1}$

Variedades tóricas

Momento politopo que describe la primera superficie de Hirzebruch .

Las variedades tóricas son variedades algebraicas complejas de dimensión que contienen un subconjunto denso abierto biholomorfo , equipado con una acción cuya acción extiende la acción sobre el subconjunto denso abierto. Una variedad tórica puede describirse combinatoriamente por su abanico tórico , y al menos cuando no es singular, por un momento politopo . Este es un polígono con la propiedad de que cualquier vértice puede colocarse en la forma estándar del vértice del ortante positivo mediante la acción de . La variedad tórica se puede obtener como un espacio adecuado que se enrolla sobre el politopo. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z})}$

Muchas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternas en términos de combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado. Esto hace que las variedades tóricas sean un caso de prueba particularmente atractivo para muchas construcciones en geometría compleja. Los ejemplos de variedades tóricas incluyen espacios proyectivos complejos y paquetes sobre ellos.

Técnicas en geometría compleja

Debido a la rigidez de las funciones holomórficas y las variedades complejas, las técnicas que se utilizan típicamente para estudiar las variedades complejas y las variedades complejas difieren de las que se utilizan en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas utilizadas en la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente usando particiones de unidad. Las particiones de unidad no existen en geometría compleja, por lo que el problema de cuándo se pueden pegar los datos locales en los datos globales es más sutil. Precisamente cuando los datos locales se pueden unir se mide mediante la cohomología de gavillas , y las gavillas y sus grupos de cohomología son herramientas importantes.

Por ejemplo, problemas famosos en el análisis de varias variables complejas que preceden a la introducción de definiciones modernas son los problemas de Cousin , que preguntan precisamente cuándo se pueden pegar los datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global. Estos viejos problemas pueden resolverse simplemente después de la introducción de poleas y grupos de cohomología.

Ejemplos especiales de las poleas utilizadas en geometría compleja incluyen holomórficas línea paquetes (y los divisores asociados a ellos), paquetes del vector holomorfas , y gavillas coherentes . Dado que la cohomología de gavillas mide las obstrucciones en geometría compleja, una técnica que se utiliza es probar teoremas de desaparición. Ejemplos de teoremas de desaparición en geometría compleja incluyen el teorema de desaparición de Kodaira para la cohomología de haces de líneas en variedades compactas de Kähler, y los teoremas A y B de Cartan para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.

La geometría compleja también hace uso de técnicas que surgen de la geometría diferencial y el análisis. Por ejemplo, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer , calcula la característica de Euler holomórfica de un conjunto de vectores holomórficos en términos de clases características del conjunto de vectores complejos lisos subyacente.

Clasificación en geometría compleja

Un tema importante en la geometría compleja es la clasificación . Debido a la naturaleza rígida de las variedades y variedades complejas, el problema de clasificar estos espacios a menudo es manejable. La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo ocurre a través del estudio de espacios de módulos , que en sí mismos son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.

Superficies Riemann

El término módulos fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original sobre superficies de Riemann. La teoría de la clasificación es más conocida para las superficies compactas de Riemann. Según la clasificación de superficies orientadas cerradas, las superficies compactas de Riemann vienen en un número contable de tipos discretos, medidos por su género , que es un número entero no negativo que cuenta el número de agujeros en la superficie compacta de Riemann dada. ${\ Displaystyle g}$

La clasificación se deriva esencialmente del teorema de uniformización y es la siguiente:

• g = 0 :${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$
• g = 1 : Existe una variedad compleja unidimensional que clasifica las posibles superficies compactas de Riemann del género 1, las llamadas curvas elípticas , la curva modular . Según el teorema de uniformización, cualquier curva elíptica puede escribirse como un cociente donde es un número complejo con una parte imaginaria estrictamente positiva. El espacio de módulos viene dado por el cociente del grupo que actúa en el semiplano superior por las transformaciones de Möbius .${\ Displaystyle \ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$
• g> 1 : Para cada género mayor que uno, hay un espacio de módulos del género g superficies compactas de Riemann, de dimensión . Al igual que en el caso de las curvas elípticas, este espacio puede obtenerse mediante un cociente adecuado del semiespacio superior de Siegel por la acción del grupo .${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$${\ Displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} {\ mathcal {M}} _ {g} = 3g-3}$${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2g, \ mathbb {Z})}$

Paquetes de líneas holomórficas

La geometría compleja se ocupa no solo de los espacios complejos, sino de otros objetos holomórficos adjuntos a ellos. La clasificación de los haces de líneas holomórficas en una variedad compleja viene dada por la variedad Picard de . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$${\ Displaystyle X}$

La variedad picard se puede describir fácilmente en el caso de una superficie compacta de Riemann del género g. Es decir, en este caso la variedad Picard es una unión disjunta de variedades abelianas complejas , cada una de las cuales es isomorfa a la variedad jacobiana de la curva, clasificando divisores de grado cero hasta equivalencia lineal. En términos de geometría diferencial, estas variedades abelianas son toros complejos, variedades complejas difeomórficas , posiblemente con una de las muchas estructuras complejas diferentes. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {2g}}$

Por el teorema de Torelli , una superficie de Riemann compacta está determinada por su variedad jacobiana, y esto demuestra una razón por la que el estudio de estructuras en espacios complejos puede ser útil, ya que puede permitir resolver clasificar los espacios en sí.

Ver también

• Bivector (complejo)
• Colector Calabi – Yau
• Teoremas A y B de Cartan
• Espacio analítico complejo
• Grupo de mentiras complejo
• Politopo complejo
• Espacio proyectivo complejo
• Problemas de primos
• Teoría de la deformación # Deformaciones de variedades complejas
• Clasificación de Enriques-Kodaira
• GAGÁ
• Teorema de la extensión de Hartogs
• Espacio simétrico hermitiano
• Descomposición de Hodge
• Colector Hopf
• Línea imaginaria (matemáticas)
• Métrica de Kobayashi
• Correspondencia de Kobayashi-Hitchin
• Colector Kähler
• Número largo
• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Simetría de espejo
• Ideal multiplicador
• Variedad proyectiva
• Pseudoconvexidad
• Varias variables complejas
• Colector de Stein

Referencias

• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables , North-Holland Mathematical Library, 7 (3.ª edición (revisada)), Amsterdam-London-New York-Tokyo: North-Holland , ISBN 0-444-88446-7, MR  1045639 , Zbl  0.685,32001
• S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de la geometría diferencial (Biblioteca de clásicos de Wiley) Volumen 1, 2.
• EH Neville (1922) Prolegómenos a la geometría analítica en el espacio euclidiano anisotrópico de tres dimensiones , Cambridge University Press .