Regla de poder - Power rule

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definitions Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Poder Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno Reynolds
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Poder Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
Diverso Precálculo Historia Glosario Lista de temas Abeja de integración Análisis
v t mi

En cálculo , la regla de la potencia se usa para diferenciar funciones de la forma , siempre que sea ​​un número real. Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también se pueden diferenciar usando esta regla. La regla de la potencia subyace a la serie de Taylor, ya que relaciona una serie de potencias con las derivadas de una función . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$

Declaración de la regla del poder

Sea una función satisfactoria para todos , con . Luego, ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1} \ ,.}$

La regla del poder para la integración establece que

${\ Displaystyle \ int \! x ^ {r} \, dx = {\ frac {x ^ {r + 1}} {r + 1}} + C}$

para cualquier número real . Se puede derivar invirtiendo la regla de la potencia para la diferenciación. ${\ Displaystyle r \ neq -1}$

Pruebas

Prueba de exponentes reales

Para empezar, debemos elegir una definición de trabajo del valor de , donde es cualquier número real. Si bien es factible definir el valor como el límite de una secuencia de poderes racionales que se acercan al poder irracional cada vez que nos encontramos con tal poder, o como el límite superior mínimo de un conjunto de poderes racionales menores que el poder dado, este tipo de la definición no es susceptible de diferenciación. Por lo tanto, es preferible utilizar una definición funcional, que generalmente se considera para todos los valores de , donde es la función exponencial natural y es el número de Euler . Primero, podemos demostrar que la derivada de es . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle x ^ {r} = \ exp (r \ ln x) = e ^ {r \ ln x}}$${\ Displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle \ exp}$${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle f '(x) = e ^ {x}}$

Si , entonces , donde es la función logaritmo natural , la función inversa de la función exponencial, como lo demostró Euler. Dado que las dos últimas funciones son iguales para todos los valores de , sus derivadas también son iguales, siempre que exista cualquiera de las derivadas, por lo que tenemos, por la regla de la cadena , ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle \ ln (f (x)) = x}$${\ Displaystyle \ ln}$${\ Displaystyle x> 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {f (x)}} \ cdot f '(x) = 1}$

o , según se requiera. Por lo tanto, aplicando la regla de la cadena a , vemos que ${\ Displaystyle f '(x) = f (x) = e ^ {x}}$${\ Displaystyle f (x) = e ^ {r \ ln x}}$

${\ Displaystyle f '(x) = {\ frac {r} {x}} e ^ {r \ ln x} = {\ frac {r} {x}} x ^ {r}}$

que se simplifica a . ${\ displaystyle rx ^ {r-1}}$

Cuándo , podemos usar la misma definición con , donde ahora tenemos . Esto conduce necesariamente al mismo resultado. Tenga en cuenta que debido a que no tiene una definición convencional cuando no es un número racional, las funciones de potencia irracionales no están bien definidas para bases negativas. Además, como las potencias racionales de -1 con denominadores pares (en términos más bajos) no son números reales, estas expresiones solo tienen valor real para potencias racionales con denominadores impares (en términos más bajos). ${\ Displaystyle x <0}$${\ Displaystyle x ^ {r} = ((- 1) (- x)) ^ {r} = (- 1) ^ {r} (- x) ^ {r}}$${\ Displaystyle -x> 0}$${\ displaystyle (-1) ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$

Finalmente, siempre que la función sea diferenciable en , el límite de definición de la derivada es: ${\ Displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {h ^ {r} -0 ^ {r}} {h}}}$

que produce 0 solo cuando es un número racional con denominador impar (en términos más bajos) y , y 1 cuando r = 1. Para todos los demás valores de r, la expresión no está bien definida para , como se explicó anteriormente, o no es un número real, por lo que el límite no existe como una derivada con valor real. Para los dos casos que existen, los valores concuerdan con el valor de la regla de potencia existente en 0, por lo que no es necesario hacer ninguna excepción. ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r> 1}$${\ Displaystyle h ^ {r}}$${\ Displaystyle h <0}$

