Serie telescópica - Telescoping series

En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general puede escribirse como , es decir, la diferencia de dos términos consecutivos de una secuencia . ${\ Displaystyle t_ {n}}$${\ Displaystyle t_ {n} = a_ {n} -a_ {n + 1}}$${\ Displaystyle (a_ {n})}$

En consecuencia, las sumas parciales solo constan de dos períodos posteriores a la cancelación. La técnica de cancelación, en la que parte de cada término se cancela con parte del siguiente término, se conoce como el método de las diferencias . ${\ Displaystyle (a_ {n})}$

Por ejemplo, la serie

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (n + 1)}}}$

(la serie de recíprocos de números pronicos ) se simplifica como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (n + 1)}} & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ right) \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty } \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ right) \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}} \ right) + \ cdots + \ left ({\ frac {1} {N}} - {\ frac {1} {N + 1}} \ right)} \ right \ rbrack \ \ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ derecha) + \ izquierda (- {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} \ derecha) + \ cdots + \ izquierda (- {\ frac {1} {N}} + {\ frac {1} {N}} \ right) - {\ frac {1} {N + 1}}} \ right \ rbrack \\ {} & {} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ izquierda \ lbrack {1 - {\ frac {1} {N + 1}}} \ right \ rbrack = 1. \ end {alineado}}}$

En general

Una serie de poderes telescópicos

Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan entre sí, dejando solo los términos inicial y final.

Sea una secuencia de números. Luego, ${\ Displaystyle a_ {n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left (a_ {n} -a_ {n-1} \ right) = a_ {N} -a_ {0}}$

Si ${\ Displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} -a_ {n-1} \ right) = - a_ {0}}$

Los productos telescópicos son productos finitos en los que los términos consecutivos cancelan el denominador con el numerador, dejando solo los términos inicial y final.

Sea una secuencia de números. Luego, ${\ Displaystyle a_ {n}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = {\ frac {a_ {0}} {a_ {N}}} }$

Si ${\ Displaystyle a_ {n} \ rightarrow 1}$

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}} = a_ {0}}$

Más ejemplos

• Muchas funciones trigonométricas también admiten la representación como una diferencia, lo que permite la cancelación telescópica entre los términos consecutivos.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin \ left (n \ right) & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac { 1} {2}} \ csc \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ left (2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ sin \ left (n \ derecha) \ derecha) \\ & {} = {\ frac {1} {2}} \ csc \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left (\ cos \ left ({\ frac {2n-1} {2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {2n + 1} {2}} \ right) \ right ) \\ & {} = {\ frac {1} {2}} \ csc \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ left (\ cos \ left ({\ frac {1} { 2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {2N + 1} {2}} \ right) \ right). \ End {alineado}}}$

• Algunas sumas de la forma

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} {f (n) \ over g (n)}}$

donde f y g son funciones polinomiales cuyo cociente puede dividirse en fracciones parciales , no admitirán la suma por este método. En particular, uno tiene

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2n + 3} {(n + 1) (n + 2)}} = {} & \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + 1}} + {\ frac {1} {n + 2}} \ right) \\ = {} & \ left ( {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ derecha) + \ izquierda ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ derecha) + \ cdots \\ & {} \ cdots + \ izquierda ({\ frac {1} {n-1}} + {\ frac {1} {n}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n + 1}} \ right) + \ izquierda ({\ frac {1} {n + 1}} + {\ frac {1} {n + 2}} \ derecha) + \ cdots \\ = {} & \ infty. \ end {alineado}} }$

El problema es que los términos no se cancelan.

• Sea k un entero positivo. Luego

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (n + k)}} = {\ frac {H_ {k}} {k}}}$

donde H _k es el k- ésimo número armónico . Todos los términos después de 1 / ( k  - 1) se cancelan.

