Método de integración para funciones racionales
La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma
∫
R
(
X
,
a
X
2
+
B
X
+
C
)
D
X
,
{\ Displaystyle \ int R (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) \, dx,}
donde es una función racional de y . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.
R
{\ Displaystyle R}
X
{\ Displaystyle x}
a
X
2
+
B
X
+
C
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}
Primera sustitución de Euler
La primera sustitución de Euler se usa cuando . Nosotros sustituimos
a
>
0
{\ Displaystyle a> 0}
a
X
2
+
B
X
+
C
=
±
X
a
+
t
{\ Displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = \ pm x {\ sqrt {a}} + t}
y resuelve la expresión resultante para . Tenemos eso y que el término se puede expresar racionalmente en .
X
{\ Displaystyle x}
X
=
C
-
t
2
±
2
t
a
-
B
{\ Displaystyle x = {\ frac {ct ^ {2}} {\ pm 2t {\ sqrt {a}} - b}}}
D
X
{\ displaystyle dx}
t
{\ Displaystyle t}
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
Segunda sustitución de Euler
Si tomamos
C
>
0
{\ Displaystyle c> 0}
a
X
2
+
B
X
+
C
=
X
t
±
C
.
{\ Displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt \ pm {\ sqrt {c}}.}
Resolvemos de manera similar a la anterior y encontramos
X
{\ Displaystyle x}
X
=
±
2
t
C
-
B
a
-
t
2
.
{\ Displaystyle x = {\ frac {\ pm 2t {\ sqrt {c}} - b} {en ^ {2}}}.}
Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
Tercera sustitución de Euler
Si el polinomio tiene raíces reales y , podemos elegir
. Esto da
como resultado
y, como en los casos anteriores, podemos expresar racionalmente el integrando completo en .
a
X
2
+
B
X
+
C
{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c}
α
{\ Displaystyle \ alpha}
β
{\ Displaystyle \ beta}
a
X
2
+
B
X
+
C
=
a
(
X
-
α
)
(
X
-
β
)
=
(
X
-
α
)
t
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a (x- \ alpha) (x- \ beta)}} = (x- \ alpha) t}
X
=
a
β
-
α
t
2
a
-
t
2
,
{\ Displaystyle x = {\ frac {a \ beta - \ alpha t ^ {2}} {en ^ {2}}},}
t
{\ Displaystyle t}
Ejemplos resueltos
Ejemplos de la primera sustitución de Euler
Uno
En la integral podemos usar la primera sustitución y establecer , así
∫
D
X
X
2
+
C
{\ Displaystyle \ int \! {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}}}
X
2
+
C
=
-
X
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - x + t}
X
=
t
2
-
C
2
t
D
X
=
t
2
+
C
2
t
2
D
t
{\ Displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} \ quad \ quad \ dx = {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} \, \ dt}
X
2
+
C
=
-
t
2
-
C
2
t
+
t
=
t
2
+
C
2
t
{\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} + t = {\ frac {t ^ {2} + c} { 2t}}}
En consecuencia, obtenemos:
∫
D
X
X
2
+
C
=
∫
t
2
+
C
2
t
2
t
2
+
C
2
t
D
t
=
∫
D
t
t
=
en
|
t
|
+
C
=
en
|
X
+
X
2
+
C
|
+
C
{\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}} = \ int {\ frac {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}} } {\ frac {t ^ {2} + c} {2t}}} \, \ dt = \ int {\ frac {dt} {t}} = \ ln | t | + C = \ ln \ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} + c}} \ right | + C}
Los casos dan las fórmulas
C
=
±
1
{\ Displaystyle c = \ pm 1}
∫
D
X
X
2
+
1
=
arsinh
(
X
)
+
C
∫
D
X
X
2
-
1
=
arcosh
(
X
)
+
C
(
X
>
1
)
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} & = \ operatorname {arsinh} (x) + C \\ [6pt] \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} & = \ operatorname {arcosh} (x) + C \ qquad (x> 1) \ end {alineado}}}
Dos
Para encontrar el valor de
∫
1
X
X
2
+
4
X
-
4
D
X
,
{\ Displaystyle \ int {\ frac {1} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} dx,}
nos encontramos con el primer sustitución de Euler, . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos , a partir de los cuales los términos se cancelarán. Resolviendo por rendimientos
t
{\ Displaystyle t}
X
2
+
4
X
-
4
=
1
X
+
t
=
X
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} = {\ sqrt {1}} x + t = x + t}
X
2
+
4
X
-
4
=
X
2
+
2
X
t
+
t
2
{\ Displaystyle x ^ {2} + 4x-4 = x ^ {2} + 2xt + t ^ {2}}
X
2
{\ Displaystyle x ^ {2}}
X
{\ Displaystyle x}
X
=
t
2
+
4
4
-
2
t
.
{\ Displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}
A partir de ahí, encontramos que los diferenciales y están relacionados por
D
X
{\ displaystyle dx}
D
t
{\ displaystyle dt}
D
X
=
-
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
-
2
t
)
2
D
t
.
