Orbifold - Orbifold

En las disciplinas matemáticas de topología y geometría , un orbifold (para "órbita-múltiple") es una generalización de una variedad . En términos generales, un orbifold es un espacio topológico que es localmente un cociente de grupo finito de un espacio euclidiano.

Varias veces se han dado definiciones de orbifold: por Ichirô Satake en el contexto de formas automórficas en la década de 1950 bajo el nombre de V-manifold ; por William Thurston en el contexto de la geometría de 3 variedades en la década de 1970 cuando acuñó el nombre orbifold , después de una votación de sus estudiantes; y por André Haefliger en la década de 1980 en el contexto del programa de Mikhail Gromov sobre espacios CAT (k) bajo el nombre de orbihedron .

Históricamente, los orbifolds surgieron primero como superficies con puntos singulares mucho antes de que se definieran formalmente. Uno de los primeros ejemplos clásicos surgió en la teoría de formas modulares con la acción del grupo modular en el semiplano superior : una versión del teorema de Riemann-Roch se cumple después de que el cociente se compacta mediante la adición de dos puntos de cúspide orbifold. En la teoría de tres variedades , la teoría de los espacios de fibras de Seifert , iniciada por Herbert Seifert , puede expresarse en términos de orbifolds bidimensionales. En la teoría de grupos geométricos , post-Gromov, los grupos discretos se han estudiado en términos de las propiedades de curvatura local de los orbihedra y sus espacios de cobertura. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$

En la teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente diferente, que se analiza en detalle a continuación. En la teoría de campo conforme bidimensional , se refiere a la teoría adjunta a la subálgebra de punto fijo de un álgebra de vértice bajo la acción de un grupo finito de automorfismos .

El ejemplo principal de espacio subyacente es un espacio cociente de una variedad bajo la acción propiamente discontinua de un grupo posiblemente infinito de difeomorfismos con subgrupos de isotropía finitos . En particular, esto se aplica a cualquier acción de un grupo finito ; así, una variedad con límite tiene una estructura orbifold natural, ya que es el cociente de su doble por una acción de . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Un espacio topológico puede contener diferentes estructuras orbifold. Por ejemplo, considere el orbifold O asociado con un espacio cociente de la esfera 2 a lo largo de una rotación por ; es homeomórfico a la 2-esfera, pero la estructura orbifold natural es diferente. Es posible adoptar la mayoría de las características de las variedades a los orbifolds y estas características suelen ser diferentes de las características correspondientes del espacio subyacente. En el ejemplo anterior, el grupo fundamental orbifold de O es y su característica orbifold Euler es 1. ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Definiciones formales

Como un colector, un orbifold está especificado por las condiciones locales; sin embargo, en lugar de modelarse localmente en subconjuntos abiertos de , un orbifold se modela localmente en cocientes de subconjuntos abiertos de por acciones de grupo finito. La estructura de un orbifold codifica no solo la del espacio del cociente subyacente, que no necesita ser una variedad, sino también la de los subgrupos de isotropía . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Un orbifold n- dimensional es un espacio topológico X de Hausdorff , llamado espacio subyacente , con una cubierta por una colección de conjuntos abiertos , cerrados bajo una intersección finita. Para cada uno , hay ${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$

• un subconjunto abierto de invariante bajo una fiel acción lineal de un grupo finito ;${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$
• un mapa continuo de sobre invariante bajo , llamado gráfico orbifold , que define un homeomorfismo entre y .${\ Displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i} / \ Gamma _ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$

La colección de gráficos orbifold se denomina atlas orbifold si se satisfacen las siguientes propiedades:

• para cada inclusión U _i U _j hay un homomorfismo de grupo inyectivo f _ij  : Γ _i Γ _j${\ Displaystyle \ subconjunto}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$
• para cada inclusión U _i U _j hay un Γ _i  - homeomorfismo equivariante ψ _ij , llamado mapa de encolado , de V _i en un subconjunto abierto de V _j${\ Displaystyle \ subconjunto}$
• los mapas de encolado son compatibles con los gráficos, es decir, φ _j · ψ _ij = φ _i
• los mapas de encolado son únicos hasta la composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro mapa de encolado posible de V _i a V _j tiene la forma g · ψ _ij para una g única en Γ _j

