Multiplicidad (matemáticas) - Multiplicity (mathematics)

En matemáticas , la multiplicidad de un miembro de un multiset es el número de veces que aparece en el multiset. Por ejemplo, el número de veces que un polinomio dado tiene una raíz en un punto dado es la multiplicidad de esa raíz.

La noción de multiplicidad es importante para poder contar correctamente sin especificar excepciones (por ejemplo, raíces dobles contadas dos veces). De ahí la expresión "contados con multiplicidad".

Si se ignora la multiplicidad, esto se puede enfatizar contando el número de elementos distintos , como en "el número de raíces distintas". Sin embargo, siempre que se forma un conjunto (a diferencia de un conjunto múltiple), la multiplicidad se ignora automáticamente, sin requerir el uso del término "distinto".

Multiplicidad de un factor primo

En la factorización prima , por ejemplo,

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

la multiplicidad del factor primo 2 es 2, mientras que la multiplicidad de cada uno de los factores primos 3 y 5 es 1. Por lo tanto, 60 tiene cuatro factores primos que permiten multiplicidades, pero solo tres factores primos distintos.

Multiplicidad de la raíz de un polinomio

Sea un campo y sea un polinomio en una variable con coeficientes en . Un elemento es una raíz de multiplicidad de si hay un polinomio tal que y . Si , entonces a se llama raíz simple . Si , entonces se llama raíz múltiple . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle p (x)}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle a \ in F}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle p (x)}$ ${\ Displaystyle s (x)}$ ${\ Displaystyle s (a) \ neq 0}$ ${\ Displaystyle p (x) = (xa) ^ {k} s (x)}$ ${\ Displaystyle k = 1}$ ${\ Displaystyle k \ geq 2}$ ${\ Displaystyle a}$

Por ejemplo, el polinomio tiene 1 y −4 como raíces , y se puede escribir como . Esto significa que 1 es una raíz de multiplicidad 2 y −4 es una raíz simple (de multiplicidad 1). La multiplicidad de una raíz es el número de ocurrencias de esta raíz en la factorización completa del polinomio, mediante el teorema fundamental del álgebra . ${\ Displaystyle p (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -7x + 4}$ ${\ Displaystyle p (x) = (x + 4) (x-1) ^ {2}}$

Si es una raíz de multiplicidad de un polinomio, entonces es una raíz de multiplicidad de su derivada , excepto si la característica del campo es un divisor de $k$ , en cuyo caso es una raíz de multiplicidad al menos de la derivada. ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k-1}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle k}$

El discriminante de un polinomio es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple.

Comportamiento de una función polinomial cerca de una raíz múltiple

Gráfica de x ³ + 2 x ² - 7 x + 4 con una raíz simple (multiplicidad 1) en x = -4 y una raíz de multiplicidad 2 en x = 1. La gráfica cruza el eje x en la raíz simple. Es tangente al eje x en la raíz múltiple y no lo cruza, ya que la multiplicidad es par.

La gráfica de una función polinomial f toca el eje x en las raíces reales del polinomio. La gráfica es tangente a ella en las raíces múltiples de f y no tangente a las raíces simples. El gráfico cruza el eje x en las raíces de multiplicidad impar y no lo cruza en las raíces de multiplicidad par.

Una función polinomial distinta de cero es en todas partes no negativa si y solo si todas sus raíces tienen incluso multiplicidad y existe tal que . ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle f (x_ {0})> 0}$

Multiplicidad de intersección

En geometría algebraica , la intersección de dos subvariedades de una variedad algebraica es una unión finita de variedades irreducibles . A cada componente de dicha intersección se le adjunta una multiplicidad de intersecciones . Esta noción es local en el sentido de que puede definirse observando lo que ocurre en una vecindad de cualquier punto genérico de este componente. De ello se desprende que sin pérdida de generalidad, podemos considerar, para definir la multiplicidad de intersección, la intersección de dos variedades afines (subvariedades de un espacio afín).

Por tanto, dadas dos variedades afines V ₁ y V ₂ , considere un componente irreducible W de la intersección de V ₁ y V ₂ . Let d sea la dimensión de W , y P un punto cualquiera genérica de W . La intersección de W con d hiperplanos en posición general que pasa a través de P tiene un componente irreducible que se reduce a la solo punto P . Por lo tanto, el anillo local en este componente del anillo de coordenadas de la intersección tiene solo un ideal primo y, por lo tanto, es un anillo artiniano . Este anillo es, por tanto, un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo terrestre. Su dimensión es la multiplicidad intersección de V ₁ y V ₂ en W .

Esta definición nos permite enunciar el teorema de Bézout y sus generalizaciones con precisión.

Esta definición generaliza la multiplicidad de una raíz de un polinomio de la siguiente manera. Las raíces de un polinomio f son puntos en la línea afín , que son los componentes del conjunto algebraico definido por el polinomio. El anillo de coordenadas de este conjunto afín es donde K es un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de f . Si es la factorización de f , entonces el anillo local de R en el ideal primo es Este es un espacio vectorial sobre K , que tiene la multiplicidad de la raíz como dimensión. ${\ Displaystyle R = K [X] / \ langle f \ rangle,}$ ${\ Displaystyle f (X) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (X- \ alpha _ {i}) ^ {m_ {i}}}$ ${\ Displaystyle \ langle X- \ alpha _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle K [X] / \ langle (X- \ alpha) ^ {m_ {i}} \ rangle.}$ ${\ Displaystyle m_ {i}}$

Esta definición de multiplicidad de intersección, que se debe esencialmente a Jean-Pierre Serre en su libro Álgebra local , funciona solo para los componentes teóricos de conjuntos (también llamados componentes aislados ) de la intersección, no para los componentes incrustados . Se han desarrollado teorías para manejar el caso incrustado (consulte Teoría de la intersección para obtener más detalles).

En análisis complejo

Deje z ₀ que la raíz de una función holomorfa f , y dejar que n sea el número entero positivo tal que menos, el n ^º derivada de f evaluaron en z ₀ difiere de cero. Entonces la serie de potencias de f sobre z ₀ comienza con el n ^º plazo, y f se dice que tiene una raíz de multiplicidad (o “orden”) n . Si n = 1, la raíz se llama raíz simple.

También podemos definir la multiplicidad de los ceros y polos de una función meromórfica así: Si tenemos una función meromórfica tomar las expansiones de Taylor de g y h alrededor de un punto z ₀ , y encontrar el primer término distinto de cero en cada una (denotar la orden de los términos m y n , respectivamente). si m = n , entonces el punto tiene un valor distinto de cero. Si entonces el punto es un cero de multiplicidad Si , entonces el punto tiene un polo de multiplicidad ${\ textstyle f = {\ frac {g} {h}},}$ ${\ Displaystyle m> n,}$ ${\ displaystyle mn.}$ ${\ Displaystyle m <n}$ ${\ Displaystyle nm.}$