Teorema del punto fijo de Lefschetz - Lefschetz fixed-point theorem

En matemáticas , el teorema de punto fijo de Lefschetz es una fórmula que cuenta los puntos fijos de un mapeo continuo desde un espacio topológico compacto a sí mismo mediante trazas de los mapeos inducidos en los grupos de homología de . Lleva el nombre de Solomon Lefschetz , quien lo declaró por primera vez en 1926. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

El conteo está sujeto a una multiplicidad imputada en un punto fijo llamado índice de punto fijo . Una versión débil del teorema es suficiente para mostrar que un mapeo sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas bastante especiales (como la rotación de un círculo).

Declaración formal

Para una declaración formal del teorema, sea

{\ Displaystyle f \ colon X \ rightarrow X \,}

ser un mapa continuo desde un espacio triangulable compacto a sí mismo. Defina el número de Lefschetz de por ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$ ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ Lambda _ {f}: = \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} \ mathrm {tr} (f _ {*} | H_ {k} (X, \ mathbb {Q })),}

la suma alterna (finita) de las trazas de la matriz de los mapas lineales inducidos por on , los grupos de homología singular de con coeficientes racionales . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle H_ {k} (X, \ mathbb {Q})}$ ${\ Displaystyle X}$

Una versión simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece: si

{\ Displaystyle \ Lambda _ {f} \ neq 0 \,}

entonces tiene al menos un punto fijo, es decir, existe al menos uno en tal que . De hecho, dado que el número de Lefschetz se ha definido en el nivel de homología, la conclusión puede extenderse a decir que cualquier mapa homotópico que tiene un punto fijo también. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f (x) = x}$ ${\ Displaystyle f}$

Sin embargo, tenga en cuenta que lo contrario no es cierto en general: puede ser cero incluso si tiene puntos fijos. ${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$ ${\ Displaystyle f}$

Bosquejo de una prueba

Primero, aplicando el teorema de aproximación simplicial , se muestra que si no tiene puntos fijos, entonces (posiblemente después de subdividir ) es homotópico a un mapa simplicial libre de puntos fijos (es decir, envía cada simplex a un simplex diferente). Esto significa que los valores diagonales de las matrices de los mapas lineales inducidos en el complejo de la cadena simplicial de deben ser todos cero. Luego se observa que, en general, el número de Lefschetz también se puede calcular usando la suma alterna de las trazas de la matriz de los mapas lineales antes mencionados (esto es cierto por casi exactamente la misma razón por la que la característica de Euler tiene una definición en términos de grupos de homología ; consulte a continuación la relación con la característica de Euler). En el caso particular de un mapa simplicial sin puntos fijos, todos los valores diagonales son cero y, por lo tanto, todas las trazas son cero. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X}$

Teorema de Lefschetz-Hopf

Una forma más fuerte del teorema, también conocida como el teorema de Lefschetz-Hopf , establece que, si solo tiene un número finito de puntos fijos, entonces ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ sum _ {x \ in \ mathrm {Fix} (f)} i (f, x) = \ Lambda _ {f},}

donde es el conjunto de puntos fijos de , y denota el índice del punto fijo . De este teorema se deduce el teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales. ${\ Displaystyle \ mathrm {Corregir} (f)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle i (f, x)}$ ${\ Displaystyle x}$

Relación con la característica de Euler

El número de Lefschetz del mapa de identidad en un complejo CW finito puede calcularse fácilmente al darse cuenta de que cada uno puede considerarse como una matriz de identidad y, por lo tanto, cada término de traza es simplemente la dimensión del grupo de homología apropiado. Así, el número de Lefschetz del mapa de identidad es igual a la suma alterna de los números de Betti del espacio, que a su vez es igual a la característica de Euler . Así tenemos ${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$ ${\ Displaystyle \ chi (X)}$

{\ Displaystyle \ Lambda _ {\ mathrm {id}} = \ chi (X). \}

Relación con el teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Lefschetz generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer , que establece que todo mapa continuo desde el disco unitario cerrado -dimensional hasta debe tener al menos un punto fijo. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle D ^ {n}}$

