Manejar la descomposición - Handle decomposition

En matemáticas , una descomposición del asa de una variedad m - M es una unión

${\ Displaystyle \ emptyset = M _ {- 1} \ subconjunto M_ {0} \ subconjunto M_ {1} \ subconjunto M_ {2} \ subconjunto \ puntos \ subconjunto M_ {m-1} \ subconjunto M_ {m} = M}$

donde cada uno se obtiene mediante la fijación de - asas . Una descomposición de asa es para una variedad lo que una descomposición de CW es para un espacio topológico; en muchos aspectos, el propósito de una descomposición de asa es tener un lenguaje análogo a los complejos de CW, pero adaptado al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, una manija en i es el análogo suave de una celda en i . Manejar descomposiciones de variedades surgen naturalmente a través de la teoría Morse . La modificación de las estructuras de los mangos está íntimamente ligada a la teoría de Cerf . ${\ Displaystyle M_ {i}}$${\ Displaystyle M_ {i-1}}$${\ Displaystyle i}$

Motivación

Considere la descomposición CW estándar de la n -esfera, con una celda cero y una sola n- celda . Desde el punto de vista de las variedades suaves, esta es una descomposición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver la estructura suave desde los ojos de esta descomposición; en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende de la comportamiento del mapa característico en un barrio de . ${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle \ chi: D ^ {n} \ to S ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$

El problema con las descomposiciones CW es que los mapas adjuntos para las celdas no viven en el mundo de los mapas suaves entre variedades. El conocimiento germinal para corregir este defecto es el teorema de la vecindad tubular . Dado un punto p en una variedad M , su vecindad tubular cerrada es difeomórfica a , por lo que hemos descompuesto M en la unión disjunta de y pegado a lo largo de su límite común. El problema vital aquí es que el mapa de pegado es un difeomorfismo. De manera similar, tome un arco incrustado suave , su vecindad tubular es difeomórfica a . Esto nos permite escribir como la unión de tres colectores, pegados a lo largo de partes de sus límites: 1) 2) y 3) el complemento de la vecindad tubular abierta del arco en . Observe que todos los mapas de pegado son mapas suaves, en particular cuando pegamos a la relación de equivalencia que se genera mediante la incrustación de in , que es suave por el teorema de vecindad tubular . ${\ Displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ Displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ Displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ Displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ Displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ Displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle D ^ {m}}$${\ Displaystyle (\ I parcial) \ times D ^ {m-1}}$${\ Displaystyle \ parcial D ^ {m}}$

Las descomposiciones de los mangos son una invención de Stephen Smale . En su formulación original, el proceso de fijación de una j -Mango a un m -manifold M asume que uno tiene una incrustación suave de . Deja . La variedad (en palabras, M unión a j- mango a lo largo de f ) se refiere a la unión disjunta de y con la identificación de con su imagen en , es decir: ${\ Displaystyle f: S ^ {j-1} \ times D ^ {mj} \ a \ parcial M}$${\ Displaystyle H ^ {j} = D ^ {j} \ times D ^ {mj}}$${\ Displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$ ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle H ^ {j}}$${\ Displaystyle S ^ {j-1} \ times D ^ {mj}}$${\ Displaystyle \ parcial M}$

${\ Displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j} = \ left (M \ sqcup (D ^ {j} \ times D ^ {mj}) \ right) / \ sim}$

donde la relación de equivalencia es generada por para todos . ${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle (p, x) \ sim f (p, x)}$${\ Displaystyle (p, x) \ in S ^ {j-1} \ times D ^ {mj} \ subset D ^ {j} \ times D ^ {mj}}$

Se dice un colector de N se obtiene a partir M uniendo j -handles si la unión de M con un número finito j -handles es difeomorfa a N . La definición de descomposición del mango es entonces como en la introducción. Por lo tanto, un colector tiene una descomposición de mangos con solo 0 manijas si es difeomórfico a una unión disjunta de bolas. Un colector conectado que contiene manijas de solo dos tipos (es decir, manijas 0 y manijas en j para algunas j fijas ) se llama cuerpo de manija .

Terminología

Al formar una unión M, un mango en J${\ Displaystyle H ^ {j}}$

${\ Displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j} = \ left (M \ sqcup (D ^ {j} \ times D ^ {mj}) \ right) / \ sim}$

${\ Displaystyle f (S ^ {j-1} \ times \ {0 \}) \ subconjunto M}$se conoce como la esfera de unión .

${\ Displaystyle f}$a veces se denomina encuadre de la esfera adjunta, ya que trivializa su conjunto normal .

