Prueba de Dirichlet - Dirichlet's test

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En matemáticas , la prueba de Dirichlet es un método para probar la convergencia de una serie . Lleva el nombre de su autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet y se publicó póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862.

Declaración

La prueba establece que si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ Displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ es monotónico

• ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ Displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ por cada entero positivo N

donde M es una constante, entonces la serie

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

converge.

Prueba

Deja y . ${\ Displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$${\ Displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$

De la suma por partes , tenemos eso . Dado que está acotado por M y , el primero de estos términos se acerca a cero, como . ${\ Displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$${\ Displaystyle a_ {n} B_ {n} \ to 0}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$

Tenemos, para cada k , . Pero, si está disminuyendo, ${\ Displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

que es una suma telescópica , que los iguales y por lo tanto los enfoques como . Por lo tanto, converge. Y, si está aumentando, ${\ Displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$${\ Displaystyle Ma_ {1}}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

que es otra vez una suma telescópica, que los iguales y por lo tanto los enfoques como . Así, nuevamente, converge. ${\ Displaystyle -M (a_ {1} -a_ {n + 1})}$${\ Displaystyle -Ma_ {1}}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}$

Entonces, también converge mediante la prueba de comparación directa . La serie también converge mediante la prueba de convergencia absoluta . Por lo tanto converge. ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ Displaystyle S_ {n}}$

Aplicaciones

Un caso particular de la prueba de Dirichlet es la prueba de series alternas más comúnmente utilizada para el caso

${\ Displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}$

Otro corolario es que converge siempre que sea ​​una secuencia decreciente que tiende a cero. ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}$${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$

Integrales impropias

Se prueba un enunciado análogo para la convergencia de integrales impropias usando la integración por partes. Si la integral de una función f está acotada uniformemente en todos los intervalos, y g es una función no negativa decreciente monótonamente, entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.

Notas

Referencias

• Hardy, GH, Un curso de matemáticas puras , novena edición, Cambridge University Press, 1946. (págs. 379–380).
• Voxman, William L., cálculo avanzado: una introducción al análisis moderno , Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN   0-8247-6949-X .

enlaces externos

• Prueba en PlanetMath.org