Esto se puede ver de la siguiente manera: es compacto y triangulable, todos sus grupos de homología excepto son cero, y todo mapa continuo induce el mapa de identidad , cuyo rastro es uno; todo esto junto implica que es distinto de cero para cualquier mapa continuo . ${\ Displaystyle D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle H_ {0}}$ ${\ Displaystyle f \ dos puntos D ^ {n} \ a D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle f _ {*} \ dos puntos H_ {0} (D ^ {n}, \ mathbb {Q}) \ a H_ {0} (D ^ {n}, \ mathbb {Q})}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {f}}$ ${\ Displaystyle f \ dos puntos D ^ {n} \ a D ^ {n}}$

Contexto histórico

Lefschetz presentó su teorema del punto fijo en ( Lefschetz 1926 ). El enfoque de Lefschetz no estaba en puntos fijos de mapas, sino más bien en lo que ahora se llaman puntos de coincidencia de mapas.

Dados dos mapas y de una variedad orientable a una variedad orientable de la misma dimensión, el número de coincidencia de Lefschetz de y se define como ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$

{\ Displaystyle \ Lambda _ {f, g} = \ sum (-1) ^ {k} \ mathrm {tr} (D_ {X} \ circ g ^ {*} \ circ D_ {Y} ^ {- 1} \ circ f _ {*}),}

donde es como arriba, es el homomorfismo inducido por en los grupos de cohomología con coeficientes racionales, y y son los isomorfismos de dualidad de Poincaré para y , respectivamente. ${\ Displaystyle f _ {*}}$ ${\ Displaystyle g _ {*}}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle D_ {X}}$ ${\ Displaystyle D_ {X}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$

Lefschetz demostró que si el número de coincidencia es distinto de cero, entonces y tienen un punto de coincidencia. Señaló en su artículo que dejar y dejar ser el mapa de identidad da un resultado más simple, que ahora conocemos como el teorema del punto fijo. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle X = Y}$ ${\ Displaystyle g}$

Frobenius

Sea una variedad definida sobre el campo finito con elementos y sea el cambio base de al cierre algebraico de . El endomorfismo de Frobenius (a menudo el Frobenius geométrico , o simplemente el Frobenius ), denotado por , mapea un punto con coordenadas al punto con coordenadas . Por tanto, los puntos fijos de son exactamente los puntos de con coordenadas en ; el conjunto de tales puntos se denota por . La fórmula de seguimiento de Lefschetz se mantiene en este contexto y dice: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle q}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ Displaystyle F_ {q}}$ ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {q}, \ ldots, x_ {n} ^ {q}}$ ${\ Displaystyle F_ {q}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle X (k)}$

{\ Displaystyle \ #X (k) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \ mathrm {tr} (F_ {q} ^ {*} | H_ {c} ^ {i} ({\ barra {X}}, \ mathbb {Q} _ {\ ell})).}

Esta fórmula implica la traza del Frobenius en la cohomología étale, con soportes compactos, de con valores en el campo de los números -ádicos, donde es un primo coprimo de . ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle q}$

Si es suave y equidimensional , esta fórmula se puede reescribir en términos de la aritmética Frobenius , que actúa como la inversa de la cohomología: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {q}}$ ${\ Displaystyle F_ {q}}$

{\ Displaystyle \ #X (k) = q ^ {\ dim X} \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \ mathrm {tr} ((\ Phi _ {q} ^ {- 1}) ^ {*} | H ^ {i} ({\ bar {X}}, \ mathbb {Q} _ {\ ell})).}

Esta fórmula implica cohomología habitual, más que cohomología con soportes compactos.

La fórmula de la traza de Lefschetz también se puede generalizar a pilas algebraicas sobre campos finitos.

Ver también

Notas

Referencias

Lefschetz, Solomon (1926). "Intersecciones y transformaciones de complejos y múltiples" . Transacciones de la American Mathematical Society . 28 (1): 1–49. doi : 10.2307 / 1989171 . Señor 1501331 .
Lefschetz, Solomon (1937). "Sobre la fórmula del punto fijo". Annals of Mathematics . 38 (4): 819–822. doi : 10.2307 / 1968838 . Señor 1503373 .

enlaces externos

"Fórmula de Lefschetz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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