Cuasi-categoría - Quasi-category

En matemáticas, más específicamente la teoría de categorías , una quasicategory (también llamado quasicategory , débil Kan complejo , interior Kan complejo , categoría infinito , ∞-categoría , Boardman complejo , quategory ) es una generalización de la noción de una categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .

Boardman y Vogt (1973) introdujeron las cuasi-categorías . André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de las cuasi-categorías, mostrando que la mayoría de la teoría de categorías básica habitual y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para las cuasi-categorías. Jacob Lurie  ( 2009 ) ha expuesto un elaborado tratado de la teoría de las cuasi-categorías .

Las cuasi-categorías son ciertos conjuntos simpliciales . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-simples del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-simples). Pero a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no necesita definirse de forma única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (2-simplices considerados como "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también se pueden componer, pero de nuevo la composición está bien definida solo hasta morfismos invertibles de orden aún superior, etc.

La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de una categoría, debería haber un espacio de mapeo (en lugar de un conjunto de mapeo) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría enriquecida topológicamente . Sin embargo, el modelo de cuasi-categorías es más adecuado para aplicaciones que el de categorías enriquecidas topológicamente, aunque Lurie ha demostrado que los dos tienen estructuras de modelo natural que son equivalentes de Quillen .

Definición

Por definición, una cuasi-categoría C es un conjunto simple que satisface las condiciones internas de Kan (también llamada condición de Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, un mapa de conjuntos simples donde , tiene un relleno, es decir, una extensión de un mapear . (Consulte Kan fibration # Definition para obtener una definición de los conjuntos simpliciales y .) ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} [n] \ to C}$${\ Displaystyle 0 <k <n}$${\ Displaystyle \ Delta [n] \ to C}$${\ Displaystyle \ Delta [n]}$${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} [n]}$

La idea es que se supone que los 2-simples representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Un mapa representa un par componible. Así, en una cuasicategoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer mapas. ${\ Displaystyle \ Delta [2] \ to C}$${\ Displaystyle \ Lambda ^ {1} [2] \ to C}$

Una consecuencia de la definición es que es una fibración Kan trivial. En otras palabras, si bien la ley de composición no se define de forma única, es única hasta una opción contractible. ${\ Displaystyle C ^ {\ Delta [2]} \ to C ^ {\ Lambda ^ {1} [2]}}$

La categoría de homotopía

Dado un cuasi-categoría C, se puede asociar a la misma una categoría ordinaria HC, llamada la categoría de homotopía de C . La categoría de homotopía tiene como objetos los vértices de C. Los morfismos están dados por clases de homotopía de aristas entre vértices. La composición se da usando la condición de relleno de cuerno para n  = 2.

Para un conjunto simple general hay un funtor de sSet a Cat , conocido como el functor de categoría fundamental , y para una cuasi-categoría C, la categoría fundamental es la misma que la categoría de homotopía, es decir . ${\ Displaystyle \ tau _ {1}}$${\ Displaystyle \ tau _ {1} (C) = hC}$

Ejemplos de

• El nervio de una categoría es una cuasi-categoría con la propiedad adicional de que el relleno de cualquier cuerno interno es único. A la inversa, una cuasi-categoría tal que cualquier cuerno interno tenga un relleno único es isomórfica al nervio de alguna categoría. La categoría homotopy del nervio de C es isomorfo a C .
• Dado un espacio topológico X , se puede definir su conjunto singular S ( X ), también conocido como la fundamental ∞-groupoid de X . S ( X ) es una cuasi-categoría en la que todo morfismo es invertible. La categoría homotopy de S ( X ) es el groupoid fundamental de X .
• Más general que el ejemplo anterior, cada complejo de Kan es un ejemplo de una cuasicategoría. En un complejo Kan se pueden completar todos los mapas de todos los cuernos, no solo los internos, lo que nuevamente tiene la consecuencia de que todos los morfismos en un complejo Kan son invertibles. Los complejos Kan son, por tanto, análogos a los grupoides: el nervio de una categoría es un complejo Kan si la categoría es un grupoide.

Variantes

• Una categoría (∞, 1) es una categoría ∞ no necesariamente cuasi-categoría en la que todos los n- morfismos para n  > 1 son equivalencias. Hay varios modelos de categorías (∞, 1), que incluyen categoría Segal , categoría enriquecida en simplicidad , categoría topológica , espacio Segal completo . Una cuasi-categoría también es una (∞, 1) -categoría.

• Estructura del modelo Existe una estructura del modelo en sSet-categorías que presenta la categoría (∞, 1) (∞, 1) Cat.

• Extensión de homotopía Kan La noción de extensión de homotopía Kan y, por tanto, en particular, la de límite de homotopía y homotopía colimit tiene una formulación directa en términos de categorías enriquecidas con complejo Kan. Consulte la extensión de homotopy Kan para obtener más información.

• Presentación de la teoría (∞, 1) -topos Toda la teoría (∞, 1) -topos se puede modelar en términos de categorías de sSet. (ToënVezzosi). Existe una noción de sSet-site C que modela la noción de (∞, 1) -site y una estructura de modelo en preheaves enriquecidas con sSet en sSet-sites que es una presentación para la ∞-stack (∞, 1) -toposes en C.

Ver también

• Categoría de modelo
• Categoría de infinito estable
• ∞-grupoide
• Teoría de categorías superiores
• Conjunto globular

Referencias

• Boardman, JM; Vogt, RM (1973), Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos , Lecture Notes in Mathematics, 347 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068547 , ISBN 978-3-540-06479-4, MR  0420609
• Groth, Moritz, un curso corto sobre categorías infinitas (PDF)
• Joyal, André (2002), "Cuasi-categorías y complejos Kan", Journal of Pure and Applied Algebra , 175 (1): 207–222, doi : 10.1016 / S0022-4049 (02) 00135-4 , MR  1935979
• Joyal, André ; Tierney, Myles (2007), "Cuasi-categorías vs espacios Segal", Categorías en álgebra, geometría y física matemática , Contemp. Math., 431 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR  2342834
• Joyal, A. (2008), La teoría de las cuasi-categorías y sus aplicaciones, conferencias en CRM Barcelona (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011
• Joyal, A., Notas sobre cuasicategorías (PDF)
• Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, MR  2522659
• Entrada de Joyal's Catlab: La teoría de las cuasi-categorías
• cuasi-categoría en nLab
• categoría infinita en nLab
• categoría + fundamental en nLab
• Bergner, Julia E (2011). "Taller de teoría de la homotopía de las teorías de homotopía". arXiv : 1108.2001 [ math.AT ].
• (∞, 1) -categoría en nLab
• Hinich, Vladimir (19 de septiembre de 2017). "Conferencias sobre categorías infinitas". arXiv : 1709.06271 [ math.CT ].