Teoría de categorías superiores - Higher category theory

En matemáticas , la teoría de categorías superiores es parte de la teoría de categorías en un orden superior , lo que significa que algunas igualdades se reemplazan por flechas explícitas para poder estudiar explícitamente la estructura detrás de esas igualdades. La teoría de categorías superiores se aplica a menudo en la topología algebraica (especialmente en la teoría de la homotopía ), donde se estudian las invariantes algebraicas de los espacios , como su fundamental ∞-grupoide débil .

Categorías estrictas más altas

Una categoría ordinaria tiene objetos y morfismos , que se denominan 1-morfismos en el contexto de la teoría de categorías superiores. Una categoría 2 generaliza esto al incluir también morfismos 2 entre los morfismos 1. Continuando esto hasta n- morfismos entre ( n  - 1) -morfismos da una categoría n .

Así como la categoría conocida como Gato , que es la categoría de categorías pequeñas y functores es en realidad una categoría 2 con transformaciones naturales como sus 2 morfismos, la categoría n - Gato de (pequeñas) n- categorías es en realidad una ( n  + 1) -categoría.

Una categoría n se define por inducción en n por:

• Una categoría 0 es un conjunto ,
• Una categoría ( n  + 1) es una categoría enriquecida con respecto a la categoría n - Cat .

Entonces, una categoría 1 es solo una categoría ( localmente pequeña ).

La estructura monoidal de Set es la dada por el producto cartesiano como tensor y un singleton como unidad. De hecho, a cualquier categoría con productos finitos se le puede dar una estructura monoidal. La construcción recursiva de n - Cat funciona bien porque si una categoría C tiene productos finitos, la categoría de categorías C enriquecidas también tiene productos finitos.

Si bien este concepto es demasiado estricto para algunos propósitos, por ejemplo, en la teoría de la homotopía , donde las estructuras "débiles" surgen en forma de categorías superiores, también han surgido grupos estrictos de homotopía superior cúbicos que brindan una nueva base para la topología algebraica en el límite entre la homología y teoría de la homotopía ; consulte el artículo Topología algebraica nobeliana , al que se hace referencia en el libro a continuación.

Categorías débiles superiores

En categorías n débiles , las condiciones de asociatividad e identidad ya no son estrictas (es decir, no están dadas por igualdades), sino que se satisfacen hasta un isomorfismo del siguiente nivel. Un ejemplo en topología es la composición de caminos , donde las condiciones de identidad y asociación se mantienen solo hasta la reparametrización y, por lo tanto, hasta la homotopía , que es el isomorfismo 2 para esta categoría 2 . Estos n -isomorfismos deben comportarse bien entre hom-sets y expresar esto es la dificultad en la definición de n- categorías débiles . Las 2 categorías débiles , también llamadas bicategorías , fueron las primeras en definirse explícitamente. Una particularidad de estos es que una bicategoría con un objeto es exactamente una categoría monoidal , por lo que se puede decir que las bicategorías son "categorías monoidales con muchos objetos". Las 3 categorías débiles , también llamadas tricategorías , y las generalizaciones de nivel superior son cada vez más difíciles de definir explícitamente. Se han dado varias definiciones, y decir cuándo son equivalentes y en qué sentido se ha convertido en un nuevo objeto de estudio en la teoría de categorías.

Cuasi-categorías

Los complejos Kan débiles, o cuasi-categorías, son conjuntos simples que satisfacen una versión débil de la condición Kan. André Joyal demostró que son una buena base para la teoría de categorías superiores. Recientemente, en 2009, la teoría ha sido sistematizada aún más por Jacob Lurie, quien simplemente las llama categorías infinitas, aunque este último término también es un término genérico para todos los modelos de (infinito, k ) categorías para cualquier k .

Categorías sencillamente enriquecidas

Las categorías simplemente enriquecidas, o categorías simpliciales, son categorías enriquecidas sobre conjuntos simpliciales. Sin embargo, cuando los miramos como un modelo para categorías (infinito, 1) , entonces muchas nociones categóricas (por ejemplo, límites ) no concuerdan con las nociones correspondientes en el sentido de categorías enriquecidas. Lo mismo para otros modelos enriquecidos como categorías enriquecidas topológicamente.

Categorías enriquecidas topológicamente

Las categorías enriquecidas topológicamente (a veces llamadas simplemente categorías topológicas) son categorías enriquecidas sobre alguna categoría conveniente de espacios topológicos, por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff generados de forma compacta .

Categorías segales

Estos son modelos de categorías superiores introducidos por Hirschowitz y Simpson en 1998, inspirados en parte por los resultados de Graeme Segal en 1974.

Ver también

• Álgebra de dimensiones superiores
• Tonterías abstractas generales
• Categorización
• Coherencia (teoría de la homotopía)

Notas

Referencias

• Báez, John C .; Dolan, James (1998). "Categorización". arXiv : matemáticas / 9802029 .
• Leinster, Tom (2004). Operads superiores, categorías superiores . Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : matemáticas.CT / 0305049 . ISBN   0-521-53215-9 .
• Simpson, Carlos (2010). "Teoría de homotopía de categorías superiores". arXiv : 1001.4071 [ math.CT ]. Borrador de un libro. PDF alternativo con hipervínculos )

• Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior . Prensa de la Universidad de Princeton. arXiv : matemáticas.CT / 0608040 . ISBN   978-0-691-14048-3 . Como PDF .
• nLab , el proyecto de cuaderno wiki colectivo y abierto sobre teoría y aplicaciones de categoría superior en física, matemáticas y filosofía
• Joyal's Catlab , una wiki dedicada a exposiciones pulidas de matemáticas categóricas y de categorías superiores con pruebas
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011). Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoides homotópicos cúbicos . Tratados de Matemáticas. 15 . Sociedad Matemática Europea. ISBN   978-3-03719-083-8 .

enlaces externos

• Baez, John (24 de febrero de 1996). "Semana 73: cuento de n-categorías " .
• The n-Category Cafe : un blog grupal dedicado a la teoría de categorías superiores.
• Leinster, Tom (8 de marzo de 2010). "Una perspectiva sobre la teoría de categorías superiores" .