Teoría de Hodge - Hodge theory

En matemáticas , la teoría de Hodge , que lleva el nombre de WVD Hodge , es un método para estudiar los grupos de cohomología de una variedad suave M utilizando ecuaciones diferenciales parciales . La observación clave es que, dada una métrica de Riemann en M , cada clase de cohomología tiene un representante canónico , una forma diferencial que se desvanece bajo el operador laplaciano de la métrica. Tales formas se llaman armónicas .

La teoría fue desarrollada por Hodge en la década de 1930 para estudiar la geometría algebraica , y se basó en el trabajo de Georges de Rham sobre la cohomología de De Rham . Tiene aplicaciones principales en dos entornos: colectores de Riemann y colectores de Kähler . La motivación principal de Hodge, el estudio de variedades proyectivas complejas , está abarcada por el último caso. La teoría de Hodge se ha convertido en una herramienta importante en la geometría algebraica, particularmente a través de su conexión con el estudio de los ciclos algebraicos .

Si bien la teoría de Hodge depende intrínsecamente de los números reales y complejos, se puede aplicar a cuestiones de teoría de números . En situaciones aritméticas, las herramientas de la teoría p -ádica de Hodge han proporcionado pruebas alternativas o resultados análogos a la teoría clásica de Hodge.

Historia

El campo de la topología algebraica todavía era incipiente en la década de 1920. Todavía no había desarrollado la noción de cohomología y la interacción entre formas diferenciales y topología era poco conocida. En 1928, Élie Cartan publicó una nota titulada Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos en la que sugirió, pero no probó, que las formas diferenciales y la topología deberían estar vinculadas. Al leerlo, Georges de Rham, entonces estudiante, se sintió inmediatamente impresionado por la inspiración. En su tesis de 1931, demostró un resultado espectacular que ahora se llama teorema de de Rham . Según el teorema de Stokes , la integración de formas diferenciales a lo largo de cadenas singulares induce, para cualquier variedad compacta suave M , un emparejamiento bilineal

Como se dijo originalmente, el teorema de De Rham afirma que este es un emparejamiento perfecto y que, por lo tanto, cada uno de los términos del lado izquierdo son duales en el espacio vectorial entre sí. En el lenguaje contemporáneo, el teorema de De Rham se expresa más a menudo como la afirmación de que la cohomología singular con coeficientes reales es isomórfica a la cohomología de Rham:

La declaración original de De Rham es entonces una consecuencia de la dualidad de Poincaré .

Por separado, un artículo de 1927 de Solomon Lefschetz utilizó métodos topológicos para reprobar los teoremas de Riemann . En lenguaje moderno, si ω 1 y ω 2 son diferenciales holomórficos en una curva algebraica C , entonces su producto de cuña es necesariamente cero porque C tiene solo una dimensión compleja; en consecuencia, el producto de copa de sus clases de cohomología es cero, y cuando se hace explícito, esto le dio a Lefschetz una nueva prueba de las relaciones de Riemann . Además, si ω es un diferencial holomórfico distinto de cero, entonces es una forma de volumen positivo, a partir de la cual Lefschetz pudo derivar las desigualdades de Riemann. En 1929, WVD Hodge se enteró del artículo de Lefschetz. Inmediatamente observó que se aplicaban principios similares a las superficies algebraicas. Más precisamente, si ω es una forma holomórfica distinta de cero en una superficie algebraica, entonces es positivo, por lo que el producto de taza de y debe ser distinto de cero. De ello se deduce que ω en sí mismo debe representar una clase de cohomología distinta de cero, por lo que sus períodos no pueden ser todos cero. Esto resolvió una cuestión de Severi.

Hodge consideró que estas técnicas también deberían ser aplicables a variedades de dimensiones superiores. Su colega Peter Fraser le recomendó la tesis de De Rham. Al leer la tesis de De Rham, Hodge se dio cuenta de que las partes real e imaginaria de una forma 1 holomórfica en una superficie de Riemann eran en cierto sentido duales entre sí. Sospechaba que debería haber una dualidad similar en dimensiones superiores; esta dualidad ahora se conoce como el operador estelar de Hodge . Además, conjeturó que cada clase de cohomología debería tener un representante distinguido con la propiedad de que tanto ella como su dual se desvanecen bajo el operador derivado exterior; estos ahora se llaman formas armónicas. Hodge dedicó la mayor parte de la década de 1930 a este problema. Su primer intento publicado de una prueba apareció en 1933, pero lo consideró "extremadamente crudo". Hermann Weyl , uno de los matemáticos más brillantes de la época, se encontró incapaz de determinar si la demostración de Hodge era correcta o no. En 1936, Hodge publicó una nueva prueba. Si bien Hodge consideró que la nueva prueba era muy superior, Bohnenblust descubrió un grave defecto. Independientemente, Hermann Weyl y Kunihiko Kodaira modificaron la prueba de Hodge para reparar el error. Esto estableció el isomorfismo buscado por Hodge entre formas armónicas y clases de cohomología.

