Cálculo de Malliavin - Malliavin calculus

En la teoría de la probabilidad y campos relacionados, el cálculo de Malliavin es un conjunto de técnicas e ideas matemáticas que amplían el campo matemático del cálculo de variaciones desde funciones deterministas hasta procesos estocásticos . En particular, permite el cálculo de derivadas de variables aleatorias . El cálculo de Malliavin también se denomina cálculo estocástico de variaciones . P. Malliavin inició por primera vez el cálculo en el espacio de dimensión infinita. Luego, los contribuyentes importantes como S. Kusuoka, D. Stroock, Bismut, S. Watanabe, I. Shigekawa, etc. finalmente completaron los cimientos.

El cálculo de Malliavin lleva el nombre de Paul Malliavin, cuyas ideas llevaron a una prueba de que la condición de Hörmander implica la existencia y suavidad de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La demostración original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . El cálculo también se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular la sensibilidad de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones en, por ejemplo, filtrado estocástico .

Resumen e historia

Malliavin introdujo el cálculo de Malliavin para proporcionar una prueba estocástica de que la condición de Hörmander implica la existencia de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La demostración original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Su cálculo permitió a Malliavin probar los límites de regularidad para la densidad de la solución. El cálculo se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

Principio de invariancia

El principio de invariancia habitual para la integración de Lebesgue sobre toda la línea real es que, para cualquier número real ε y función integrable f , se cumple lo siguiente

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, d \ lambda (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x + \ varepsilon) \, d \ lambda (x)}$ y por lo tanto ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '(x) \, d \ lambda (x) = 0.}$

Esto se puede usar para derivar la fórmula de integración por partes ya que, estableciendo f = gh , implica

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '\, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (gh)' \, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} gh '\, d \ lambda + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g'h \, d \ lambda.}$

Se puede aplicar una idea similar en el análisis estocástico para la diferenciación a lo largo de una dirección Cameron-Martin-Girsanov. De hecho, sea ​​un proceso predecible integrable en cuadrado y establezca ${\ Displaystyle h_ {s}}$

${\ Displaystyle \ varphi (t) = \ int _ {0} ^ {t} h_ {s} \, ds.}$

Si es un proceso de Wiener , el teorema de Girsanov produce el siguiente análogo del principio de invariancia: ${\ Displaystyle X}$

${\ displaystyle E (F (X + \ varepsilon \ varphi)) = E \ left [F (X) \ exp \ left (\ varepsilon \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} ^ {2} \, ds \ right) \ right].}$

Diferenciando con respecto a ε en ambos lados y evaluando en ε = 0, se obtiene la siguiente fórmula de integración por partes:

${\ Displaystyle E (\ langle DF (X), \ varphi \ rangle) = E {\ Bigl [} F (X) \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s} {\ Gran R ]}.}$

Aquí, el lado izquierdo es la derivada de Malliavin de la variable aleatoria en la dirección y la integral que aparece en el lado derecho debe interpretarse como una integral de Itô . Esta expresión también permanece verdadera (por definición) si no se adapta, siempre que el lado derecho se interprete como una integral de Skorokhod . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle h}$

Fórmula de Clark-Ocone

Uno de los resultados más útiles del cálculo de Malliavin es el teorema de Clark-Ocone , que permite identificar explícitamente el proceso en el teorema de representación de martingala . Una versión simplificada de este teorema es la siguiente:

Para satisfacer cuál es Lipschitz y tal que F tiene un núcleo derivado fuerte, en el sentido de que para en C [0,1] ${\ Displaystyle F: C [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E (F (X) ^ {2}) <\ infty}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (1 / \ varepsilon) (F (X + \ varepsilon \ varphi) -F (X)) = \ int _ {0} ^ {1} F '(X, dt) \ varphi (t) \ \ mathrm {ae} \ X}$

luego

${\ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} H_ {t} \, dX_ {t},}$

donde H es la proyección previsible de F '( x , ( t , 1]) que puede verse como la derivada de la función F con respecto a un desplazamiento paralelo adecuado del proceso X sobre la porción ( t , 1] de su dominio.

Esto puede expresarse de manera más concisa mediante

${\ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} E (D_ {t} F | {\ mathcal {F}} _ {t}) \, dX_ { t}.}$

Gran parte del trabajo en el desarrollo formal del cálculo de Malliavin implica extender este resultado a la clase más grande posible de funcionales F reemplazando el núcleo derivado usado anteriormente por el " derivado de Malliavin " denotado en la declaración anterior del resultado. ${\ Displaystyle D_ {t}}$

Integral de Skorokhod

El operador integral de Skorokhod que se denota convencionalmente δ se define como el adjunto de la derivada de Malliavin, por lo tanto, para u en el dominio del operador que es un subconjunto de , para F en el dominio de la derivada de Malliavin, requerimos ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0, \ infty) \ times \ Omega)}$

${\ Displaystyle E (\ langle DF, u \ rangle) = E (F \ delta (u)),}$

donde el producto interno es el que en viz ${\ displaystyle L ^ {2} [0, \ infty)}$

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) g (s) \, ds.}$

La existencia de este adjunto se deriva del teorema de representación de Riesz para operadores lineales en espacios de Hilbert .

Se puede demostrar que si se adapta u, entonces

${\ Displaystyle \ delta (u) = \ int _ {0} ^ {\ infty} u_ {t} \, dW_ {t},}$

donde la integral debe entenderse en el sentido de Itô. Por lo tanto, esto proporciona un método para extender la integral Itô a integrandos no adaptados.

Aplicaciones

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular la sensibilidad de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico .

Referencias

• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1981) "Applications of Malliavin Calculus I", Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto 1982, pp 271-306
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1985) "Aplicaciones del cálculo de Malliavin II", J. Faculty Sci. Uni. Secta de Tokio 1A Matemáticas. , 32 págs. 1-76
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1987) "Aplicaciones del cálculo de Malliavin III", J. Faculty Sci. Univ. Secta de Tokio 1A Matemáticas. , 34 págs. 391–442
• Malliavin, Paul y Thalmaier, Anton. Cálculo estocástico de variaciones en finanzas matemáticas , Springer 2005, ISBN  3-540-43431-3
• Nualart, David (2006). El cálculo de Malliavin y temas relacionados (Segunda ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denis. (2007) El cálculo de Malliavin , Dover. ISBN  0-486-44994-7 ; libro electronico
• Schiller, Alex (2009) Cálculo de Malliavin para simulación de Monte Carlo con aplicaciones financieras . Tesis, Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton
• Øksendal, Bernt K. (1997) Una introducción al cálculo de Malliavin con aplicaciones a la economía . Lecture Notes, Departamento de Matemáticas, Universidad de Oslo (archivo zip que contiene tesis y apéndice)
• Di Nunno, Giulia , Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Cálculo de Malliavin para procesos de Lévy con aplicaciones a las finanzas", Universitext, Springer. ISBN  978-3-540-78571-2

enlaces externos

• Citas relacionadas con el cálculo de Malliavin en Wikiquote
• Friz, Peter K. (10 de abril de 2005). "Una introducción al cálculo de Malliavin" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de abril de 2007 . Consultado el 23 de julio de 2007 . Lecture Notes, 43 páginas

• Zhang, H. (11 de noviembre de 2004). "El cálculo de Malliavin" (PDF) . Consultado el 11 de noviembre de 2004 . Tesis, 100 páginas