Teorema del valor medio - Mean value theorem

Para cualquier función que sea continua en y diferenciable en , existe algo en el intervalo tal que la secante que une los puntos finales del intervalo es paralela a la tangente en .

En matemáticas , el teorema del valor medio establece, aproximadamente, que para un arco plano dado entre dos puntos finales, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante a través de sus puntos finales. Es uno de los resultados más importantes del análisis real . Este teorema se utiliza para probar afirmaciones sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.

Más precisamente, el teorema establece que si es una función continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto , entonces existe un punto en el que la tangente en es paralela a la recta secante que pasa por los puntos finales y , es decir,

Historia

Un caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Parameshvara (1370-1460), de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala en India , en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhāskara II . Michel Rolle demostró una forma restringida del teorema en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle , y se demostró solo para polinomios, sin las técnicas de cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue establecido y probado por Augustin Louis Cauchy en 1823. Desde entonces se han demostrado muchas variaciones de este teorema.

Declaración formal

La función obtiene la pendiente de la secante entre y como derivada en el punto .
También es posible que haya múltiples tangentes paralelas a la secante.

Vamos a ser una función continua en el cerrado de intervalo , y diferenciable en el intervalo abierto , donde . Entonces existe algo en tal que

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle , que asume que el lado derecho de arriba es cero.

El teorema del valor medio sigue siendo válido en un contexto un poco más general. Sólo hay que asumir que es continua en , y que por cada en el límite

existe como un número finito o igual a o . Si es finito, ese límite es igual . Un ejemplo en el que se aplica esta versión del teorema es el mapeo de la función de raíz cúbica de valor real , cuya derivada tiende a infinito en el origen.

Tenga en cuenta que el teorema, como se indicó, es falso si una función diferenciable tiene un valor complejo en lugar de un valor real. Por ejemplo, defina para todo real . Luego

mientras que para cualquier real .

Estas declaraciones formales también se conocen como Teorema del valor medio de Lagrange.

Prueba

La expresión da la pendiente de la línea que une los puntos y , que es una cuerda del gráfico de , mientras da la pendiente de la tangente a la curva en el punto . Por lo tanto, el teorema del valor medio dice que dada cualquier cuerda de una curva suave, podemos encontrar un punto en la curva que se encuentre entre los puntos finales de la cuerda de modo que la tangente de la curva en ese punto sea paralela a la cuerda. La siguiente prueba ilustra esta idea.

Definir , donde es una constante. Dado que es continuo y diferenciable , lo mismo es cierto para . Ahora queremos elegir de modo que satisfaga las condiciones del teorema de Rolle . A saber

Según el teorema de Rolle , dado que es diferenciable y , hay algunos en los cuales , y de la igualdad se sigue que,

Trascendencia

Teorema 1: Suponga que f es una función continua de valor real, definida en un intervalo arbitrario I de la línea real. Si la derivada de f en cada punto interior del intervalo I existe y es cero, entonces f es constante en el interior.

Prueba: Suponga que la derivada de f en cada punto interior del intervalo I existe y es cero. Vamos ( un , b ) Ser un intervalo abierto arbitrario en I . Por el teorema del valor medio, existe un punto c en ( a , b ) tal que

Esto implica que f ( a ) = f ( b ) . Por tanto, f es constante en el interior de I y, por tanto, es constante en I por continuidad. (Consulte a continuación para obtener una versión multivariable de este resultado).

Observaciones:

Teorema 2: Si f ' ( x ) = g' ( x ) para todo x en un intervalo ( a , b ) del dominio de estas funciones, entonces f - g es constante o f = g + c donde c es una constante en ( a , b ).

Demostración: Sea F = f - g , luego F '= f' - g '= 0 en el intervalo ( a , b ), por lo que el teorema 1 anterior dice que F = f - g es una constante c o f = g + c .

Teorema 3: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más general de f en I es F (x) + c donde c es una constante.

Demostración: se deriva directamente del teorema 2 anterior.

Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy , también conocido como teorema del valor medio extendido , es una generalización del teorema del valor medio. Dice: si las funciones y son continuas en el intervalo cerrado y diferenciables en el intervalo abierto , entonces existen algunas , de modo que

Significado geométrico del teorema de Cauchy

Por supuesto, si y , esto es equivalente a:

Geométricamente, esto significa que hay una tangente al gráfico de la curva.

que es paralela a la línea definida por los puntos y . Sin embargo, el teorema de Cauchy no afirma la existencia de tal tangente en todos los casos en que y son puntos distintos, ya que podría satisfacerse solo para algún valor con , en otras palabras, un valor para el cual la curva mencionada es estacionaria ; en tales puntos no es probable que se defina en absoluto una tangente a la curva. Un ejemplo de esta situación es la curva dada por

que en el intervalo va desde el punto hasta , pero nunca tiene una tangente horizontal; sin embargo, tiene un punto estacionario (de hecho, una cúspide ) en .