En retrospectiva, está claro que las dificultades técnicas en el teorema de existencia no requerían realmente ninguna idea nueva significativa, sino simplemente una extensión cuidadosa de los métodos clásicos. La verdadera novedad, que fue la mayor contribución de Hodge, estuvo en la concepción de las integrales armónicas y su relevancia para la geometría algebraica. Este triunfo del concepto sobre la técnica recuerda un episodio similar en la obra del gran predecesor de Hodge, Bernhard Riemann.

- MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975, Memorias biográficas de los miembros de la Royal Society , vol. 22, 1976, págs. 169-192.

Teoría de Hodge para variedades reales

Cohomología de De Rham

La teoría de Hodge hace referencia al complejo de Rham . Sea M una variedad suave . Para un número natural k , deja Ω k ( M ) sea el verdadero espacio vectorial de suaves formas diferenciales de grado k en M . El complejo de Rham es la secuencia de operadores diferenciales

donde d k denota la derivada exterior en Ω k ( M ). Este es un complejo cocadena en el sentido de que d k +1d k = 0 (también escrito d 2 = 0 ). El teorema de De Rham dice que la cohomología singular de M con coeficientes reales se calcula mediante el complejo de De Rham:

Operadores en la teoría de Hodge

Elija una métrica riemanniana g en M y recuerde que:

Los rendimientos métricas un producto interno en cada fibra mediante la extensión (véase la Matriz de Gram ) el producto interior inducida por g de cada fibra cotangente a su producto exterior : . El producto interno se define entonces como la integral del producto interno puntual de un par dado de formas k sobre M con respecto a la forma volumétrica asociada con g . Explícitamente, dado algunos tenemos

Naturalmente, el producto interno anterior induce una norma, cuando esa norma es finita en alguna forma k fija :

entonces el integrando es una función integrable cuadrada de valor real en M , evaluada en un punto dado a través de sus normas puntuales,

Considere el operador adjunto de d con respecto a estos productos internos:

Entonces el laplaciano en formas se define por

Este es un operador diferencial lineal de segundo orden, generalizando el Laplaciano para funciones en R n . Por definición, una forma en M es armónica si su laplaciano es cero:

El laplaciano apareció primero en física matemática . En particular, las ecuaciones de Maxwell dicen que el potencial electromagnético en el vacío es una forma 1 A que tiene una derivada exterior dA = F , donde F es una forma 2 que representa el campo electromagnético tal que Δ A = 0 en el espacio-tiempo, visto como Minkowski espacio de dimensión 4.

Cada forma armónica α en un cerrado variedad de Riemann está cerrada , lo que significa que = 0 . Como resultado, hay un mapeo canónico . El teorema de Hodge establece que es un isomorfismo de espacios vectoriales. En otras palabras, cada clase de cohomología real en M tiene un representante armónico único. Concretamente, el representante armónico es la forma cerrada única de la norma L 2 mínima que representa una clase de cohomología determinada. El teorema de Hodge se demostró utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , con los argumentos iniciales de Hodge completados por Kodaira y otros en la década de 1940.

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que los grupos de cohomología con coeficientes reales de una variedad cerrada son de dimensión finita . (Es cierto que hay otras formas de probar esto). De hecho, los operadores Δ son elípticos, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad cerrada es siempre un espacio vectorial de dimensión finita. Otra consecuencia del teorema de Hodge es que una métrica de Riemann en una variedad cerrada M determina un producto interno de valor real en la cohomología integral de M módulo de torsión . De ello se deduce, por ejemplo, que la imagen del grupo de isometría de M en el grupo lineal general GL ( H ( M , Z )) es finita (porque el grupo de isometrías de una red es finito).

Una variante del teorema de Hodge es la descomposición de Hodge . Esto dice que hay una descomposición única de cualquier forma diferencial ω en una variedad Riemanniana cerrada como una suma de tres partes en la forma

en el que γ es armónico: Δ γ = 0 . En términos de la métrica L 2 en formas diferenciales, esto da una descomposición de suma directa ortogonal :

La descomposición de Hodge es una generalización de la descomposición de Helmholtz para el complejo de Rham.