${\ Displaystyle \ {0 \} ^ {j} \ times S ^ {mj-1} \ subconjunto D ^ {j} \ times D ^ {mj} = H ^ {j}}$está la esfera del cinturón del asa en . ${\ Displaystyle H ^ {j}}$${\ Displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$

Una variedad obtenida uniendo g k- mangos al disco es un (m, k) -handlebody del género g . ${\ Displaystyle D ^ {m}}$

Presentaciones de Cobordismo

Una presentación de asa de un cobordismo consiste en un cobordismo W donde y una unión ascendente ${\ Displaystyle \ W parcial = M_ {0} \ taza M_ {1}}$

${\ Displaystyle W _ {- 1} \ subconjunto W_ {0} \ subconjunto W_ {1} \ subconjunto \ cdots \ subconjunto W_ {m + 1} = W}$

donde M es m -dimensional, W es m + 1 -dimensional, es difeomorfa a y se obtiene a partir de la unión de i -handles. Mientras que las descomposiciones de manejo son análogas a las variedades de lo que las descomposiciones de células son para los espacios topológicos, las presentaciones de los cobordismos a las variedades con límite son las descomposiciones de células relativas para los pares de espacios. ${\ Displaystyle W _ {- 1}}$${\ Displaystyle M_ {0} \ times [0,1]}$${\ Displaystyle W_ {i}}$${\ Displaystyle W_ {i-1}}$

Punto de vista teórico de Morse

Dada una función Morse en una variedad compacta sin límites M , tal que los puntos críticos de f satisfacen , y siempre ${\ Displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {p_ {1}, \ ldots, p_ {k} \} \ subconjunto M}$${\ Displaystyle f (p_ {1}) <f (p_ {2}) <\ cdots <f (p_ {k})}$

${\ Displaystyle t_ {0} <f (p_ {1}) <t_ {1} <f (p_ {2}) <\ cdots <t_ {k-1} <f (p_ {k}) <t_ {k }}$,

entonces, para todo j , es difeomórfico a donde I (j) es el índice del punto crítico . El índice I (j) se refiere a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangente donde el hessiano es definido negativo. ${\ Displaystyle f ^ {- 1} [t_ {j-1}, t_ {j}]}$${\ Displaystyle (f ^ {- 1} (t_ {j-1}) \ times [0,1]) \ cup H ^ {I (j)}}$${\ Displaystyle p_ {j}}$ ${\ Displaystyle T_ {p_ {j}} M}$

Siempre que los índices satisfagan que esto es una descomposición de asa de M , además, cada variedad tiene funciones Morse, por lo que tienen descomposiciones de asa. Del mismo modo, dado un cobordism con y una función que es Morse en el interior y constante en el límite y que satisface la propiedad de índice creciente, hay una presentación mango inducida de la cobordism W . ${\ Displaystyle I (1) \ leq I (2) \ leq \ cdots \ leq I (k)}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ W parcial = M_ {0} \ taza M_ {1}}$${\ Displaystyle f: W \ to \ mathbb {R}}$

Cuando f es una función Morse en M , -f también es una función Morse. La descomposición / presentación del asa correspondiente se denomina descomposición dual .

Algunos teoremas y observaciones importantes

• Una división de Heegaard de un colector 3 orientable cerrado es una descomposición de un colector de 3 en la unión de dos (3,1) mangos a lo largo de su límite común, llamado superficie de división de Heegaard. Las divisiones heegaard surgen para 3 colectores de varias formas naturales: dada una descomposición de mango de un colector de 3, la unión de los mangos 0 y 1 es un mango (3,1) , y la unión de los mangos 3 y 2 - handle es también un (3,1) -handlebody (desde el punto de vista de la descomposición dual), por lo tanto, una división de Heegaard. Si el colector de 3 tiene una triangulación T , hay una división de Heegaard inducida donde el primer mango (3,1) es una vecindad regular del esqueleto 1 , y el otro cuerpo (3,1) es una vecindad regular del esqueleto dual 1 .${\ Displaystyle T ^ {1}}$
• Al colocar dos manijas en sucesión , es posible cambiar el orden de fijación, siempre que , es decir, este colector sea difeomórfico a un colector de la forma para adjuntar mapas adecuados.${\ Displaystyle (M \ cup _ {f} H ^ {i}) \ cup _ {g} H ^ {j}}$${\ Displaystyle j \ leq i}$${\ Displaystyle (M \ cup H ^ {j}) \ cup H ^ {i}}$
• El límite de es difeomórfico a surcado a lo largo de la esfera enmarcada . Este es el vínculo principal entre la cirugía , los mangos y las funciones de Morse.${\ Displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$${\ Displaystyle \ parcial M}$${\ Displaystyle f}$
• Como consecuencia, un colector m M es el límite de un colector m + 1 W si y solo si se puede obtener M mediante cirugía en una colección de enlaces enmarcados en . Por ejemplo, se sabe que cada 3 colectores limita un colector de 4 (orientado de manera similar y los colectores de espín 3 enlazados orientados y los colectores de giro 4 respectivamente) debido al trabajo de René Thom sobre cobordismo . Por lo tanto, cada 3-múltiple se puede obtener mediante cirugía en enlaces enmarcados en la 3 -esfera. En el caso orientado, es convencional reducir este enlace enmarcado a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos.${\ Displaystyle S ^ {m}}$${\ Displaystyle S ^ {m}}$
• El teorema de H-cobordismo se demuestra simplificando las descomposiciones del mango de variedades suaves.

Ver también

• Mango Casson
• Teoría del Cobordismo
• Complejo CW
• Cuerpo
• Cálculo de Kirby
• Descomposición del colector

Referencias

Notas

Referencias generales

• A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Matemáticas puras y aplicadas, Academic Press (1992).
• Robert Gompf y Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus , (1999) (Volumen 20 en Estudios de posgrado en matemáticas ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN  0-8218-0994-6