El teorema del valor medio de Cauchy se puede utilizar para probar la regla de L'Hôpital . El teorema del valor medio es el caso especial del teorema del valor medio de Cauchy cuando .

Prueba del teorema del valor medio de Cauchy

La prueba del teorema del valor medio de Cauchy se basa en la misma idea que la prueba del teorema del valor medio.

  • Supongamos . Definir , donde se fija de tal manera que , a saber
    Dado que y son continuos y diferenciables , lo mismo ocurre con . Con todo, satisface las condiciones del teorema de Rolle : en consecuencia, hay algunos en los que . Ahora usando la definición de tenemos:
    Por lo tanto:
    lo que implica el resultado.
  • Si , a continuación, aplicar el teorema de Rolle a , se deduce que existe en para los que . Usando esta elección de , el teorema del valor medio de Cauchy (trivialmente) se cumple.

Generalización para determinantes

Suponga que y son funciones diferenciables en las que son continuas . Definir

Existe tal que .

Darse cuenta de

y si colocamos , obtenemos el teorema del valor medio de Cauchy. Si colocamos y obtenemos el teorema del valor medio de Lagrange .

La prueba de la generalización es bastante simple: cada uno de y son determinantes con dos filas idénticas, por lo tanto . El teorema de Rolle implica que existe tal que .

Teorema del valor medio en varias variables

El teorema del valor medio se generaliza a funciones reales de múltiples variables. El truco consiste en utilizar la parametrización para crear una función real de una variable y luego aplicar el teorema de una variable.

Sea un subconjunto convexo abierto de , y sea ​​una función diferenciable. Fijar puntos y definir . Dado que es una función diferenciable en una variable, el teorema del valor medio da:

para algunos entre 0 y 1. Pero desde y , calculando explícitamente tenemos:

donde denota un gradiente y un producto escalar . Tenga en cuenta que este es un análogo exacto del teorema en una variable (en el caso de que este sea el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la ecuación da la estimación:

En particular, cuando las derivadas parciales de están acotadas, es Lipschitz continuo (y por lo tanto uniformemente continuo ).

Como aplicación de lo anterior, probamos que es constante si está abierto y conectado y cada derivada parcial de es 0. Elija algún punto y sea . Queremos mostrarnos para todos . Por eso, vamos . Entonces E está cerrado y no vacío. También está abierto: para todos ,

por cada en algún barrio de . (Aquí, es crucial que y estén lo suficientemente cerca uno del otro). Dado que está conectado, concluimos .

Los argumentos anteriores se realizan sin coordenadas; por lo tanto, se generalizan al caso cuando es un subconjunto de un espacio de Banach.

Teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales

No existe una analogía exacta del teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales.

En Principios de análisis matemático, Rudin da una desigualdad que se puede aplicar a muchas de las mismas situaciones a las que se aplica el teorema del valor medio en el caso unidimensional:

Teorema  :  para una función continua con valores vectoriales diferenciables en , existe tal que .

Jean Dieudonné en su clásico tratado Fundamentos del análisis moderno descarta el teorema del valor medio y lo reemplaza por la desigualdad media, ya que la prueba no es constructiva y no se puede encontrar el valor medio y, en las aplicaciones, solo se necesita la desigualdad media. Serge Lang en Análisis I usa el teorema del valor medio, en forma integral, como un reflejo instantáneo, pero este uso requiere la continuidad de la derivada. Si se usa la integral de Henstock-Kurzweil, se puede tener el teorema del valor medio en forma integral sin el supuesto adicional de que la derivada debe ser continua, ya que toda derivada es integrable de Henstock-Kurzweil. En términos generales, el problema es el siguiente: Si f  : UR m es una función diferenciable (donde UR n está abierta) y si x + th , x , hR n , t ∈ [0, 1] es el segmento de línea en cuestión (que se encuentra dentro de U ), entonces se puede aplicar el procedimiento de parametrización anterior a cada una de las funciones componentes f i ( i = 1,…, m ) de f (en el conjunto de notación anterior y = x + h ). Al hacerlo, uno encuentra los puntos x + t i h en el segmento de línea que satisfacen

Pero generalmente no habrá un solo punto x + t * h en el segmento de línea que satisfaga

para todo yo simultáneamente . Por ejemplo, defina:

Entonces , pero y nunca son simultáneamente cero como rangos superiores .