Teoría de Hodge de complejos elípticos

Atiyah y Bott definieron los complejos elípticos como una generalización del complejo de Rham. El teorema de Hodge se extiende a este escenario, como sigue. Permiten ser fibrados vectoriales , equipadas con las métricas, en un múltiple liso cerrado M con una forma de volumen  dV . Suponer que

son operadores diferenciales lineales que actúan sobre las secciones C de estos haces de vectores, y que la secuencia inducida

es un complejo elíptico. Introduce las sumas directas:

y dejar que L * ser el adjunto de L . Definir el operador elíptica Δ = LL * + L * L . Como en el caso de De Rham, esto produce el espacio vectorial de las secciones armónicas

Sea la proyección ortogonal y sea G el operador de Green para Δ. El teorema de Hodge afirma lo siguiente:

  1. H y G están bien definidos.
  2. Id = H + Δ G = H + G Δ
  3. LG = GL , L G = GL
  4. La cohomología del complejo es canónicamente isomorfa al espacio de secciones armónicas , en el sentido de que cada clase de cohomología tiene un representante armónico único.

También hay una descomposición de Hodge en esta situación, generalizando la declaración anterior para el complejo de Rham.

Teoría de Hodge para variedades proyectivas complejas

Deje que X sea un suave colector proyectiva compleja, lo que significa que X es un cerrado subvariedad complejo de algún complejo proyectiva espacio CP N . Por el teorema de Chow , colectores proyectivas complejos son automáticamente algebraica: que se definen por la desaparición de polinomio homogéneo ecuaciones en CP N . La métrica estándar de Riemann en CP N induce una métrica de Riemann en X que tiene una fuerte compatibilidad con la estructura compleja, lo que hace que X sea una variedad de Kähler .

Para una variedad compleja X y un número natural r , cada forma C r en X (con coeficientes complejos) se puede escribir únicamente como una suma de formas de tipo ( p , q ) con p + q = r , es decir, formas que localmente se puede escribir como una suma finita de términos, con cada término tomando la forma

con F un C función y la z s y w s funciones holomorfas . En una variedad de Kähler, los componentes ( p , q ) de una forma armónica son nuevamente armónicos. Por lo tanto, para cualquier variedad X compacta de Kähler , el teorema de Hodge da una descomposición de la cohomología de X con coeficientes complejos como una suma directa de espacios vectoriales complejos:

De hecho, esta descomposición es independiente de la elección de la métrica de Kähler (pero no hay una descomposición análoga para una variedad compleja compacta general). Por otro lado, la descomposición Hodge depende realmente de la estructura de X como un colector complejo, mientras que el grupo H r ( X , C ) depende sólo de la subyacente espacio topológico de X .

La pieza H p , q ( X ) de la descomposición de Hodge se puede identificar con un grupo de cohomología de gavilla coherente , que depende solo de X como una variedad compleja (no de la elección de la métrica de Kähler):

donde Ω p indica la gavilla de holomórficas p -formas en X . Por ejemplo, H p , 0 ( X ) es el espacio de holomórficas p -formas en X . (Si X es proyectivo, el teorema GAGA de Serre implica que una forma p holomórfica en todo X es de hecho algebraica).

El número de Hodge h p , q ( X ) significa la dimensión del espacio vectorial complejo H p . q ( X ). Estos son importantes invariantes de una suave variedad proyectiva compleja; no cambian cuando la estructura compleja de X varía continuamente y, sin embargo, en general no son invariantes topológicos. Entre las propiedades de los números de Hodge están la simetría de Hodge h p , q = h q , p (porque H p , q ( X ) es el conjugado complejo de H q , p ( X )) y h p , q = h n - p , n - q (por dualidad de Serre ).

Los números de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad Kähler compacta) se pueden enumerar en el diamante de Hodge (que se muestra en el caso de la dimensión compleja 2):

h 2,2
h 2,1 h 1,2
h 2,0 h 1,1 h 0,2
h 1,0 h 0,1
h 0,0

Por ejemplo, cada curva proyectiva suave del género g tiene un diamante de Hodge

1
gramo gramo
1

Por otro ejemplo, cada superficie K3 tiene un diamante Hodge

1
0 0
1 20 1
0 0
1

Los números Betti de X son la suma de los números de Hodge en una fila determinada. Una aplicación básica de la teoría de Hodge es entonces que los números Betti impares b 2 a +1 de una variedad proyectiva compleja suave (o variedad de Kähler compacta) son pares, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para las variedades complejas compactas en general, como se muestra en el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomórfica a S 1 × S 3 y por lo tanto tiene b 1 = 1 .

El "paquete Kähler" es un poderoso conjunto de restricciones sobre la cohomología de variedades proyectivas complejas suaves (o variedades compactas de Kähler), basado en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema rígido de Lefschetz y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . La teoría de Hodge y extensiones como la teoría de Hodge no abeliana también imponen fuertes restricciones sobre los posibles grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler.

