Čech cohomology - Čech cohomology

Un triángulo de Penrose representa un elemento no trivial de la primera cohomología de un anillo con valores en el grupo de distancias desde el observador.

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la cohomología de Čech es una teoría de cohomología basada en las propiedades de intersección de las cubiertas abiertas de un espacio topológico . Lleva el nombre del matemático Eduard Čech .

Motivación

Deje X un espacio topológico, y dejar que sea una cubierta abierta de X . Dejar que denotan el nervio de la cubierta. La idea de Čech cohomology es que, para una cubierta abierta que consiste en suficientemente pequeños conjuntos abiertos, el complejo simplicial resultante debe ser un buen modelo combinatoria para el espacio X . Para tal cobertura, la cohomología Čech de X se define como la cohomología simplicial del nervio. Esta idea se puede formalizar con la noción de una buena portada . Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todas las posibles cubiertas abiertas de X , ordenadas por refinamiento . Este es el enfoque adoptado a continuación. ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$

Construcción

Deje X ser un espacio topológico , y dejar que sea un prehaz de grupos abelianos en X . Dejar que sea una cubierta abierta de X . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Simplex

Un q - simplex σ de es una colección ordenada de q +1 conjuntos elegidos , de modo que la intersección de todos estos conjuntos no es vacía. Esta intersección se denomina soporte de σ y se denota | σ |. ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Ahora sea ​​un q -simplex. El j-ésimo límite parcial de σ se define como el ( q −1) -simplex obtenido al eliminar el j -ésimo conjunto de σ, es decir: ${\ Displaystyle \ sigma = (U_ {i}) _ {i \ in \ {0, \ ldots, q \}}}$

${\ Displaystyle \ parcial _ {j} \ sigma: = (U_ {i}) _ {i \ in \ {0, \ ldots, q \} \ setminus \ {j \}}.}$

El límite de σ se define como la suma alterna de los límites parciales:

${\ estilo de visualización \ parcial \ sigma: = \ suma _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j + 1} \ parcial _ {j} \ sigma}$

visto como un elemento del grupo abeliano libre abarcado por los simples de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Cochain

Una q - cocadena de con coeficientes en es un mapa que asocia con cada q -simplex σ un elemento de y denotamos el conjunto de todas las q -cocadenas de con coeficientes en por . es un grupo abeliano por adición puntual. ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Diferencial

Los grupos cocadena se pueden convertir en un complejo cocadena definiendo el operador co-límite mediante: ${\ Displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {q}: C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ to C ^ {q + 1} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

${\ Displaystyle \ quad (\ delta _ {q} f) (\ sigma): = \ sum _ {j = 0} ^ {q + 1} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ parcial _ {j} \ sigma |} f (\ parcial _ {j} \ sigma),}$

donde es el morfismo de restricción de a (Observe que ∂ _j σ ⊆ σ, pero | σ | ⊆ | ∂ _j σ |.) ${\ Displaystyle \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ parcial _ {j} \ sigma |}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ parcial _ {j} \ sigma |)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |).}$

Un cálculo muestra que ${\ Displaystyle \ delta _ {q + 1} \ circ \ delta _ {q} = 0.}$

El operador co-límite es análogo a la derivada exterior de la cohomología de De Rham , por lo que a veces se le llama diferencial del complejo cocadena .

Ciclo

Una q -cochain se llama q -ciclo si está en el núcleo de , por lo tanto, es el conjunto de todos los q -ciclos. ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ ker (\ delta _ {q}) \ subseteq C ^ {q} ({\ mathcal {U }}, {\ mathcal {F}})}$

Por lo tanto, una ( q −1) -cochain es un ciclo si para todos los q -simplices la condición del ciclo ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ parcial _ {j} \ sigma |} f ( \ parcial _ {j} \ sigma) = 0}$

sostiene.

Un ciclo 0 es una colección de secciones locales para satisfacer una relación de compatibilidad en cada intersección ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle f (A) | _ {A \ cap B} = f (B) | _ {A \ cap B}}$

Un ciclo de 1 satisface para cada no vacío con ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle U = A \ cap B \ cap C}$${\ Displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle f (B \ cap C) | _ {U} -f (A \ cap C) | _ {U} + f (A \ cap B) | _ {U} = 0}$

Coborde

Una cadena q se llama un límite q si está en la imagen de y es el conjunto de todos los límites q . ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ mathrm {Im} (\ delta _ {q-1}) \ subseteq C ^ {q} ( {\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Por ejemplo, una 1-cocadena es una 1-co-frontera si existe una 0-cocadena tal que para cada intersección ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle f (A \ cap B) = h (A) | _ {A \ cap B} -h (B) | _ {A \ cap B}}$

Cohomología

La cohomología Čech de con valores en se define como la cohomología del complejo cochain . Así, la cohomología q- th Čech está dada por ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$

${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = H ^ {q} ((C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)) = Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) / B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$ .