La exclusión de la expresión${\ Displaystyle 0 ^ {0}}$ (el caso x = 0) de nuestro esquema de exponenciación se debe al hecho de que la función no tiene límite en (0,0), ya que se acerca a 1 cuando x se acerca a 0, mientras que se acerca a 0 cuando y se acerca a 0 Por lo tanto, sería problemático atribuirle un valor particular, ya que el valor contradeciría uno de los dos casos, dependiendo de la aplicación. Tradicionalmente se deja sin definir. ${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {y}}$${\ Displaystyle x ^ {0}}$${\ Displaystyle 0 ^ {y}}$

Pruebas de exponentes enteros distintos de cero

Prueba por inducción (enteros positivos)

Sea n un número entero positivo. Se requiere demostrar que${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Cuando , Por lo tanto, el caso base es válido. ${\ Displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {1} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) -x} {h}} = 1 = 1x ^ { 1-1}.}$

Suponga que el enunciado se cumple para algún entero positivo k , es decir${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = kx ^ {k-1}.}$

cuando ,${\ Displaystyle n = k + 1}$${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k + 1} = {\ frac {d} {dx}} (x ^ {k} \ cdot x) = x ^ {k} \ cdot { \ frac {d} {dx}} x + x \ cdot {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = x ^ {k} + x \ cdot kx ^ {k-1} = x ^ { k} + kx ^ {k} = (k + 1) x ^ {k} = (k + 1) x ^ {(k + 1) -1}}$

Por el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos n .

Demostración por el teorema del binomio (enteros positivos)

Deja , donde${\ Displaystyle y = x ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Luego ${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}}}$ ${\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ left [x ^ {n} + {\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} h + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2} h ^ {2} + ... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n} -x ^ {n} \ right ]}$

${\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} \ left [{\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2 } h + ... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n-1} \ right]}$

${\ Displaystyle = nx ^ {n-1}}$

Generalización a exponentes enteros negativos

Para un número entero negativo n , sea de modo que m sea ​​un número entero positivo. Usando la regla recíproca ,${\ Displaystyle n = -m}$${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {m}}} \ right) = {\ frac {- {\ frac {d} {dx}} x ^ {m}} {(x ^ {m}) ^ {2}}} = - {\ frac {mx ^ {m-1}} { x ^ {2m}}} = - mx ^ {- m-1} = nx ^ {n-1}.}$

En conclusión, para cualquier número entero distinto de cero ,${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Generalización a exponentes racionales

Al probar que la regla de la potencia es válida para exponentes enteros, la regla se puede extender a exponentes racionales.

Generalización caso por caso

1. Vamos , donde${\ Displaystyle y = x ^ {\ frac {1} {n}} = x ^ {m}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Luego ${\ Displaystyle y ^ {n} = x}$

Por la regla de la cadena , obtenemos${\ Displaystyle ny ^ {n-1} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = 1}$

Por lo tanto, ${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {ny ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n \ left (x ^ {\ frac {1}) {n}} \ right) ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n}} x ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} = mx ^ {m-1} }$

2. Vamos , donde , para que${\ Displaystyle y = x ^ {\ frac {n} {m}} = x ^ {p}}$${\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Por la regla de la cadena ,${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n} = n \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n-1} \ cdot {\ frac {1} {m}} x ^ {{\ frac {1} {m}} - 1} = {\ frac {n} {m}} x ^ {{\ frac {n} {m}} - 1} = px ^ {p-1}}$

3. Vamos , donde y${\ Displaystyle y = x ^ {q}}$${\ Displaystyle q = -p}$${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Al usar la regla de la cadena y la regla recíproca , tenemos${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p} = p \ left ({ \ frac {1} {x}} \ right) ^ {p-1} \ cdot \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = - px ^ {- p-1 } = qx ^ {q-1}}$

De los resultados anteriores, podemos concluir que cuando r es un número racional ,${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}.}$

Prueba por diferenciación implícita

Una generalización más sencilla de la regla de la potencia a exponentes racionales hace uso de la diferenciación implícita.

