Espacio simplemente conectado - Simply connected space

En topología , un espacio topológico se llama simplemente conectado (o 1-conectado , o 1-simplemente conectado ) si está conectado a una ruta y cada ruta entre dos puntos se puede transformar continuamente (intuitivamente para espacios incrustados, permaneciendo dentro del espacio) en cualquier otra ruta de este tipo conservando los dos puntos finales en cuestión. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso de que el espacio esté simplemente conectado: un espacio topológico conectado por caminos está simplemente conectado si y solo si su grupo fundamental es trivial.

Definición y formulaciones equivalentes

Esta forma representa un conjunto que no está simplemente conectado, porque cualquier bucle que encierra uno o más de los agujeros no se puede contraer a un punto sin salir de la región.

Un espacio topológico se llama simplemente conectado si es trayectoria-conectado y cualquier bucle en definido por puede ser contraído a un punto: no existe una aplicación continua de tal manera que restringido a S ¹ es aquí, y denota el círculo unitario y cerrado disco unitario en el plano euclidiano respectivamente. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f: S ^ {1} \ to X}$${\ Displaystyle F: D ^ {2} \ to X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle f.}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle D ^ {2}}$

Una formulación equivalente es la siguiente: simplemente se conecta si y solo si está conectado a una ruta, y siempre que y sean dos rutas (es decir, mapas continuos) con el mismo punto de inicio y final ( ), entonces se puede deformar continuamente mientras se mantienen ambos puntos finales fijos. Explícitamente, existe una homotopía tal que y${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p: [0,1] \ a X}$${\ Displaystyle q: [0,1] \ a X}$${\ Displaystyle p (0) = q (0) {\ text {y}} p (1) = q (1)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$ ${\ displaystyle F: [0,1] \ times [0,1] \ rightarrow X}$${\ Displaystyle F (x, 0) = p (x)}$${\ Displaystyle F (x, 1) = q (x).}$

Un espacio topológico está simplemente conectado si y solo si está conectado por una ruta y el grupo fundamental de en cada punto es trivial, es decir, consta solo del elemento de identidad . De manera similar, se conecta simplemente si y solo si para todos los puntos el conjunto de morfismos en el grupo fundamental de tiene un solo elemento. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x, y \ en X,}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ Pi (X)} (x, y)}$${\ Displaystyle X}$

En análisis complejo : un subconjunto abierto se conecta simplemente si y solo si ambos y su complemento en la esfera de Riemann están conectados. El conjunto de números complejos con una parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno, proporciona un buen ejemplo de un subconjunto ilimitado, conectado y abierto del plano cuyo complemento no está conectado. Sin embargo, está simplemente conectado. También podría valer la pena señalar que una relajación del requisito de estar conectado conduce a una exploración interesante de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conectado. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conectado) tiene un complemento extendido conectado exactamente cuando cada uno de sus componentes conectados está simplemente conectado. ${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Discusión informal

De manera informal, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviese por completo. Por ejemplo, ni una rosquilla ni una taza de café (con asa) simplemente se conectan, sino que simplemente se conecta una bola de goma hueca. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, sino que un disco y una línea lo están. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o conectados de forma múltiple .

Una esfera está simplemente conectada porque cada bucle se puede contraer (en la superficie) a un punto.

La definición excluye solo los agujeros con forma de asa . Una esfera (o, de manera equivalente, una pelota de goma con un centro hueco) simplemente se conecta, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tiene agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad .

Ejemplos de

Un toro no es una superficie simplemente conectada. Ninguno de los dos bucles de colores que se muestran aquí se puede contraer hasta un punto sin salir de la superficie. Un toro sólido tampoco está simplemente conectado porque el bucle violeta no puede contraerse hasta un punto sin dejar el sólido.

• El plano euclidiano está simplemente conectado, pero menos el origen no lo está. Si entonces ambos y menos el origen están simplemente conectados.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle (0,0)}$${\ Displaystyle n> 2,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• De manera análoga: la esfera n- dimensional está simplemente conectada si y solo si${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ geq 2.}$
• Cada subconjunto convexo de está simplemente conectado.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Un toro , el cilindro (elíptico) , la tira de Möbius , el plano proyectivo y la botella de Klein no están simplemente conectados.
• Cada espacio vectorial topológico está simplemente conectado; esto incluye los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
• Porque el grupo ortogonal especial no está simplemente conectado y el grupo unitario especial está simplemente conectado.${\ Displaystyle n \ geq 2,}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (n, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$
• La compactificación de un punto de no está simplemente conectada (aunque simplemente está conectada).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• La línea larga está simplemente conectada, pero su compactación, la línea larga extendida no lo está (ya que ni siquiera está conectada a una ruta).${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$

Propiedades

Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) se conecta simplemente si y solo si está conectada y su género (el número de asas de la superficie) es 0.

Una cobertura universal de cualquier espacio (adecuado) es un espacio simplemente conectado que se asigna a través de un mapa de cobertura . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Si y son homotopía equivalentes y simplemente están conectados, entonces también lo es${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y.}$

La imagen de un aparato simplemente conectado bajo una función continua no necesita estar simplemente conectado. Tomemos, por ejemplo, el plano complejo debajo del mapa exponencial: la imagen es la que no está simplemente conectada. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \},}$

La noción de conectividad simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:

• La integrales teorema de Cauchy estados que si es un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo y es una función holomorfa , a continuación, tiene una antiderivative en y el valor de cada integral de línea en con integrando depende sólo de los puntos finales y de la trayectoria, y se puede calcular como La integral, por lo tanto, no depende de la ruta particular que conecta y${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$${\ Displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle U,}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle F (v) -F (u).}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle v,}$
• El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto no vacío abierto simplemente conectado de (excepto por sí mismo) es conformemente equivalente al disco unitario .${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

La noción de conexión simple es también una condición crucial en la conjetura de Poincaré .

Ver también

• Grupo fundamental  - Grupo matemático de las clases de homotopía de bucles en un espacio topológico.
• Retraer la deformación
• espacio n-conectado
• Conectado a la ruta
• Espacio unicoherente

Referencias

• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Funciones de una variable compleja I . Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la topología general . Editores de la Nueva Era. ISBN 0-85226-444-5.