La cohomología Čech de X se define considerando los refinamientos de las cubiertas abiertas. Si es un refinamiento de entonces hay un mapa en cohomología. Las cubiertas abiertas de X forman un conjunto dirigido bajo refinamiento, por lo que el mapa anterior conduce a un sistema directo de grupos abelianos. La cohomología Čech de X con valores en se define como el límite directo de este sistema. ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ to {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {V }}, {\ mathcal {F}}).}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}}): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ({\ mathcal {U}}, { \ mathcal {F}})}$

El cohomology Čech de X con coeficientes en un grupo abeliano fijo A , denotado , se define como donde es la gavilla constante en X determinada por A . ${\ Displaystyle {\ check {H}} (X; A)}$${\ Displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}} _ {A})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {A}}$

Una variante de la cohomología Čech, llamada cohomología Čech numerable , se define como anteriormente, excepto que todas las cubiertas abiertas consideradas deben ser numerables : es decir, hay una partición de unidad {ρ _i } tal que cada soporte está contenido en algún elemento de la portada. Si X es paracompacto y Hausdorff , entonces la cohomología Čech numerable concuerda con la cohomología Čech habitual. ${\ Displaystyle \ {x \ mid \ rho _ {i} (x)> 0 \}}$

Relación con otras teorías de cohomología

Si X es homotopía equivalente a un complejo CW , entonces la cohomología Čech es naturalmente isomórfica a la cohomología singular . Si X es una variedad diferenciable , entonces también es naturalmente isomorfo a la cohomología de De Rham ; el artículo sobre la cohomología de De Rham ofrece una breve revisión de este isomorfismo. Para los espacios con menos comportamiento, la cohomología Čech difiere de la cohomología singular. Por ejemplo, si X es la curva sinusoidal del topólogo cerrado , entonces, mientras que ${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; A)}$ ${\ Displaystyle H ^ {*} (X; A) \,}$${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z},}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Si X es una variedad diferenciable y la cobertura de X es una "buena cobertura" ( es decir, todos los conjuntos U _α son contraíbles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en están vacías o contraíbles hasta un punto), entonces es isomorfo a la cohomología de De Rham. ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}; \ mathbb {R})}$

Si X es compacto de Hausdorff, entonces la cohomología de Čech (con coeficientes en un grupo discreto) es isomorfa a la cohomología de Alexander-Spanier .

En geometría algebraica

La cohomología Čech se puede definir de manera más general para objetos en un sitio C dotado de una topología. Esto se aplica, por ejemplo, para el sitio o el sitio de Zariski etale de un esquema de X . La cohomología Čech con valores en alguna gavilla F se define como

${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}} ,F).}$

donde el colimit corre sobre todos los revestimientos (con respecto a la topología elegida) de X . Aquí se define como arriba, excepto que las intersecciones r- pliegues de subconjuntos abiertos dentro del espacio topológico ambiental son reemplazadas por el producto de fibra r- pliegue ${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {\ times _ {X} ^ {r}}: = {\ mathcal {U}} \ times _ {X} \ dots \ times _ {X} {\ mathcal { U}}.}$

Como en la situación clásica de los espacios topológicos, siempre hay un mapa

${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F) \ rightarrow H ^ {n} (X, F)}$

de la cohomología Čech a la cohomología de gavillas . Siempre es un isomorfismo en grados n = 0 y 1, pero puede fallar en general. Para la topología de Zariski en un esquema separado de Noetherian , Čech y la cohomología de gavilla concuerdan para cualquier gavilla cuasi coherente . Para la topología de étale , las dos cohomologías concuerdan para cualquier gavilla de étale en X , siempre que cualquier conjunto finito de puntos de X esté contenido en algún subesquema afín abierto. Esto se cumple, por ejemplo, si X es cuasi proyectivo sobre un esquema afín .

La posible diferencia entre la cohomología de Cech y la cohomología de gavilla es una motivación para el uso de hiperrevestimientos : estos son objetos más generales que el nervio de Cech.

${\ Displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}: \ puntos \ a {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U }} \ to {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ to {\ mathcal {U}}.}$

Un hipercubrimiento K _∗ de X es un objeto simple en C , es decir, una colección de objetos K _n junto con mapas de límites y degeneración. Al aplicar una gavilla F a K _{∗ se} obtiene un grupo abeliano simplicial F ( K _∗ ) cuyo n -ésimo grupo de cohomología se denota H ⁿ ( F ( K _∗ )). (Este grupo es el mismo que en el caso de que K sea igual ). Entonces, se puede demostrar que hay un isomorfismo canónico ${\ Displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ Displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}}$

${\ Displaystyle H ^ {n} (X, F) = \ varinjlim _ {K _ {*}} H ^ {n} (F (K _ {*})),}$

donde el colimit ahora pasa por todos los hipercortes.

Ejemplos de

Por ejemplo, podemos calcular la cohomología de gavilla coherente de en la línea proyectiva utilizando el complejo Čech. Usando la cubierta ${\ Displaystyle \ Omega ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {1} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [y]), U_ {2} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [y ^ {- 1}]) \}}$

tenemos los siguientes módulos de la gavilla cotangente

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ Omega ^ {1} (U_ {1}) = \ mathbb {C} [y] dy \\ & \ Omega ^ {1} (U_ {2}) = \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} \ end {alineado}}}$

Si tomamos las convenciones , obtenemos el complejo Čech ${\ Displaystyle dy ^ {- 1} = - (1 / y ^ {2}) dy}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {C} [y] dy \ oplus \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} {\ xrightarrow {d ^ {0}} } \ mathbb {C} \ left [y, y ^ {- 1} \ right] dy \ to 0}$

Dado que es inyectivo y el único elemento que no está en la imagen es que obtenemos que ${\ displaystyle d ^ {0}}$${\ displaystyle d ^ {0}}$${\ Displaystyle y ^ {- 1} dy}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & H ^ {1} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong \ mathbb {C} \\ & H ^ {k} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong 0 {\ text {para}} k \ neq 1 \ end {alineado}} }$

Referencias

Notas al pie de la cita

Referencias generales

• Bott, Raoul ; Loring Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN   0-387-90613-4 .
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   0-521-79540-0 .
• Wells, Raymond (1980). Análisis diferencial en colectores complejos . Springer-Verlag. ISBN   0-387-90419-0 . ISBN   3-540-90419-0 . Capítulo 2 Apéndice A