Vamos , donde para eso . ${\ Displaystyle y = x ^ {r} = x ^ {p / q}}$${\ Displaystyle p, q \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle r \ in \ mathbb {Q}}$

Luego,

${\ Displaystyle y ^ {q} = x ^ {p}}$

${\ Displaystyle qy ^ {q-1} {\ frac {dy} {dx}} = px ^ {p-1}}$

Resolviendo para , ${\ Displaystyle dy / dx}$

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qy ^ {q-1}}}.}$

Puesto que , ${\ Displaystyle y = x ^ {p / q}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qx ^ {pp / q}}}.}$

Aplicando leyes de exponentes,

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {p} {q}} x ^ {p-1} x ^ {- p + p / q} = { \ frac {p} {q}} x ^ {p / q-1}.}$

Así, dejando , podemos concluir que cuando es un número racional. ${\ Displaystyle r = p / q}$${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}}$${\ Displaystyle r}$

Historia

La regla de poder para integrales fue demostrada por primera vez en forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para todos los valores enteros positivos de , y durante mediados del siglo XVII para todos los poderes racionales por los matemáticos Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , Gilles. de Roberval , John Wallis y Blaise Pascal , cada uno trabajando de forma independiente. En ese momento, eran tratados sobre la determinación del área entre la gráfica de una función de potencia racional y el eje horizontal. Sin embargo, en retrospectiva, se considera el primer teorema general de cálculo que se descubre. La regla de potencia para la diferenciación fue derivada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz , cada uno independientemente, para funciones de potencia racionales a mediados del siglo XVII, quienes luego la usaron para derivar la regla de potencia para integrales como la operación inversa. Esto refleja la forma convencional en que los teoremas relacionados se presentan en los libros de texto modernos de cálculo básico, donde las reglas de diferenciación generalmente preceden a las reglas de integración. ${\ Displaystyle {\ Displaystyle n}}$

Aunque ambos afirmaron que sus reglas, demostradas solo para cantidades racionales, funcionaban para todos los poderes reales, ninguno buscó una prueba de ello, ya que en ese momento las aplicaciones de la teoría no se referían a funciones de poder tan exóticas y cuestiones de convergencia de poderes. las series infinitas seguían siendo ambiguas.

El caso único de fue resuelto por el jesuita y matemático flamenco Grégoire de Saint-Vincent y su alumno Alphonse Antonio de Sarasa a mediados del siglo XVII, quienes demostraron que la integral definida asociada, ${\ Displaystyle r = -1}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} \, dt}$

que representaba el área entre la hipérbola rectangular y el eje x, era una función logarítmica, cuya base finalmente se descubrió que era el número trascendental e . La notación moderna para el valor de esta integral definida es , el logaritmo natural. ${\ Displaystyle xy = 1}$${\ Displaystyle \ ln (x)}$

Generalizaciones

Funciones de potencia complejas

Si consideramos funciones de la forma donde es cualquier número complejo y es un número complejo en un plano complejo de rendija que excluye el punto de ramificación de 0 y cualquier corte de ramificación conectado a él, y usamos la definición multivalor convencional , entonces es sencillo hacer demostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento se usa anteriormente produce un resultado similar: . ${\ Displaystyle f (z) = z ^ {c}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z ^ {c}: = \ exp (c \ ln z)}$${\ Displaystyle f '(z) = {\ frac {c} {z}} \ exp (c \ ln z)}$

Además, si es un número entero positivo, entonces no hay necesidad de un corte de rama: se puede definir , o definir potencias integrales complejas positivas a través de la multiplicación compleja, y demostrar que para todo complejo , a partir de la definición de la derivada y el teorema del binomio . ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f '(z) = cz ^ {c-1}}$${\ Displaystyle z}$

Sin embargo, debido a la naturaleza de múltiples valores de las funciones de potencia complejas para exponentes no enteros, se debe tener cuidado de especificar la rama del logaritmo complejo que se está utilizando. Además, no importa qué rama se use, si no es un número entero positivo, entonces la función no es diferenciable en 0. ${\ Displaystyle c}$

Referencias

Otras lecturas

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; y Edwards, Bruce H. (2003). Cálculo de una sola variable: funciones trascendentales tempranas (3ª edición). Compañía Houghton Mifflin. ISBN  0-618-22307-X .