Topología de Grothendieck - Grothendieck topology

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una topología de Grothendieck es una estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con una elección de topología de Grothendieck se denomina sitio .

Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de una cubierta abierta . Usando la noción de cobertura proporcionada por una topología de Grothendieck, es posible definir poleas en una categoría y su cohomología . Esto fue hecho por primera vez en geometría algebraica y teoría de números algebraica por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema . Se ha utilizado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica , la cohomología plana y la cohomología cristalina . Si bien las topologías de Grothendieck se utilizan con mayor frecuencia para definir teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate .

Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario , y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis exiguas y puntuales, a saber, la sobriedad , esto es completamente exacto: es posible recuperar un espacio sobrio de su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos pueden expresarse utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, existen topologías de Grothendieck que no proceden de espacios topológicos.

El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significaba lo que ahora se llama una pretopología de Grothendieck, y algunos autores todavía usan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para usar tamices en lugar de cubiertas. La mayoría de las veces esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías bastante diferentes pueden dar la misma topología.

Visión general

Las famosas conjeturas de André Weil proponían que ciertas propiedades de las ecuaciones con coeficientes integrales deberían entenderse como propiedades geométricas de la variedad algebraica que definen. Sus conjeturas postulaban que debería haber una teoría de cohomología de variedades algebraicas que proporcione información de la teoría de números sobre sus ecuaciones definitorias. Esta teoría de la cohomología se conocía como la "cohomología de Weil", pero utilizando las herramientas que tenía disponibles, Weil no pudo construirla.

A principios de la década de 1960, Alexander Grothendieck introdujo los mapas étale en la geometría algebraica como análogos algebraicos de los isomorfismos analíticos locales en la geometría analítica . Usó revestimientos de étale para definir un análogo algebraico del grupo fundamental de un espacio topológico. Pronto Jean-Pierre Serre advirtió que algunas propiedades de los revestimientos étale imitaban a las de las inmersiones abiertas y, en consecuencia, era posible realizar construcciones que imitaban el functor de cohomología H 1 . Grothendieck vio que sería posible utilizar la idea de Serre para definir una teoría de la cohomología que sospechaba que sería la cohomología de Weil. Para definir esta teoría de la cohomología, Grothendieck necesitaba reemplazar la noción topológica habitual de una cubierta abierta por una que usara cubiertas étale en su lugar. Grothendieck también vio cómo formular la definición de cobertura de manera abstracta; aquí es de donde proviene la definición de una topología de Grothendieck.

Definición

Motivación

La definición clásica de una gavilla comienza con un espacio topológico X . Un haz de información asociados a los conjuntos abiertos de X . Esta información se puede expresar de manera abstracta dejando O ( X ) ser la categoría cuyos objetos son los subconjuntos abiertos U de X y cuyos morfismos son la inclusión mapas VU de conjuntos abiertos U y V de X . A estos mapas los llamaremos inmersiones abiertas , al igual que en el contexto de los esquemas . Entonces, una gavilla en X es un functor contravariante de O ( X ) a la categoría de conjuntos, y una gavilla es una gavilla que satisface el axioma de pegado (aquí incluido el axioma de separación). El axioma de pegado se expresa en términos de cobertura puntual , es decir, cubre U si y solo si . En esta definición, es un subconjunto abierto de X . Las topologías de Grothendieck reemplazan cada una con una familia completa de subconjuntos abiertos; en este ejemplo, se reemplaza por la familia de todas las inmersiones abiertas . Tal colección se llama tamiz . El revestimiento puntiagudo se sustituye por la noción de una familia de revestimientos ; en el ejemplo anterior, el conjunto de todos como i varía es una familia cubierta de U . Tamices y familias que cubren pueden axiomatizada, y una vez hecho esto conjuntos abiertos y cubierta por puntos pueden ser reemplazados por otros conceptos que describen otras propiedades del espacio X .

