Cohomología cristalina - Crystalline cohomology

En matemáticas, la cohomología cristalina es una teoría de cohomología de Weil para esquemas X sobre un campo base k . Sus valores H ⁿ ( X / W ) son módulos sobre el anillo W de los vectores de Witt sobre k . Fue introducido por Alexander Grothendieck  ( 1966 , 1968 ) y desarrollado por Pierre Berthelot  ( 1974 ).

La cohomología cristalina se inspira en parte en la demostración p -ádica de Dwork (1960) de parte de las conjeturas de Weil y está estrechamente relacionada con la versión algebraica de la cohomología de Rham que fue introducida por Grothendieck (1963). En términos generales, la cohomología cristalina de una variedad X en el carácter p es la cohomología de De Rham de una elevación suave de X al carácter 0, mientras que la cohomología de De Rham de X es la cohomología cristalina reducida mod p (después de tener en cuenta Tor s superiores ).

La idea de la cohomología cristalina, aproximadamente, es reemplazar los conjuntos abiertos de Zariski de un esquema por espesamientos infinitesimales de conjuntos abiertos de Zariski con estructuras de poder divididas . La motivación para esto es que luego se puede calcular tomando un levantamiento local de un esquema de la característica p a la característica 0 y empleando una versión apropiada de la cohomología algebraica de Rham.

La cohomología cristalina solo funciona bien para esquemas adecuados suaves. La cohomología rígida la extiende a esquemas más generales.

Aplicaciones

Para esquemas en la característica p , la teoría de la cohomología cristalina puede manejar preguntas sobre p- torsión en grupos de cohomología mejor que p -cohomología étale p- ádica . Esto lo convierte en un telón de fondo natural para gran parte del trabajo sobre funciones L p-ádicas .

La cohomología cristalina, desde el punto de vista de la teoría de números, llena un vacío en la información de la cohomología l-ádica , que ocurre exactamente donde hay "primos característicos iguales". Tradicionalmente reservada a la teoría de la ramificación , la cohomología cristalina convierte esta situación en la teoría del módulo de Dieudonné , dando un importante manejo de los problemas aritméticos. Jean-Marc Fontaine enunció conjeturas con un amplio alcance para convertir esto en enunciados formales , cuya resolución se denomina teoría p-ádica de Hodge .

Coeficientes

Para una variedad X sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0, los grupos de cohomología -ádicos para cualquier número primo distinto de p dan grupos de cohomología satisfactorios de X , con coeficientes en el anillo de enteros -ádicos . En general, no es posible encontrar grupos de cohomología similares con coeficientes en Q _p (o Z _p , o Q , o Z ) que tengan propiedades razonables. ${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {\ ell}}$${\ Displaystyle \ ell}$

La razón clásica (debida a Serre) es que si X es una curva elíptica supersingular , entonces su anillo de endomorfismo es un orden máximo en un álgebra de cuaterniones B sobre Q ramificado en py ∞. Si X tuviera un grupo de cohomología sobre Q _p de la dimensión esperada 2, entonces (el álgebra opuesta de) B actuaría sobre este espacio bidimensional sobre Q _p , lo cual es imposible ya que B está ramificado en p .

La teoría de la cohomología cristalina de Grothendieck evita esta obstrucción porque produce módulos sobre el anillo de vectores de Witt del campo terrestre . Entonces, si el campo de tierra es un cierre algebraico de F _p , sus valores son módulos sobre la terminación p -ádica de la extensión no ramificada máxima de Z _p , un anillo mucho más grande que contiene n- ésimas raíces de la unidad para todo n no divisible por p , en lugar de sobre Z _p .

Motivación

Una idea para definir una teoría de cohomología de Weil de una variedad X sobre un campo k de característica p es 'elevarla' a una variedad X * sobre el anillo de vectores de Witt de k (que devuelve X en el mod de reducción p ), luego tome la cohomología de De Rham de este ascensor. El problema es que no es del todo obvio que esta cohomología sea independiente de la elección del levantamiento.

La idea de cohomología cristalina en la característica 0 es encontrar una definición directa de una teoría de cohomología como la cohomología de haces constantes en un sitio adecuado .

Inf ( X )

sobre X , llamado el sitio infinitesimal y luego mostrar que es lo mismo que la cohomología de De Rham de cualquier elevación.

El sitio Inf ( X ) es una categoría cuyos objetos puede ser pensado como una especie de generalización de los conjuntos abiertos convencionales de X . En característica 0 sus objetos son engrosamientos infinitesimales T → T de Zariski abiertas subconjuntos U de X . Esto significa que U es el subesquema cerrado de un esquema T definido por un haz nilpotente de ideales en T ; por ejemplo, Spec ( k ) → Spec ( k [ x ] / ( x ² )).

Grothendieck demostró que para esquemas uniformes X sobre C , la cohomología de la gavilla O _X sobre Inf ( X ) es la misma que la cohomología de Rham habitual (suave o algebraica).

