Cambio de variable para integrales que involucran funciones trigonométricas
En el cálculo integral , la sustitución Weierstrass o sustitución tangente medio-ángulo es un método para evaluar las integrales , que convierte una función racional de funciones trigonométricas de en una función racional ordinaria de por el ajuste . No se pierde ninguna generalidad al considerar que estas son funciones racionales del seno y el coseno. La fórmula de transformación general es
Lleva el nombre de Karl Weierstrass (1815-1897), aunque se puede encontrar en un libro de Leonhard Euler de 1768. Michael Spivak escribió que este método era la "sustitución más furtiva" del mundo.
La sustitucion
Comenzando con una función racional de senos y cosenos, se reemplaza y con funciones racionales de la variable y se relacionan las diferenciales y de la siguiente manera.
Vamos , donde . Luego
Por eso,
Derivación de las fórmulas
Por las fórmulas de doble ángulo ,
y
Finalmente, ya que ,
Ejemplos de
Primer ejemplo: la integral cosecante
Podemos confirmar el resultado anterior usando un método estándar para evaluar la integral cosecante multiplicando el numerador y el denominador y realizando las siguientes sustituciones en la expresión resultante: y . Esta sustitución se puede obtener de la diferencia de las derivadas de la cosecante y la cotangente, que tienen la cosecante como factor común.
Ahora, las fórmulas de medio ángulo para senos y cosenos son
Ellos dan
por lo que las dos respuestas son equivalentes. La expresion
es una fórmula de medio ángulo tangente . La integral secante se puede evaluar de manera similar.
Segundo ejemplo: una integral definida
En la primera línea, no se sustituyen simplemente ambos límites de integración . La singularidad (en este caso, una asíntota vertical ) de al debe tenerse en cuenta. Alternativamente, primero evalúe la integral indefinida y luego aplique los valores de frontera.
Por simetría,
que es lo mismo que la respuesta anterior.
Tercer ejemplo: seno y coseno
Si
Geometría
La sustitución de Weierstrass parametriza el
círculo unitario centrado en (0, 0). En lugar de + ∞ y −∞, solo tenemos un ∞, en ambos extremos de la línea real. Eso suele ser apropiado cuando se trata de funciones racionales y funciones trigonométricas. (Esta es la
compactación de
un punto de la línea).
A medida que x varía, el punto (cos x , sen x ) se enrolla repetidamente alrededor del círculo unitario centrado en (0, 0). El punto
da una sola vuelta al círculo cuando t va de −∞ a + ∞, y nunca alcanza el punto (−1, 0), que se aproxima como un límite cuando t se acerca a ± ∞. Cuando t va de −∞ a −1, el punto determinado por t pasa por la parte del círculo en el tercer cuadrante, de (−1, 0) a (0, −1). Cuando t va de -1 a 0, el punto sigue la parte del círculo en el cuarto cuadrante desde (0, -1) a (1, 0). Cuando t va de 0 a 1, el punto sigue la parte del círculo en el primer cuadrante desde (1, 0) a (0, 1). Finalmente, cuando t va de 1 a + ∞, el punto sigue la parte del círculo en el segundo cuadrante de (0, 1) a (−1, 0).
Aquí hay otro punto de vista geométrico. Dibuja el círculo unitario y deja que P sea el punto (-1, 0) . Una línea que pasa por P (excepto la línea vertical) está determinada por su pendiente. Además, cada una de las líneas (excepto la línea vertical) interseca el círculo unidad en exactamente dos puntos, uno de los cuales es P . Esto determina una función desde puntos en el círculo unitario hasta pendientes. Las funciones trigonométricas determinan una función de ángulos a puntos en el círculo unitario, y al combinar estas dos funciones tenemos una función de ángulos a pendientes.
Galería
(1/2) La sustitución de Weierstrass relaciona un ángulo con la pendiente de una línea.
Funciones hiperbólicas
Al igual que con otras propiedades compartidas entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, es posible usar identidades hiperbólicas para construir una forma similar de sustitución:
Ver también
Otras lecturas
notas y referencias
enlaces externos