Tamices

En una topología de Grothendieck, la noción de una colección de subconjuntos abiertos de U estable bajo inclusión se reemplaza por la noción de tamiz . Si c es cualquier objeto dado en C , un tamiz en c es un subfunctor del funtor Hom (-, c ); (esta es la incrustación de Yoneda aplicada a c ). En el caso de O ( X ), un tamiz S en un conjunto abierto U selecciona una colección de subconjuntos abiertos de U que es estable bajo inclusión. Más precisamente, considere que para cualquier subconjunto abierto V de U , S ( V ) será un subconjunto de Hom ( V , T ), que tiene sólo un elemento, la inmersión abierto VU . Entonces V será considerado "seleccionado" por S si y sólo si S ( V ) no está vacío. Si W es un subconjunto de V , entonces hay un morfismo S ( V ) → S ( W ) determinado por la composición con la inclusión WV . Si S ( V ) no está vacío, se deduce que S ( W ) tampoco está vacío.

Si S es un tamiz en X , y f : YX es un morfismo, la composición a continuación, dada por f da un tamiz en Y llama el retroceso de S a lo largo de f , denotada por f S . Se define como el producto fibroso S  × Hom (-, X )  Hom (-, Y ) junto con su incrustación natural en Hom (-, Y ). Más concretamente, para cada objeto Z de C , f S ( Z ) = { g : ZY | fg S ( Z )}, y f S hereda su acción sobre los morfismos al ser un subfunctor de Hom (-, Y ). En el ejemplo clásico, el retroceso de una colección { V i } de subconjuntos de U a lo largo de una inclusión WU es la colección { V i ∩W}.

Topología de Grothendieck

Una topología de Grothendieck J en una categoría C es una colección, para cada objeto c de C , de tamices distinguidos en c , denotados por J ( c ) y llamados tamices de cobertura de c . Esta selección estará sujeta a ciertos axiomas, que se indican a continuación. Continuando con el ejemplo anterior, un tamiz S en un conjunto abierto U en O ( X ) será un tamiz de cobertura si y solo si la unión de todos los conjuntos abiertos V para los cuales S ( V ) no está vacío es igual a U ; en otras palabras, si y solo si S nos da una colección de conjuntos abiertos que cubren a U en el sentido clásico.

Axiomas

Las condiciones que imponemos a una topología de Grothendieck son:

  • (T 1) (cambio de base) Si S es un tamiz cubierta sobre X , y f : YX es un morfismo, entonces el retroceso f S es un tamiz que cubre en Y .
  • (T2) (carácter local) Let S ser un tamiz que cubre el X , y permiten T ser cualquier tamiz de X . Supongamos que para cada objeto Y de C y cada flecha f : YX en S ( Y ), el retroceso tamiz f T es un tamiz que cubre en Y . Entonces T es un tamiz de recubrimiento en X .
  • (T 3) (Identidad) Hom (-, X ) es un tamiz que cubre en X para cualquier objeto X en C .

El cambio de base de axiomas corresponde a la idea de que si { T i } cubre T , entonces { T iV } deben cubrir UV . Los corresponde locales carácter axioma a la idea de que si { U i } cubre U y { V ij } j J i cubre U i para cada i , entonces la colección { V ij } para todo i y j deben cubrir U . Por último, el axioma de identidad corresponde a la idea de que cualquier conjunto está cubierto por todos sus posibles subconjuntos.

Pretopologías de Grothendieck

De hecho, es posible poner estos axiomas en otra forma donde su carácter geométrico sea más evidente, asumiendo que la categoría C subyacente contiene ciertos productos fibrosos. En este caso, en lugar de especificar tamices, podemos especificar que ciertas colecciones de mapas con un codominio común deben cubrir su codominio. Estas colecciones se denominan familias de cobertura . Si la colección de todas las familias de cobertura satisface ciertos axiomas, entonces decimos que forman una pretopología de Grothendieck . Estos axiomas son:

  • (PT 0) (Existencia de productos con fibras) Para todos los objetos X de C , y para todos los morfismos X 0X que aparecen en alguna familia de cobertura de X , y para todos los morfismos YX , el producto con fibras X 0  × X  Y existe.
  • (PT 1) (Estabilidad bajo cambio de base) Para todos los objetos X de C , todos los morfismos YX , y todas las familias de cobertura { X αX }, la familia { X α × X YY } es una familia de cobertura.
  • (PT 2) (Carácter local) Si { X αX } es una familia de recubrimiento, y si para todo α, { X βαX α } es una familia de recubrimiento, entonces la familia de compuestos { X βαX αX } es una familia de cobertura.
  • (PT 3) (Isomorfismos) Si f : YX es un isomorfismo, entonces { f } es una familia de cobertura.

Para cualquier pretopología, la colección de todos los tamices que contienen una familia de recubrimiento de la pretopología es siempre una topología de Grothendieck.

Para las categorías con productos con fibra, hay una inversa. Dada una colección de flechas { X alphaX }, construimos un tamiz S Al permitir que S ( Y ) el conjunto de todos los morfismos YX que el factor a través de algún flecha X alphaX . Esto se llama el tamiz generado por { X αX }. Ahora elija una topología. Digamos que { X αX } es una familia de cobertura si y solo si el tamiz que genera es un tamiz de cobertura para la topología dada. Es fácil comprobar que esto define una pretopología.

(PT 3) a veces se reemplaza por un axioma más débil:

  • (PT 3 ') (Identidad) Si 1 X  : XX es la flecha de identidad, entonces {1 X } es una familia de cobertura.

(PT 3) implica (PT 3 '), pero no al revés. Sin embargo, suponga que tenemos una colección de familias de cobertura que satisface (PT 0) a (PT 2) y (PT 3 '), pero no (PT 3). Estas familias generan una pretopología. La topología generada por la colección original de familias de recubrimiento es entonces la misma que la topología generada por la pretopología, porque el tamiz generado por un isomorfismo YX es Hom (-, X ). En consecuencia, si restringimos nuestra atención a las topologías, (PT 3) y (PT 3 ') son equivalentes.

Sitios y poleas

Deje que C sea una categoría y dejar que J sea una topología de Grothendieck en C . El par ( C , J ) se llama sitio .

Una gavilla previa en una categoría es un funtor contravariante de C a la categoría de todos los conjuntos. Tenga en cuenta que para esta definición, C no necesita tener una topología. Sin embargo, una gavilla en un sitio debe permitir el encolado, al igual que las gavillas en la topología clásica. Consecuentemente, definimos una gavilla en un sitio como una anteshecha F tal que para todos los objetos X y todos los tamices de cobertura S en X , el mapa natural Hom (Hom (-, X ), F ) → Hom ( S , F ), inducida por la inclusión de S en Hom (-, X ), es una biyección. A mitad de camino entre un prehaz y una gavilla es la noción de un prehaz separada , donde se requiere el mapa natural por encima ser sólo una inyección, no una biyección, para todos los tamices S . Un morfismo de prehechas o de gavillas es una transformación natural de los functores. La categoría de todas las poleas en C es el topos definido por el sitio ( C , J ).

Utilizando el lema de Yoneda , es posible mostrar que una gavilla en la categoría O ( X ) es una gavilla en la topología definida anteriormente si y solo si es una gavilla en el sentido clásico.

Las poleas en una pretopología tienen una descripción particularmente simple: Para cada familia de recubrimiento { X αX }, el diagrama

debe ser un ecualizador . Para una pregacha separada, la primera flecha solo necesita ser inyectiva.

De manera similar, se pueden definir premachas y haces de grupos abelianos , anillos , módulos , etc. Se puede requerir que una prehecha F sea ​​un funtor contravariante a la categoría de grupos abelianos (o anillos, o módulos, etc.), o que F sea ​​un objeto de grupo abeliano (anillo, módulo, etc.) en la categoría de todos. functores contravariantes de C a la categoría de conjuntos. Estas dos definiciones son equivalentes.