Cohomología cristalina

En la característica p, el análogo más obvio del sitio cristalino definido anteriormente en la característica 0 no funciona. La razón es aproximadamente que para probar la exactitud del complejo de Rham, se necesita algún tipo de lema de Poincaré , cuya prueba a su vez usa la integración, y la integración requiere varios poderes divididos, que existen en la característica 0 pero no siempre en la característica p . Grothendieck resolvió este problema definiendo los objetos del sitio cristalino de X como espesamientos aproximadamente infinitesimales de los subconjuntos abiertos de Zariski de X , junto con una estructura de poder dividida que da los poderes divididos necesarios.

Trabajaremos sobre el anillo W _n = W / p ⁿ W de vectores de Witt de longitud n sobre un campo perfecto k de característica p > 0. Por ejemplo, k podría ser el campo finito de orden p , y W _n es entonces el anillo Z / p ⁿ Z . (De manera más general, se puede trabajar sobre un esquema base S que tiene un conjunto fijo de ideales I con una estructura de poder dividida.) Si X es un esquema sobre k , entonces el sitio cristalino de X relativo a W _n , denotado Cris ( X / W _n ), tiene como objetos los pares U → T que consisten en una inmersión cerrada de un subconjunto abierto de Zariski U de X en algún W _n -esquema T definido por un haz de ideales J , junto con una estructura de poder dividida en J compatible con el de W _n .

La cohomología cristalina de un esquema X sobre k se define como el límite inverso

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}$

dónde

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (\ operatorname {Cris} (X / W_ {n}), O)}$

es la cohomología del sitio cristalino de X / W _n con valores en el haz de anillos O  : = O _{W n} .

Un punto clave de la teoría es que la cohomología cristalina de un esquema liso X sobre k menudo se puede calcular en términos de la algebraica de Rham cohomology de un adecuado y suave elevación de X a un esquema Z sobre W . Hay un isomorfismo canónico

${\ Displaystyle H ^ {i} (X / W) = H_ {DR} ^ {i} (Z / W) \ quad (= H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W} ^ {* }) = \ varprojlim H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W_ {n}} ^ {*}))}$

de la cohomología cristalina de X con la cohomología de De Rham de Z sobre el esquema formal de W (un límite inverso de la hipercohomología de los complejos de formas diferenciales). Por el contrario, la cohomología de De Rham de X puede recuperarse como el modelo de reducción p de su cohomología cristalina (después de tener en cuenta Tor s superiores ).

Cristales

Si X es un esquema sobre S, entonces la gavilla O _{X / S} está definida por O _{X / S} ( T ) = anillo de coordenadas de T , donde escribimos T como una abreviatura de un objeto U  →  T de Cris ( X / S ) .

Un cristal en el sitio Cris ( X / S ) es un haz F de módulos O _{X / S} que es rígido en el siguiente sentido:

para cualquier mapa f entre los objetos T , T ′ de Cris ( X / S ), el mapa natural de f ^* F ( T ) a F ( T ′) es un isomorfismo.

Esto es similar a la definición de un haz cuasicoherente de módulos en la topología de Zariski.

Un ejemplo de un cristal es la gavilla O _{X / S} .

El término cristal adjunto a la teoría, explicado en la carta de Grothendieck a Tate (1966), era una metáfora inspirada en ciertas propiedades de las ecuaciones diferenciales algebraicas . Éstos habían desempeñado un papel en las teorías de la cohomología p -ádica (precursoras de la teoría cristalina, introducida en diversas formas por Dwork , Monsky , Washnitzer, Lubkin y Katz ) particularmente en el trabajo de Dwork. Tales ecuaciones diferenciales se pueden formular con bastante facilidad por medio de las conexiones algebraicas de Koszul , pero en la teoría p -ádica el análogo de la continuación analítica es más misterioso (ya que los discos p -ádicos tienden a ser disjuntos en lugar de superponerse). Por decreto, un cristal tendría la 'rigidez' y la 'propagación' notables en el caso de la continuación analítica de funciones analíticas complejas. (Cf. también los rígidos espacios analíticos introducidos por John Tate , en la década de 1960, cuando estos asuntos se debatían activamente).

Ver también

• Cohomología motivacional
• Cohomología de De Rham

Referencias

• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p> 0 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 407, 407 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068636 , ISBN 978-3-540-06852-5, MR  0384804
• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978), Notas sobre cohomología cristalina , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9, MR  0491705
• Chambert-Loir, Antoine (1998), "Cohomologie cristalline: un survol" , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN  0723-0869 , MR  1654786 , archivado desde el original el 21 de julio de 2011
• Dwork, Bernard (1960), "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307 / 2372974 , ISSN  0002- 9327 , JSTOR  2.372.974 , MR  0140494
• Grothendieck, Alexander (1966), "Sobre la cohomología de De Rham de las variedades algebraicas" , Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007 / BF02684807 , ISSN  0073-8301 , MR  0199194 (carta a Atiyah, 14 de octubre de 1963)
• Grothendieck, A. (1966), Carta a J. Tate (PDF).
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• Illusie, Luc (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. Nº 456 , notas de clase en matemáticas,. 514 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 53-60, MR  0.444.668 , Archivado desde el original en 2012-02-10 , obtenidos 2007-09-20
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