Teorema fundamental del cálculo - Fundamental theorem of calculus

El teorema fundamental del cálculo es un teorema que vincula el concepto de diferenciar una función (calcular el gradiente) con el concepto de integrar una función (calcular el área bajo la curva). Las dos operaciones son inversas entre sí, aparte de un valor constante que depende de dónde se comienza a calcular el área.

La primera parte del teorema, a veces llamado el primer teorema fundamental del cálculo , establece que una de las antiderivadas (también conocida como integral indefinida ), digamos F , de alguna función f puede obtenerse como la integral de f con un límite variable de integración. Esto implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas .

A la inversa, la segunda parte del teorema, a veces llamada el segundo teorema fundamental del cálculo , establece que la integral de una función f en algún intervalo puede calcularse usando cualquiera, digamos F , de sus infinitas antiderivadas . Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas clave, porque encontrar explícitamente la antiderivada de una función por integración simbólica evita la integración numérica para calcular integrales.

Historia

El teorema fundamental del cálculo relaciona diferenciación e integración, mostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconocía que estas dos operaciones estuvieran relacionadas. Los matemáticos griegos antiguos sabían cómo calcular el área a través de infinitesimales , una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación también son anteriores al Teorema Fundamental del Cálculo por cientos de años; por ejemplo, en el siglo XIV, las calculadoras de Oxford y otros estudiosos estudiaron las nociones de continuidad de funciones y movimiento . La relevancia histórica del Teorema Fundamental del Cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que las dos operaciones aparentemente distintas (cálculo de áreas geométricas y cálculo de gradientes) en realidad están estrechamente relacionadas.

La primera afirmación publicada y prueba de una forma rudimentaria del teorema fundamental, de carácter fuertemente geométrico, fue la de James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow (1630-1677) demostró una versión más generalizada del teorema, mientras que su alumno Isaac Newton (1642-1727) completó el desarrollo de la teoría matemática circundante. Gottfried Leibniz (1646-1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo para cantidades infinitesimales e introdujo la notación que se usa en la actualidad.

Significado geométrico

El área sombreada en rayas rojas está cerca de h veces f ( x ). Alternativamente, si se conociera la función A ( x ), esta área sería exactamente A ( x + h ) - A ( x ). Estos dos valores son aproximadamente iguales, particularmente para h pequeña .

Para una función continua y = f ( x ) cuya gráfica se traza como una curva, cada valor de x tiene una función de área correspondiente A ( x ), que representa el área debajo de la curva entre 0 y x . Puede que no se conozca la función A ( x ), pero se da por hecho que representa el área bajo la curva.

El área bajo la curva entre x y x + h podría calcularse encontrando el área entre 0 y x + h , luego restando el área entre 0 y x . En otras palabras, el área de esta "franja" sería A ( x + h ) - A ( x ) .

Hay otra forma de estimar el área de esta misma franja. Como se muestra en la figura adjunta, h se multiplica por f ( x ) para encontrar el área de un rectángulo que es aproximadamente del mismo tamaño que esta tira. Entonces:

De hecho, esta estimación se convierte en una igualdad perfecta si sumamos la parte roja del área "sobrante" que se muestra en el diagrama. Entonces:

Reordenamiento de términos:

.

Cuando h se acerca a 0 en el límite , se puede demostrar que la última fracción va a cero. Esto es cierto porque el área de la parte roja de la región en exceso es menor o igual que el área del pequeño rectángulo con borde negro. Más precisamente,

donde y son puntos donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente, en el intervalo [ x , x + h ] . Por la continuidad de f , la última expresión tiende a cero como h . Por lo tanto, el lado izquierdo tiende a cero cuando h lo hace, lo que implica

Esto implica f ( x ) = A ′ ( x ) . Es decir, la derivada de la función de área A ( x ) existe y es la función original f ( x ); entonces, la función de área es simplemente una antiderivada de la función original. Calcular la derivada de una función y encontrar el área bajo su curva son operaciones "opuestas". Este es el quid del teorema fundamental del cálculo.

Intuicion fisica

Intuitivamente, el teorema establece que la suma de cambios infinitesimales en una cantidad a lo largo del tiempo (o sobre alguna otra variable) se suma al cambio neto en la cantidad.

Imagine, por ejemplo, usar un cronómetro para marcar pequeños incrementos de tiempo mientras un automóvil viaja por una carretera. Imagínese también mirar el velocímetro del automóvil mientras viaja, de modo que en todo momento sepa la velocidad del automóvil. Para comprender el poder de este teorema, imagine también que no se le permite mirar por la ventana del automóvil, por lo que no tiene evidencia directa de lo lejos que ha viajado el automóvil.