Ejemplos de sitios

Las topologías discretas e indiscretas

Sea C cualquier categoría. Para definir la topología discreta , declaramos que todos los tamices son tamices de cobertura. Si C tiene todos los productos con fibra, esto equivale a declarar que todas las familias son familias de cobertura. Para definir la topología indiscreta , también conocida como topología burda o caótica , declaramos que solo los tamices de la forma Hom (-, X ) son tamices de cobertura. La topología indiscreta es generada por la pretopología que solo tiene isomorfismos para cubrir familias. Una gavilla en el sitio indiscreto es lo mismo que una antesala.

La topología canónica

Sea C cualquier categoría. La incrustación Yoneda da una Hom funtor (-, X ) para cada objeto X de C . La topología canónica es la topología más grande (más fina), de modo que cada gavilla representable, es decir, la gavilla de la forma Hom (-, X ), es una gavilla. Se dice que un tamiz de cobertura o familia de cobertura para este sitio es estrictamente universalmente epimórfico porque consta de las patas de un cono colimit (debajo del diagrama completo en los dominios de sus morfismos constituyentes) y estos colimits son estables bajo retrocesos a lo largo de morfismos en C . Una topología que es menos fina que la topología canónica, es decir, para la cual todo tamiz de cobertura es estrictamente universalmente epimórfico, se llama subcanónica . Los sitios subcanónicos son exactamente los sitios para los que cada gavilla previa de la forma Hom (-, X ) es una gavilla. La mayoría de los sitios encontrados en la práctica son subcanónicos.

Pequeño sitio asociado a un espacio topológico

Repetimos el ejemplo con el que comenzamos arriba. Sea X un espacio topológico. Definimos O ( X ) como la categoría cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son inclusiones de conjuntos abiertos. Tenga en cuenta que para un conjunto abierto U y un tamiz S en U , el conjunto S ( V ) contiene ya sea elemento cero o uno para cada conjunto abierto V . Los tamices de recubrimiento de un objeto U de O ( X ) son los tamices S que cumplen la siguiente condición:

  • Si W es la unión de todos los conjuntos de V tal que S ( V ) no está vacío, entonces W = U .

Esta noción de cobertura coincide con la noción habitual en topología de conjuntos de puntos.

Esta topología también se puede expresar naturalmente como pretopología. Se dice que una familia de inclusiones { V α T } es una familia de cobertura si y sólo si la unión V α es igual a T . Este sitio se llama el pequeño sitio asociado a un espacio topológico X .

Gran sitio asociado a un espacio topológico

Sea Spc la categoría de todos los espacios topológicos. Dado cualquier familia de funciones { u α  : V αX }, se dice que se trata de una familia sobreyectiva o que los morfismos u α son conjuntamente sobreyectiva si u alfa ( V α ) es igual a X . Definimos una pretopología en Spc tomando las familias de cobertura como familias sobreyectivas cuyos miembros son inmersiones abiertas. Sea S un tamiz en Spc . S es un tamiz de cobertura para esta topología si y solo si:

  • Para todo Y y cada morfismo f  : YX en S ( Y ), existe un V y un g  : VX tal que g es una inmersión abierta, g está en S ( V ) y f factores a través de g .
  • Si W es la unión de todos los conjuntos de f ( Y ), donde f  : YX está en S ( Y ), entonces W = X .

Fijar un espacio topológico X . Tenga en cuenta la categoría de coma SPC / X de espacios topológicos con un mapa fijo continuo a X . La topología en el soldado induce una topología de SPC / X . Los tamices de cobertura y las familias de cobertura son casi exactamente iguales; la única diferencia es que ahora todos los mapas conmutan involucrado con los mapas fijos a X . Este es el sitio grande asociado a un espacio topológico X . Observe que Spc es el gran sitio asociado al espacio de un punto. Este sitio fue considerado por primera vez por Jean Giraud .