{\ displaystyle dx = {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} dt.}
Por eso,
∫
D
X
X
X
2
+
4
X
-
4
=
∫
-
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
-
2
t
)
2
(
t
2
+
4
4
-
2
t
)
(
-
t
2
+
4
t
+
4
4
-
2
t
)
D
t
t
=
X
2
+
4
X
-
4
-
X
=
2
∫
D
t
t
2
+
4
=
broncearse
-
1
(
t
2
)
+
C
=
broncearse
-
1
(
X
2
+
4
X
-
4
-
X
2
)
+
C
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {\ left ({\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}} \ right) \ left ({\ frac {-t ^ {2} + 4t + 4} {4-2t}} \ right)}} dt && t = {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x \\ [6pt] & = 2 \ int {\ frac {dt} {t ^ {2} +4}} = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} \ right) + C \ end {alineado}}}
Ejemplos de la segunda sustitución de Euler
En la integral
∫
D
X
X
-
X
2
+
X
+
2
,
{\ Displaystyle \ int \! {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}},}
podemos usar la segunda sustitución y establecer . Por lo tanto
-
X
2
+
X
+
2
=
X
t
+
2
{\ Displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = xt + {\ sqrt {2}}}
X
=
1
-
2
2
t
t
2
+
1
D
X
=
2
2
t
2
-
2
t
-
2
2
(
t
2
+
1
)
2
D
t
,
{\ Displaystyle x = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} \ qquad dx = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} t ^ { 2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}
y
-
X
2
+
X
+
2
=
1
-
2
2
t
t
2
+
1
t
+
2
=
-
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
{\ Displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} t + {\ sqrt {2}} = {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}
En consecuencia, obtenemos:
∫
D
X
X
-
X
2
+
X
+
2
=
∫
2
2
t
2
-
2
t
-
2
2
(
t
2
+
1
)
2
1
-
2
2
t
t
2
+
1
-
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
D
t
=
∫
-
2
-
2
2
t
+
1
D
t
=
1
2
∫
-
2
2
-
2
2
t
+
1
D
t
=
1
2
en
|
2
2
t
-
1
|
+
C
=
2
2
en
|
2
2
-
X
2
+
X
+
2
-
2
X
-
1
|
+
C
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {2 { \ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}} dt \\ [6pt] & = \ int \! {\ Frac {-2} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int {\ frac {-2 {\ sqrt {2}}} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt \\ [6pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} t-1 \ right | + C \\ [4pt] & = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {{\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - {\ sqrt {2}}} {x}} - 1 \ right | + C \ end {alineado}}}
Ejemplos de la tercera sustitución de Euler
Para evaluar
∫
X
2
-
X
2
+
3
X
-
2
D
X
,
{\ Displaystyle \ int \! {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx,}
podemos usar la tercera sustitución y establecer . Por lo tanto
-
(
X
-
2
)
(
X
-
1
)
=
(
X
-
2
)
t
{\ textstyle {\ sqrt {- (x-2) (x-1)}} = (x-2) t}
X
=
-
2
t
2
-
1
-
t
2
-
1
D
X
=
2
t
(
-
t
2
-
1
)
2
D
t
,
{\ Displaystyle x = {\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} \ qquad \ dx = {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \, \ dt,}
y
-
X
2
+
3
X
-
2
=
(
X
-
2
)
t
=
t
-
t
2
-
1.
{\ Displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) t = {\ frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}
Próximo,
∫
X
2
-
X
2
+
3
X
-
2
D
X
=
∫
(
-
2
t
2
-
1
-
t
2
-
1
)
2
2
t
(
-
t
2
-
1
)
2
t
-
t
2
-
1
D
t
=
∫
2
(
-
2
t
2
-
1
)
2
(
-
t
2
-
1
)
3
D
t
.
{\ Displaystyle \ int {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx = \ int {\ frac {\ left ({\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} \ right) ^ {2} {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} { \ frac {t} {- t ^ {2} -1}}} \ dt = \ int {\ frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {(- t ^ {2} -1) ^ {3}}} \ dt.}
Como podemos ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Generalizaciones
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral , se puede usar la sustitución . Las extensiones a los números complejos nos permiten usar todo tipo de sustitución de Euler independientemente de los coeficientes de la cuadrática.
∫
D
X
-
X
2
+
C
{\ textstyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {-x ^ {2} + c}}}}
-
X
2
+
C
=
±
I
X
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {-x ^ {2} + c}} = \ pm ix + t}
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considere integrales de la forma
∫
R
1
(
X
,
a
X
2
+
B
X
+
C
)
Iniciar sesión
(
R
2
(
X
,
a
X
2
+
B
X
+
C
)
)
D
X
,
{\ Displaystyle \ int R_ {1} \ left (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \ right) \, \ log \ left (R_ {2} \ left (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \ right) \ right) \, dx,}
donde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral
R
1
{\ Displaystyle R_ {1}}
R
2
{\ Displaystyle R_ {2}}
X
{\ Displaystyle x}
a
X
2
+
B
X
+
C
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}
a
X
2
+
B
X
+
C
=
a
+
X
t
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a}} + xt}
∫
R
~
1
(
t
)
Iniciar sesión
(
R
~
2
(
t
)
)
D
t
,
{\ Displaystyle \ int {\ tilde {R}} _ {1} (t) \ log {\ big (} {\ tilde {R}} _ {2} (t) {\ big)} \, dt,}
donde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, la
factorización y la descomposición de fracciones parciales se pueden emplear para dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo .
R
~
1
(
t
)
{\ Displaystyle {\ tilde {R}} _ {1} (t)}
R
~
2
(
t
)
{\ Displaystyle {\ tilde {R}} _ {2} (t)}
t
{\ Displaystyle t}
Ver también
Referencias
Este artículo incorpora material de Eulers Substitutions For Integration en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">