Para cualquier pequeño intervalo de tiempo en el automóvil, podría calcular qué tan lejos ha viajado el automóvil en ese intervalo multiplicando la velocidad actual del automóvil por la longitud de ese pequeño intervalo de tiempo. (Esto se debe a que distancia = velocidad tiempo ).

Ahora imagine hacer esto instante tras instante, de modo que por cada pequeño intervalo de tiempo sepa qué tan lejos ha viajado el automóvil. En principio, podría calcular la distancia total recorrida en el automóvil (aunque nunca haya mirado por la ventana) sumando todas esas pequeñas distancias.

distancia recorrida = la velocidad en cualquier instante un pequeño intervalo de tiempo

En otras palabras,

distancia recorrida =

En el lado derecho de esta ecuación, a medida que se vuelve infinitesimalmente pequeña, la operación de "sumar" corresponde a la integración . Entonces, lo que hemos mostrado es que la integral de la función de velocidad se puede usar para calcular qué tan lejos ha viajado el automóvil.

Ahora recuerde que la función de velocidad es la derivada de la función de posición. Entonces, lo que realmente hemos demostrado es que la integración de la velocidad recupera la función de posición original. Ésta es la idea básica del teorema: que la integración y la diferenciación son operaciones estrechamente relacionadas, siendo cada una esencialmente la inversa de la otra.

En otras palabras, en términos de intuición física de uno, los teorema de que la suma de los cambios en la cantidad con el tiempo (por ejemplo, la posición , tal como se calcula multiplicando la velocidad veces el tiempo ) se suma a la variación neta total en la cantidad. O para poner esto de manera más general:

  • Dada una cantidad que cambia sobre alguna variable , y
  • Dada la velocidad con la que esa cantidad cambia sobre esa variable

entonces la idea de que "la distancia es igual a la velocidad por el tiempo" corresponde a la afirmación

lo que significa que se puede recuperar la función original integrando su derivada, la velocidad , sobre .

Declaraciones formales

El teorema tiene dos partes. La primera parte trata de la derivada de una antiderivada , mientras que la segunda parte trata de la relación entre las antiderivadas y las integrales definidas .

Primera parte

Esta parte a veces se denomina el primer teorema fundamental del cálculo .

Sea f una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] . Sea F la función definida, para todo x en [ a , b ] , por

Entonces F es uniformemente continua en [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ), y

para todo x en ( a , b ) .

Corolario

Teorema fundamental del cálculo (animación)

El teorema fundamental se emplea a menudo para calcular la integral definida de una función para la que se conoce una antiderivada . Específicamente, si es una función continua de valor real en y es una antiderivada de en entonces

El corolario asume continuidad en todo el intervalo. Este resultado se refuerza ligeramente en la siguiente parte del teorema.

Segunda parte

Esta parte a veces se conoce como el segundo teorema fundamental del cálculo o el axioma de Newton-Leibniz .

Sea una función de valor real en un intervalo cerrado y una antiderivada de en :

Si Riemann es integrable en entonces

La segunda parte es algo más fuerte que el corolario porque no supone que sea ​​continua.

Cuando existe una antiderivada , entonces hay infinitas antiderivadas para , obtenidas agregando una constante arbitraria a . Además, según la primera parte del teorema, siempre existen antiderivadas de cuando es continuo.

Prueba de la primera parte

Para una f ( t ) dada , defina la función F ( x ) como

Para dos números cualesquiera x 1 y x 1 + Δ x en [ a , b ], tenemos

y

Restando las dos igualdades da

Se puede demostrar que

(La suma de las áreas de dos regiones adyacentes es igual al área de ambas regiones combinadas).

Manipular esta ecuación da

Sustituir lo anterior en (1) da como resultado

Según el teorema del valor medio para la integración , existe un número real tal que

Para mantener la notación simple, escribimos simplemente , pero se debe tener en cuenta que, para una función dada , el valor de depende de y de, pero siempre se limita al intervalo . Sustituyendo lo anterior en (2) obtenemos

Dividiendo ambos lados por da

La expresión del lado izquierdo de la ecuación es el cociente de diferencias de Newton para F en x 1 .

Tome el límite como → 0 en ambos lados de la ecuación.

La expresión del lado izquierdo de la ecuación es la definición de la derivada de F en x 1 .

Para encontrar el otro límite, usamos el teorema de la compresión . El número c está en el intervalo [ x 1 , x 1  + Δ x ], entonces x 1cx 1  + Δ x .