Los sitios grandes y pequeños de una variedad

Sea M una variedad . M tiene una categoría de conjuntos abiertos O ( M ) porque es un espacio topológico y obtiene una topología como en el ejemplo anterior. Para dos conjuntos abiertos U y V de M , el producto de fibra U × M V es el conjunto abierto UV , que todavía está en O ( M ). Esto significa que la topología en O ( M ) está definida por una pretopología, la misma pretopología que antes.

Sea Mfd la categoría de todas las variedades y mapas continuos. (O variedades suaves y mapas suaves, o variedades analíticas reales y mapas analíticos, etc.) Mfd es una subcategoría de Spc , y las inmersiones abiertas son continuas (o suaves, o analíticas, etc.), por lo que Mfd hereda una topología de Spc . Esto nos permite construir el sitio grande del colector M como el sitio MFD / M . También podemos definir esta topología usando la misma pretopología que usamos anteriormente. Tenga en cuenta que para satisfacer (PT 0), tenemos que comprobar que para cualquier mapa continuo de colectores XY y cualquier subconjunto abierto U de Y , el producto Fibered U × Y X está en MFD / M . Esta es solo la afirmación de que la preimagen de un conjunto abierto está abierta. Sin embargo, observe que no todos los productos con fibra existen en Mfd porque la preimagen de un mapa uniforme con un valor crítico no tiene por qué ser una variedad.

Topologías en la categoría de esquemas

La categoría de esquemas , denominada Sch , tiene una gran cantidad de topologías útiles. Una comprensión completa de algunas preguntas puede requerir examinar un esquema utilizando varias topologías diferentes. Todas estas topologías tienen sitios grandes y pequeños asociados. El gran sitio se forma tomando toda la categoría de esquemas y sus morfismos, junto con los tamices de cobertura especificados por la topología. El sitio pequeño sobre un esquema dado se forma tomando solo los objetos y morfismos que son parte de una portada del esquema dado.

El más elemental de ellos es la topología de Zariski . Sea X un esquema. X tiene un espacio topológico subyacente, y este espacio topológico determina una topología de Grothendieck. La topología de Zariski en Sch es generada por la pretopología cuyas familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de inmersiones abiertas de teoría de esquemas. Los tamices de recubrimiento S para Zar se caracterizan por las dos propiedades siguientes:

  • Para todo Y y cada morfismo f  : YX en S ( Y ), existe un V y un g  : VX tal que g es una inmersión abierta, g está en S ( V ) y f factores a través de g .
  • Si W es la unión de todos los conjuntos de f ( Y ), donde f  : YX está en S ( Y ), entonces W = X .

A pesar de sus similitudes externas, la topología en Zar no es la restricción de la topología en Spc . Esto se debe a que hay morfismos de esquemas que son inmersiones topológicamente abiertas pero que no son inmersiones abiertas de teoría de esquemas. Por ejemplo, sea A un anillo no reducido y sea N su ideal de nilpotentes. El mapa de cociente AA / N induce un mapa Spec A / N → Spec A , que es la identidad en los espacios topológicos subyacentes. Para ser una inmersión abierta de teoría de esquemas, también debe inducir un isomorfismo en las poleas de estructura, lo que este mapa no hace. De hecho, este mapa es una inmersión cerrada.

La topología étale es más fina que la topología Zariski. Fue la primera topología de Grothendieck que se estudió de cerca. Sus familias de cobertura son familias sobreyectivas conjuntas de morfismos étale. Es más fina que la topología de Nisnevich, pero ni más fina ni más tosca que las topologías cdh y l ′.

Hay dos topologías planas , la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano, de presentación finita y cuasi-finito. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura en subconjuntos abiertos de Zariski. En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi compacto es una tapadera. Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia . La topología fpqc es más fina que todas las topologías mencionadas anteriormente y está muy cerca de la topología canónica.

Grothendieck introdujo la cohomología cristalina para estudiar la parte p- torsión de la cohomología de las variedades p características . En la topología cristalina , que es la base de esta teoría, la categoría subyacente tiene objetos dados por espesamientos infinitesimales junto con estructuras de poder divididas . Los sitios cristalinos son ejemplos de sitios sin un objeto final.