Una aplicación en la teoría de la probabilidad

En la teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson es un proceso estocástico del cual el caso más simple involucra "ocurrencias" en momentos aleatorios, el tiempo de espera hasta la siguiente ocurrencia tiene una distribución exponencial sin memoria , y el número de "ocurrencias" en cualquier intervalo de tiempo tiene una Distribución de Poisson cuyo valor esperado es proporcional a la duración del intervalo de tiempo. Sea X _t el número de "ocurrencias" antes del tiempo t , y sea T _x el tiempo de espera hasta la x ésima "ocurrencia". Buscamos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T _x . Usamos la función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson, que nos dice que

${\ Displaystyle \ Pr (X_ {t} = x) = {\ frac {(\ lambda t) ^ {x} e ^ {- \ lambda t}} {x!}},}$

donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de duración 1. Observe que el evento { X _t ≥ x} es el mismo que el evento { T _x ≤ t }, y por lo tanto tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos veces antes de tiempo , tenemos que esperar como máximo a que ocurra. Por tanto, la función de densidad que buscamos es ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t}$${\ displaystyle xth}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f (t) & {} = {\ frac {d} {dt}} \ Pr (T_ {x} \ leq t) = {\ frac {d} {dt}} \ Pr (X_ {t} \ geq x) = {\ frac {d} {dt}} (1- \ Pr (X_ {t} \ leq x-1)) \\\\ & {} = {\ frac { d} {dt}} \ left (1- \ sum _ {u = 0} ^ {x-1} \ Pr (X_ {t} = u) \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ izquierda (1- \ sum _ {u = 0} ^ {x-1} {\ frac {(\ lambda t) ^ {u} e ^ {- \ lambda t}} {u!}} \ right) \\ \\ & {} = \ lambda e ^ {- \ lambda t} -e ^ {- \ lambda t} \ sum _ {u = 1} ^ {x-1} \ left ({\ frac {\ lambda ^ { u} t ^ {u-1}} {(u-1)!}} - {\ frac {\ lambda ^ {u + 1} t ^ {u}} {u!}} \ right) \ end {alineado }}}$

La suma telescopios, dejando

${\ Displaystyle f (t) = {\ frac {\ lambda ^ {x} t ^ {x-1} e ^ {- \ lambda t}} {(x-1)!}}.}$

Conceptos similares

Producto telescópico

Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse mediante el método de cocientes para que finalmente sea solo un número finito de factores.

Por ejemplo, el producto infinito

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right)}$

simplifica como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) & = \ prod _ { n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1) (n + 1)} {n ^ {2}}} \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ prod _ { n = 2} ^ {N} {\ frac {n-1} {n}} \ veces \ prod _ {n = 2} ^ {N} {\ frac {n + 1} {n}} \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {{\ frac {1} {2}} \ times {\ frac {2} {3}} \ times {\ frac {3} {4}} \ veces \ cdots \ veces {\ frac {N-1} {N}}} \ right \ rbrack \ times \ left \ lbrack {{\ frac {3} {2}} \ times {\ frac {4} {3} } \ times {\ frac {5} {4}} \ times \ cdots \ times {\ frac {N} {N-1}} \ times {\ frac {N + 1} {N}}} \ right \ rbrack \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {1} {2}} \ right \ rbrack \ times \ left \ lbrack {\ frac {N + 1} {N}} \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}} \ times \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {N + 1} {N}} \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}} \ times \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ lbrack {\ frac {N} {N}} + {\ frac {1} {N} } \ right \ rbrack \\ & = {\ frac {1} {2}}. \ end {alineado}}}$

Otras aplicaciones

Para otras aplicaciones, consulte:

• La serie de Grandi ;
• Prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge , donde una de las pruebas usa una suma telescópica;
• Teorema fundamental del cálculo , un análogo continuo de las series telescópicas;
• Estadística de orden , donde se produce una suma telescópica en la derivación de una función de densidad de probabilidad;
• El teorema del punto fijo de Lefschetz , donde surge una suma telescópica en la topología algebraica ;
• Teoría de la homología , nuevamente en topología algebraica;
• Estafa de Eilenberg-Mazur , donde se produce una suma telescópica de nudos;
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Referencias