Sin embargo, un cierto tipo de generalización del teorema del valor medio a funciones con valores vectoriales se obtiene de la siguiente manera: Sea f una función de valor real continuamente diferenciable definida en un intervalo abierto I , y sean x así como x + h puntos de Yo . El teorema del valor medio en una variable nos dice que existe algo t * entre 0 y 1 tal que

Por otro lado, tenemos, por el teorema fundamental del cálculo seguido de un cambio de variables,

Por lo tanto, el valor f ′ ( x + t * h ) en el punto particular t * ha sido reemplazado por el valor medio

Esta última versión se puede generalizar a funciones con valores vectoriales:

Lema 1  -  Let UR n ser abierto, f  : UR m continuamente diferenciable, y xU , hR n vectores tales que el segmento de línea x + º , 0 ≤ t ≤ 1 restos en U . Entonces nosotros tenemos:

donde Df denota la matriz jacobiana de f y la integral de una matriz debe entenderse por componentes.

Prueba. Sea f 1 ,…, f m las componentes de f y defina:

Entonces nosotros tenemos

La afirmación sigue ya que Df es la matriz que consta de los componentes .

Lema 2  -  Let v  : [ a , b ] → R m ser una función continua definida en el intervalo [ a , b ] ⊂ R . Entonces nosotros tenemos

Prueba. Sea u en R m el valor de la integral

Ahora tenemos (usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz ):

Ahora, cancelar la norma de u desde ambos extremos nos da la desigualdad deseada.

Desigualdad del valor medio  :  si la norma de Df ( x + th ) está limitada por alguna constante M para t en [0, 1] , entonces

Prueba. Del Lema 1 y 2 se sigue que

Teoremas del valor medio para integrales definidas

Primer teorema del valor medio para integrales definidas

Geométricamente: interpretando f (c) como la altura de un rectángulo y b - a como el ancho, este rectángulo tiene la misma área que la región debajo de la curva de a a b

Sea f  : [ a , b ] → R una función continua. Entonces existe c en [ a , b ] tal que

Dado que el valor medio de f en [ a , b ] se define como

podemos interpretar la conclusión como f alcanza su valor medio en algún c en ( a , b ).

En general, si f  : [ a , b ] → R es continua yg es una función integrable que no cambia de signo en [ a , b ], entonces existe c en ( a , b ) tal que

Prueba del primer teorema del valor medio para integrales definidas

Suponga que f  : [ a , b ] → R es continua y g es una función integrable no negativa en [ a , b ]. Por el teorema de valor extremo , existe m y M tal que para cada x en [ a , b ], y . Dado que g no es negativo,

Ahora deja

Si , hemos terminado desde

medio

así que para cualquier c en ( a , b ),

Si yo ≠ 0, entonces

Según el teorema del valor intermedio , f alcanza todos los valores del intervalo [ m , M ], por lo que para algunos c en [ a , b ]

eso es,

Finalmente, si g es negativo en [ a , b ], entonces

y todavía obtenemos el mismo resultado que el anterior.

QED

Segundo teorema del valor medio para integrales definidas

Hay varios teoremas ligeramente diferentes llamados segundo teorema del valor medio para integrales definidas . Una versión que se encuentra comúnmente es la siguiente:

Si G  : [ a , b ] → R es una función monotónicamente decreciente positiva y φ: [ a , b ] → R es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ] tal que

Aquí representa , cuya existencia se deriva de las condiciones. Tenga en cuenta que es esencial que el intervalo ( a , b ] contenga b . Una variante que no tiene este requisito es:

Si G  : [ a , b ] → R es una función monótona (no necesariamente decreciente y positiva) y φ  : [ a , b ] → R es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ) tal que

El teorema del valor medio para la integración falla para funciones con valores vectoriales

Si la función devuelve un vector multidimensional, entonces el MVT para la integración no es verdadero, incluso si el dominio de también es multidimensional.

Por ejemplo, considere la siguiente función bidimensional definida en un cubo dimensional:

Entonces, por simetría, es fácil ver que el valor medio de sobre su dominio es (0,0):

Sin embargo, no tiene sentido , porque en todas partes.

Un análogo probabilístico del teorema del valor medio.

Sean X e Y variables aleatorias no negativas tales que E [ X ] <E [ Y ] <∞ y (es decir, X es menor que Y en el orden estocástico habitual ). Entonces existe una variable aleatoria no negativa absolutamente continua Z que tiene una función de densidad de probabilidad

Sea g una función medible y diferenciable tal que E [ g ( X )], E [ g ( Y )] <∞, y sea su derivada g ′ medible e integrable de Riemann en el intervalo [ x , y ] para todo yx ≥ 0. Entonces, E [ g ′ ( Z )] es finito y

Generalización en análisis complejos

Como se señaló anteriormente, el teorema no es válido para funciones diferenciables de valores complejos. En cambio, se establece una generalización del teorema de la siguiente manera:

Deje f  : Ω → C sea una función holomorfa en el conjunto convexo abierto Ω, y dejó una y b ser puntos distintos en Ω. Entonces existen puntos u , v en L ab (el segmento de línea desde a hasta b ) tales que

Donde Re () es la parte real e Im () es la parte imaginaria de una función de valor complejo.

Ver también

Notas

enlaces externos