Ciclos algebraicos y la conjetura de Hodge

Sea X una variedad proyectiva compleja suave. Una subvariedad compleja Y en X de codimensión p define un elemento del grupo de cohomología . Por otra parte, la clase resultante tiene una propiedad especial: su imagen en los complejos de cohomología mentiras en la pieza central de la descomposición de Hodge, . La conjetura de Hodge predice un inversa: cada elemento de cuya imagen en la mentira de cohomología complejos en el subespacio debe tener un múltiplo entero positivo que es una combinación de clases de -linear subvariedades complejas de X . (Esta combinación lineal se llama ciclo algebraico en X ).

Un punto crucial es que la descomposición de Hodge es una descomposición de cohomología con coeficientes complejos que generalmente no proviene de una descomposición de cohomología con coeficientes integrales (o racionales). Como resultado, la intersección

puede ser mucho menor que la torsión del grupo completo , incluso si el número de Hodge es grande. En resumen, la conjetura de Hodge predice que las posibles "formas" de las subvariedades complejas de X (como las describe la cohomología) están determinadas por la estructura de Hodge de X (la combinación de la cohomología integral con la descomposición de Hodge de la cohomología compleja).

El teorema de Lefschetz (1,1) dice que la conjetura de Hodge es verdadera para p = 1 (incluso integralmente, es decir, sin la necesidad de un múltiplo integral positivo en el enunciado).

La estructura de Hodge de una variedad X describe las integrales de las formas diferenciales algebraicas en X más de homología clases en X . En este sentido, la teoría de Hodge está relacionada con una cuestión básica en cálculo : en general, no existe una "fórmula" para la integral de una función algebraica . En particular, las integrales definidas de funciones algebraicas, conocidas como períodos , pueden ser números trascendentales . La dificultad de la conjetura de Hodge refleja la falta de comprensión de tales integrales en general.

Ejemplo: Para una superficie K3 proyectiva compleja suave X , el grupo H 2 ( X , Z ) es isomorfo a Z 22 , y H 1,1 ( X ) es isomorfo a C 20 . Su intersección puede tener un rango entre 1 y 20; esta fila se llama el número de Picard de X . El espacio de módulos de todas las superficies proyectivas K3 tiene un conjunto numerable infinito de componentes, cada uno de dimensión compleja 19. El subespacio de las superficies K3 con número de Picard a tiene dimensión 20− a . (Por lo tanto, para la mayoría de las superficies proyectivas K3, la intersección de H 2 ( X , Z ) con H 1,1 ( X ) es isomorfa a Z , pero para las superficies K3 "especiales" la intersección puede ser mayor).

Este ejemplo sugiere varios roles diferentes que juega la teoría de Hodge en la geometría algebraica compleja. En primer lugar, la teoría de Hodge establece restricciones sobre qué espacios topológicos pueden tener la estructura de una variedad proyectiva compleja suave. En segundo lugar, la teoría de Hodge proporciona información sobre el espacio de módulos de variedades proyectivas complejas suaves con un tipo topológico dado. El mejor caso es cuando se cumple el teorema de Torelli , lo que significa que la variedad está determinada hasta el isomorfismo por su estructura de Hodge. Finalmente, la teoría de Hodge proporciona información sobre el grupo de ciclos algebraicos de Chow en una variedad dada. La conjetura de Hodge trata de la imagen del mapa del ciclo de los grupos de Chow a la cohomología ordinaria, pero la teoría de Hodge también proporciona información sobre el núcleo del mapa del ciclo, por ejemplo, utilizando los jacobianos intermedios que se construyen a partir de la estructura de Hodge.

Generalizaciones

La teoría mixta de Hodge , desarrollada por Pierre Deligne , extiende la teoría de Hodge a todas las variedades algebraicas complejas, no necesariamente suaves o compactas. Es decir, la cohomología de cualquier variedad algebraica compleja tiene un tipo de descomposición más general, una estructura de Hodge mixta .

La homología de intersección proporciona una generalización diferente de la teoría de Hodge a variedades singulares . Es decir, Morihiko Saito demostró que la homología de intersección de cualquier variedad proyectiva compleja (no necesariamente suave) tiene una estructura de Hodge pura, al igual que en el caso suave. De hecho, todo el paquete de Kähler se extiende a la homología de intersección.

Un aspecto fundamental de la geometría compleja es que existen familias continuas de variedades complejas no isomórficas (que son todas difeomórficas como variedades reales). La noción de Phillip Griffiths de una variación de la estructura de Hodge describe cómo la estructura de Hodge de una variedad proyectiva compleja suave X varía cuando X varía. En términos geométricos, esto equivale a estudiar el mapeo de períodos asociado a una familia de variedades. La teoría de Saito de los módulos de Hodge es una generalización. En términos generales, un módulo Hodge mixto en una variedad X es un haz de estructuras Hodge mixtas sobre X , como surgiría de una familia de variedades que no necesitan ser lisas o compactas.

Ver también

Notas

Referencias