Además, y

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de compresión,

La función f es continua en x 1 , el límite se puede tomar dentro de la función:

Sustituyendo en (3), obtenemos

que completa la prueba.

Prueba del corolario

Suponga que F es una antiderivada de f , con f continua en [ a , b ]. Dejar

.

Por la primera parte del teorema, sabemos que G también es una antiderivada de f . Como F ′ - G ′ = 0, el teorema del valor medio implica que F - G es una función constante , es decir, hay un número c tal que G ( x ) = F ( x ) +  c para todo x en [ a , b ] . Dejando x  =  a , tenemos

lo que significa c = - F ( a ). En otras palabras, G ( x ) = F ( x ) - F ( a ) , y así

Prueba de la segunda parte

Esta es una prueba de límite por sumas de Riemann . Sea f (Riemann) integrable en el intervalo [ a , b ], y sea f admitir una antiderivada F en [ a , b ]. Comience con la cantidad F ( b ) - F ( a ) . Sea números x 1 , ..., x n tales que

Resulta que

Ahora, sumamos cada F ( x i ) junto con su inverso aditivo, de modo que la cantidad resultante sea igual:

La cantidad anterior se puede escribir como la siguiente suma:

A continuación, empleamos el teorema del valor medio . Dicho brevemente,

Sea F continuo en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ). Entonces existe algo de c en ( a , b ) tal que

Resulta que

La función F es derivable en el intervalo [ a , b ]; por lo tanto, también es diferenciable y continuo en cada intervalo [ x i −1 , x i ] . De acuerdo con el teorema del valor medio (arriba),

Sustituyendo lo anterior en (1), obtenemos

El supuesto implica también que se puede expresar como partición .

Una secuencia convergente de sumas de Riemann. El número en la parte superior izquierda es el área total de los rectángulos azules. Convergen a la integral definida de la función.

Estamos describiendo el área de un rectángulo, con el ancho por la altura, y estamos sumando las áreas. Cada rectángulo, en virtud del teorema del valor medio , describe una aproximación de la sección de la curva sobre la que se dibuja. Tampoco es necesario que sea el mismo para todos los valores de i , o en otras palabras, que el ancho de los rectángulos puede diferir. Lo que tenemos que hacer es aproximar la curva con n rectángulos. Ahora, a medida que el tamaño de las particiones se hace más pequeño yn aumenta, resultando en más particiones para cubrir el espacio, nos acercamos más y más al área real de la curva.

Tomando el límite de la expresión cuando la norma de las particiones se acerca a cero, llegamos a la integral de Riemann . Sabemos que este límite existe porque se asumió que f era integrable. Es decir, tomamos el límite cuando la mayor de las particiones se acerca a cero en tamaño, de modo que todas las demás particiones son más pequeñas y el número de particiones se acerca al infinito.

Entonces, tomamos el límite en ambos lados de (2). Esto nos da

Ni F ( b ) ni F ( a ) dependen de , por lo que el límite en el lado izquierdo sigue siendo F ( b ) - F ( a ).

La expresión del lado derecho de la ecuación define la integral sobre f desde a hasta b . Por tanto, obtenemos

que completa la prueba.

Casi parece que la primera parte del teorema se sigue directamente de la segunda. Es decir, suponga que G es una antiderivada de f . Entonces, por el segundo teorema, . Supongamos ahora . Entonces F tiene la misma derivada que G , y por lo tanto F ′ = f . Sin embargo, este argumento solo funciona si ya sabemos que f tiene una antiderivada, y la única forma en que sabemos que todas las funciones continuas tienen antiderivadas es mediante la primera parte del Teorema fundamental. Por ejemplo, si f ( x ) = e - x 2 , entonces f tiene una antiderivada, a saber

y no existe una expresión más simple para esta función. Por tanto, es importante no interpretar la segunda parte del teorema como la definición de la integral. De hecho, hay muchas funciones que son integrables pero carecen de antiderivadas elementales, y las funciones discontinuas pueden ser integrables pero carecen de antiderivadas. Por el contrario, muchas funciones que tienen antiderivadas no son integrables de Riemann (consulte la función de Volterra ).

