Linealidad - Linearity

La linealidad es la propiedad de una relación matemática ( función ) que se puede representar gráficamente como una línea recta . La linealidad está estrechamente relacionada con la proporcionalidad . Los ejemplos en física incluyen la relación lineal de voltaje y corriente en un conductor eléctrico ( ley de Ohm ) y la relación de masa y peso . Por el contrario, las relaciones más complicadas no son lineales .

Generalizada para funciones en más de una dimensión , linealidad significa la propiedad de una función de ser compatible con la suma y el escalado , también conocido como principio de superposición .

La palabra lineal proviene del latín linearis , "perteneciente o parecido a una línea".

En matemáticas

En matemáticas, un mapa lineal o función lineal f ( x ) es una función que satisface las dos propiedades:

  • Aditividad : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
  • Homogeneidad de grado 1: fx ) = α f ( x ) para todo α.

Estas propiedades se conocen como principio de superposición. En esta definición, x no es necesariamente un número real , pero en general puede ser un elemento de cualquier espacio vectorial . En matemáticas elementales se utiliza una definición más especial de función lineal , que no coincide con la definición de mapa lineal (ver más abajo).

La aditividad por sí sola implica homogeneidad para α racional , ya que implica para cualquier número natural n por inducción matemática , y luego implica . La densidad de los números racionales en los reales implica que cualquier función continua aditiva es homogénea para cualquier número real α y, por lo tanto, es lineal.

El concepto de linealidad se puede extender a los operadores lineales . Ejemplos importantes de operadores lineales incluyen la derivada considerada como un operador diferencial y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el Laplaciano . Cuando una ecuación diferencial se puede expresar en forma lineal, generalmente se puede resolver dividiendo la ecuación en partes más pequeñas, resolviendo cada una de esas partes y sumando las soluciones.

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de vectores , espacios vectoriales (también llamados 'espacios lineales'), transformaciones lineales (también llamadas 'mapas lineales') y sistemas de ecuaciones lineales.

Para obtener una descripción de ecuaciones lineales y no lineales, consulte ecuación lineal .

Polinomios lineales

En un uso diferente al de la definición anterior, se dice que un polinomio de grado 1 es lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta.

Sobre los reales, una ecuación lineal es una de las formas:

donde m a menudo se llama pendiente o pendiente ; b la ordenada en el origen , que da el punto de intersección entre la gráfica de la función y la y eje y.

Tenga en cuenta que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, porque los polinomios lineales sobre los números reales no satisfacen en general ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y solo si b = 0 . Por lo tanto, si b ≠ 0 , la función a menudo se denomina función afín (ver en mayor general la transformación afín ).

Funciones booleanas

Diagrama de Hasse de una función booleana lineal

En álgebra de Boole , una función lineal es una función para la que existen tales que

, dónde

Tenga en cuenta que si , la función anterior se considera afín en álgebra lineal (es decir, no lineal).

Una función booleana es lineal si se cumple una de las siguientes condiciones para la tabla de verdad de la función :

  1. En cada fila en la que el valor de verdad de la función es T , hay un número impar de Ts asignados a los argumentos, y en cada fila en la que la función es F hay un número par de Ts asignados a los argumentos. Específicamente, f (F, F, ..., F) = F , y estas funciones corresponden a mapas lineales sobre el espacio vectorial booleano.
  2. En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número par de Ts asignados a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de verdad de la función es F, hay un número impar de Ts asignados a los argumentos. En este caso, f (F, F, ..., F) = T .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.

La negación , la lógica bicondicional , la exclusiva o , la tautología y la contradicción son funciones lineales.

Física

En física , la linealidad es una propiedad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan muchos sistemas; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell o la ecuación de difusión .

La linealidad de una ecuación diferencial homogénea significa que si dos funciones f y g son soluciones de la ecuación, entonces cualquier combinación lineal af + bg también lo es.