El atlas orbifold define completamente la estructura orbifold : dos atlas orbifold de X dan la misma estructura orbifold si pueden combinarse consistentemente para dar un atlas orbifold más grande. Tenga en cuenta que la estructura orbifold determina el subgrupo de isotropía de cualquier punto del orbifold hasta el isomorfismo: se puede calcular como el estabilizador del punto en cualquier gráfico orbifold. Si U _i U _j U _k , entonces hay un elemento de transición único g _ijk en Γ _k tal que ${\ Displaystyle \ subconjunto}$ ${\ Displaystyle \ subconjunto}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación de ciclo (garantizando asociatividad)

f _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

De manera más general, adjuntados a una cubierta abierta de un orbifold mediante gráficos orbifold, están los datos combinatorios de un llamado complejo de grupos (ver más abajo).

Exactamente como en el caso de los colectores, se pueden imponer condiciones de diferenciación en los mapas de encolado para dar una definición de un orbifold diferenciable . Será un riemanniano orbifold si además hay métricas Riemannianas invariantes en las cartas orbifold y los mapas de encolado son isometrías .

Definición utilizando grupoides

Un grupoide consiste en un conjunto de objetos , un conjunto de flechas y mapas estructurales que incluyen los mapas de origen y destino y otros mapas que permiten componer e invertir flechas. Se llama grupoide de Lie si ambos y son variedades suaves, todos los mapas estructurales son suaves y tanto el mapa de origen como el de destino son inmersiones. Se llama correcto si el mapa es un mapa correcto. Se llama étale si tanto el mapa de origen como el de destino son difeomorfismos locales. Un groupoid orbifold es un groupoid étale Lie apropiado. ${\ Displaystyle G_ {0}}$${\ Displaystyle G_ {1}}$${\ Displaystyle s, t: G_ {1} \ to G_ {0}}$${\ Displaystyle G_ {0}}$${\ Displaystyle G_ {1}}$${\ Displaystyle (s, t): G_ {1} \ to G_ {0} \ times G_ {0}}$

Asociado a un grupoide orbifold hay un espacio orbital subyacente . Una estructura orbifold en un espacio topológico consta de un grupoide orbifold y un homeomorfismo . Por otro lado, dado un orbifold con un atlas, uno puede construir un orbifold groupoid que es independiente de la elección del atlas hasta la equivalencia de Morita . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle | G |}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle | G | \ simeq X}$

La noción de agrupaciones orbifold es particularmente eficaz cuando se habla de orbifolds no efectivos y mapas entre orbifolds. Por ejemplo, un mapa entre orbifolds puede describirse mediante un homomorfismo entre groupoids, que transporta más información que el mapa continuo subyacente entre los espacios topológicos subyacentes.