Ejemplos de

Como ejemplo, suponga que se calcula lo siguiente:

Aquí, y podemos usarlo como antiderivada. Por lo tanto:

O, de forma más general, suponga que

se va a calcular. Aquí, y se puede utilizar como antiderivada. Por lo tanto:

O equivalente,

Como ejemplo teórico, el teorema se puede utilizar para demostrar que

Ya que,

el resultado se sigue de,

Generalizaciones

La función f no tiene que ser continua durante todo el intervalo. La parte I del teorema dice entonces: si f es cualquier función integrable de Lebesgue en [ a , b ] y x 0 es un número en [ a , b ] tal que f es continua en x 0 , entonces

es diferenciable para x = x 0 con F ′ ( x 0 ) = f ( x 0 ). Podemos relajar aún más las condiciones de f y suponer que es meramente integrable localmente. En ese caso, podemos concluir que la función F es diferenciable en casi todas partes y F ′ ( x ) = f ( x ) en casi todas partes. En la línea real, esta afirmación es equivalente al teorema de diferenciación de Lebesgue . Estos resultados siguen siendo válidos para la integral de Henstock-Kurzweil , que permite una clase más grande de funciones integrables.

En dimensiones superiores, el teorema de diferenciación de Lebesgue generaliza el teorema fundamental del cálculo al afirmar que para casi cada x , el valor promedio de una función f sobre una bola de radio r centrada en x tiende af ( x ) cuando r tiende a 0.

La parte II del teorema es cierta para cualquier función integrable f de Lebesgue , que tiene una antiderivada F (aunque no todas las funciones integrables la tienen). En otras palabras, si una función real F en [ a , b ] admite una derivada f ( x ) en cada punto x de [ a , b ] y si esta derivada f es integrable de Lebesgue en [ a , b ], entonces

Este resultado puede fallar para las funciones continuas F que admiten una derivada f ( x ) en casi todos los puntos x , como muestra el ejemplo de la función de Cantor . Sin embargo, si F es absolutamente continua , admite una derivada F ′ ( x ) en casi todos los puntos x , y además F ′ es integrable, siendo F ( b ) - F ( a ) igual a la integral de F ′ en [ a , b ]. Por el contrario, si f es cualquier función integrable, entonces F como se indica en la primera fórmula será absolutamente continua con F ′ = f ae

Las condiciones de este teorema se pueden relajar nuevamente considerando las integrales involucradas como integrales de Henstock-Kurzweil . Específicamente, si una función continua F ( x ) admite una derivada f ( x ) en todos los puntos excepto en muchos contables, entonces f ( x ) es integrable de Henstock-Kurzweil y F ( b ) - F ( a ) es igual a la integral de f en [ a , b ]. La diferencia aquí es que no es necesario asumir la integrabilidad de f .

La versión del teorema de Taylor , que expresa el término de error como una integral, puede verse como una generalización del teorema fundamental.

Hay una versión del teorema de complejas funciones: Supongamos que U es un conjunto abierto en C y F  : TC es una función que tiene un holomorphic antiderivative F en U . Entonces, para cada curva γ: [ a , b ] → U , la integral de la curva se puede calcular como

El teorema fundamental se puede generalizar a integrales de curvas y superficies en dimensiones superiores y en variedades . Una de esas generalizaciones que ofrece el cálculo de superficies en movimiento es la evolución temporal de las integrales . Las extensiones más familiares del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores son el teorema de la divergencia y el teorema del gradiente .

Una de las mayoría de las generalizaciones de gran alcance en esta dirección es Stokes teorema (a veces conocido como el teorema fundamental del cálculo multivariable): Let M sea un disparos orientados a trozos suave colector de dimensión n y dejar que ser un suave compacta soportado ( n  - 1) -forma en M . Si ∂ M denota el límite de M dada su orientación inducida , entonces

Aquí d es la derivada exterior , que se define utilizando únicamente la estructura del colector.

El teorema se utiliza a menudo en situaciones en las que M es una subvariedad orientada incrustada de alguna variedad mayor (por ejemplo, R k ) en la que se define la forma .

El teorema fundamental del cálculo nos permite plantear una integral definida como una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

se puede plantear como

con como valor de la integral.

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía

Otras lecturas

  • Courant, Richard; John, Fritz (1965), Introducción al cálculo y análisis , Springer.
  • Larson, Ron; Edwards, Bruce H .; Heyd, David E. (2002), Cálculo de una sola variable (7a ed.), Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-14916-2.
  • Malet, A. , Estudios sobre James Gregorie (1638-1675) (Tesis doctoral, Princeton, 1989).
  • Hernández Rodríguez, OA; López Fernández, JM. " Enseñanza del teorema fundamental del cálculo: una reflexión histórica ", Loci: Convergence ( MAA ), enero de 2012.
  • Stewart, J. (2003), "Teorema fundamental del cálculo", Cálculo: principios trascendentales , Belmont, California: Thomson / Brooks / Cole.
  • Turnbull, HW, ed. (1939), The James Gregory Trcentenary Memorial Volume , Londres.

enlaces externos