Functores continuos y cocontinuos

Hay dos tipos naturales de functores entre sitios. Están dadas por functores que son compatibles con la topología en cierto sentido.

Functores continuos

Si ( C , J ) y ( D , K ) son sitios y u  : CD es un funtor, entonces u es continuo si para cada haz F en D con respecto a la topología K , el presheaf Fu es un haz con respecto a a la topología J . Los functores continuos inducen a los functores entre los correspondientes topoi enviando un haz F a Fu . Estos functores se denominan pushforwards . Si y denotan los topoi asociados a C y D , entonces el funtor de empuje hacia adelante es .

u s admite un adjunto izquierdo u s del llamado el retroceso . No es necesario que conservemos límites, ni siquiera límites finitos.

De la misma manera, u envía un tamiz sobre un objeto X de C a un tamiz en el objeto uX de D . Un functor continuo envía los tamices de cobertura a los tamices de cobertura. Si J es la topología definida por una pretopología, y si u conmuta con productos fibrados, entonces u es continuo si y solo si envía tamices de cobertura a tamices de cobertura y si y solo si envía familias de cobertura a familias de cobertura. En general, es no suficiente para u para enviar cubriendo tamices a cubrir tamices (ver SGA IV 3, Exemple 1.9.3).

Functores cocontinuos

De nuevo, sean ( C , J ) y ( D , K ) sitios y v  : CD un funtor. Si X es un objeto de C y R es un tamiz en vX , entonces R se puede volver a colocar en un tamiz S de la siguiente manera: Un morfismo f  : ZX está en S si y solo si v ( f ): vZvX está en R . Esto define un tamiz. v es cocontinuous si y sólo si para cada objeto X de C y cada cubriendo tamiz R de vX , la retirada S de R es un tamiz de recubrimiento en X .

La composición con v envía una presheaf F en D a una presheaf Fv en C , pero si v es cocontinuo, esto no necesita enviar roldanas a las roldanas. Sin embargo, este funtor en categorías de pregajo, normalmente denotado , admite un adjunto derecho . Entonces v es cocontinuo si y solo si envía gavillas a gavillas, es decir, si y solo si se restringe a un funtor . En este caso, el compuesto de con el functor de gavilla asociado es un adjunto a la izquierda de v * denotado v * . Además, v * conservas finitos límites, por lo que los funtores adjuntos v * y v * determinan un morfismo geométrico de topoi .

Morfismos de sitios

Un funtor continuo u  : CD es un morfismo de los sitios DC ( no CD ) si u s conserva límites finitos. En este caso, u s e u s determinar un morfismo geométrica de tópicos . El razonamiento detrás de la convención de que se dice que un funtor continuo CD determina un morfismo de sitios en la dirección opuesta es que esto concuerda con la intuición que proviene del caso de los espacios topológicos. Un mapa continuo de espacios topológicos XY determina un functor continuo O ( Y ) → O ( X ). Dado que se dice que el mapa original de espacios topológicos envía X a Y , también se dice que el morfismo de los sitios.

Un caso particular de esto ocurre cuando un funtor continuo admite un adjunto izquierdo. Suponga que u  : CD y v  : DC son functores con u adyacente a la derecha de v . Entonces u es continuo si y solo si v es cocontinuo, y cuando esto sucede, u s es naturalmente isomorfo a v * y u s es naturalmente isomorfo a v * . En particular, u es un morfismo de sitios.

Ver también

Notas

Referencias

  • Artin, Michael (1962). Topologías de Grothendieck . Cambridge, MA: Universidad de Harvard, Departamento de Matemáticas. Zbl  0208.48701 .
  • Demazure, Michel ; Grothendieck, Alexandre , eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 . Apuntes de clases de matemáticas (en francés). 151 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. xv + 564. Zbl  0212.52810 .
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enlaces externos