En instrumentación, linealidad significa que un cambio dado en una variable de entrada da el mismo cambio en la salida del aparato de medición: esto es muy deseable en el trabajo científico. En general, los instrumentos son casi lineales en un cierto rango y son más útiles dentro de ese rango. En contraste, los sentidos humanos son altamente no lineales: por ejemplo, el cerebro ignora completamente la luz entrante a menos que exceda un cierto umbral absoluto de fotones.

Electrónica

En electrónica , la región de funcionamiento lineal de un dispositivo, por ejemplo, un transistor , es donde una variable dependiente de la salida (como la corriente del colector del transistor ) es directamente proporcional a una variable dependiente de la entrada (como la corriente base). Esto asegura que una salida analógica sea una representación precisa de una entrada, típicamente con mayor amplitud (amplificada). Un ejemplo típico de equipo lineal es un amplificador de audio de alta fidelidad , que debe amplificar una señal sin cambiar su forma de onda. Otros son filtros lineales y amplificadores lineales en general.

En la mayoría de las aplicaciones científicas y tecnológicas , a diferencia de las matemáticas, algo puede describirse como lineal si la característica es aproximadamente, pero no exactamente, una línea recta; y la linealidad puede ser válida sólo dentro de una determinada región operativa; por ejemplo, un amplificador de alta fidelidad puede distorsionar una pequeña señal, pero lo suficiente como para ser aceptable (linealidad aceptable pero imperfecta); y puede distorsionar mucho si la entrada excede un cierto valor.

Linealidad integral

Para un dispositivo electrónico (u otro dispositivo físico) que convierte una cantidad en otra cantidad, Bertram S. Kolts escribe:

Hay tres definiciones básicas de linealidad integral de uso común: linealidad independiente, linealidad basada en cero y linealidad terminal o de punto final. En cada caso, la linealidad define qué tan bien el rendimiento real del dispositivo en un rango operativo específico se aproxima a una línea recta. La linealidad generalmente se mide en términos de una desviación, o no linealidad, de una línea recta ideal y generalmente se expresa en términos de porcentaje de escala completa , o en ppm (partes por millón) de escala completa. Normalmente, la línea recta se obtiene realizando un ajuste por mínimos cuadrados de los datos. Las tres definiciones varían en la forma en que se coloca la línea recta en relación con el rendimiento real del dispositivo. Además, estas tres definiciones ignoran cualquier ganancia o error de compensación que pueda estar presente en las características de rendimiento del dispositivo real.

Formaciones tácticas militares

En las formaciones tácticas militares , las "formaciones lineales" se adaptaron a partir de formaciones de lucios en forma de falange protegidas por artilleros, hacia formaciones poco profundas de artilleros protegidos por cada vez menos picas. Este tipo de formación se hizo progresivamente más delgada hasta su extremo en la era de la ' Thin Red Line ' de Wellington . Finalmente fue reemplazado por una orden de escaramuza cuando la invención del rifle de retrocarga permitió a los soldados moverse y disparar en pequeñas unidades móviles, sin el apoyo de formaciones a gran escala de cualquier forma.

Arte

Lineal es una de las cinco categorías propuestas por el historiador de arte suizo Heinrich Wölfflin para distinguir el arte "clásico" o renacentista del barroco . Según Wölfflin, los pintores del siglo XV y principios del XVI ( Leonardo da Vinci , Rafael o Albrecht Dürer ) son más lineales que los pintores barrocos " pictóricos " del siglo XVII ( Peter Paul Rubens , Rembrandt y Velázquez ) porque utilizan principalmente el contorno. para crear forma . La linealidad en el arte también se puede hacer referencia en el arte digital . Por ejemplo, la ficción de hipertexto puede ser un ejemplo de narrativa no lineal , pero también hay sitios web diseñados para ir de una manera específica y organizada, siguiendo un camino lineal.

Música

En la música, el aspecto lineal es la sucesión, ya sea en intervalos o melodía , en contraposición a la simultaneidad o el aspecto vertical .

En estadisticas

Ver también

Referencias

enlaces externos

  • La definición del diccionario de linealidad en Wikcionario