Ejemplos de

• Cualquier variedad sin límite es trivialmente un orbifold. Cada uno de los grupos Γ _i es el grupo trivial .
• Si N es una variedad compacta con límite, su doble M se puede formar pegando una copia de N y su imagen especular a lo largo de su límite común. Hay una acción de reflexión natural de Z ₂ en el colector M que fija el límite común; el espacio del cociente puede identificarse con N , de modo que N tiene una estructura orbifold natural.
• Si M es una variedad n de Riemann con una acción isométrica propia compacta de un grupo discreto Γ, entonces el espacio orbital X = M / Γ tiene una estructura orbital natural: para cada x en X, tome un m representativo en M y una vecindad abierta V _m de m invariante bajo el estabilizador Γ _m , identificado equivariamente con un Γ _m -subconjunto de T _m M bajo el mapa exponencial en m ; un número finito de vecindarios cubre X y cada una de sus intersecciones finitas, si no está vacía, está cubierta por una intersección de Γ-traduce g _m · V _m con el grupo correspondiente g _m Γ g _m ⁻¹ . Los orbifolds que surgen de esta manera se denominan desarrollables o buenos .
• Un teorema clásico de Henri Poincaré construye grupos fucsianos como grupos de reflexión hiperbólica generados por reflejos en los bordes de un triángulo geodésico en el plano hiperbólico para la métrica de Poincaré . Si el triángulo tiene ángulos π / n _i para enteros positivos n _i , el triángulo es un dominio fundamental y, naturalmente, un orbifold bidimensional. El grupo correspondiente es un ejemplo de un grupo de triángulo hiperbólico . Poincaré también dio una versión tridimensional de este resultado para los grupos kleinianos : en este caso, el grupo kleiniano Γ se genera por reflejos hiperbólicos y el orbifold es H ³ / Γ.
• Si M es un 2-múltiple cerrado, se pueden definir nuevas estructuras orbifold en M i quitando un número finito de discos cerrados disjuntos de M y pegando copias de los discos D / Γ _i donde D es el disco unitario cerrado y Γ _i es un disco finito grupo cíclico de rotaciones. Esto generaliza la construcción de Poincaré.

Grupo fundamental Orbifold

Hay varias formas de definir el grupo fundamental orbifold . Los enfoques más sofisticados utilizan espacios de cobertura orbifold o espacios de clasificación de groupoids . El enfoque más simple (adoptado por Haefliger y conocido también por Thurston) amplía la noción habitual de bucle utilizada en la definición estándar del grupo fundamental .

Una trayectoria orbifold es una trayectoria en el espacio subyacente provisto de una elevación explícita por partes de segmentos de trayectoria a cartas orbifold y elementos de grupo explícitos que identifican trayectorias en cartas superpuestas; si la ruta subyacente es un bucle, se denomina bucle orbifold . Se identifican dos trayectorias orbifold si están relacionadas mediante la multiplicación por elementos de grupo en gráficos orbifold. El grupo fundamental orbifold es el grupo formado por clases de homotopía de bucles orbifold.

Si el orbifold surge como el cociente de una variedad M simplemente conectada por una acción rígida apropiada de un grupo discreto Γ, el grupo fundamental orbifold se puede identificar con Γ. En general, es una extensión de Γ por π ₁ M .

Se dice que el orbifold es desarrollable o bueno si surge como cociente por una acción grupal; de lo contrario, se llama malo . Se puede construir un orbifold de cobertura universal para un orbifold por analogía directa con la construcción del espacio de cobertura universal de un espacio topológico, es decir, como el espacio de pares que consta de puntos del orbifold y clases de homotopía de orbifold que los unen al punto base. Este espacio es naturalmente un orbifold.

Tenga en cuenta que si un gráfico orbifold en un subconjunto abierto contráctil corresponde a un grupo Γ, entonces hay un homomorfismo local natural de Γ en el grupo fundamental orbifold.

De hecho, las siguientes condiciones son equivalentes:

• El orbifold se puede desarrollar.
• La estructura orbifold en la cubierta universal orbifold es trivial.
• Los homomorfismos locales son todos inyectivos para una cubierta por conjuntos abiertos contráctiles.

Orbispaces

Para aplicaciones en la teoría de grupos geométricos , a menudo es conveniente tener una noción un poco más general de orbifold, debido a Haefliger. Un orbispace es para los espacios topológicos lo que un orbifold es para las variedades. Un orbispace es una generalización topológica del concepto de orbifold. Se define reemplazando el modelo de las cartas orbifold por un espacio localmente compacto con una acción rígida de un grupo finito, es decir, uno para el que los puntos con isotropía trivial son densos. (Esta condición se satisface automáticamente mediante acciones lineales fieles, porque los puntos fijados por cualquier elemento de grupo no trivial forman un subespacio lineal adecuado ). También es útil considerar estructuras espaciales métricas en un orbispacio, dadas por métricas invariantes en los gráficos orbispace para lo cual los mapas de encolado conservan la distancia. En este caso, generalmente se requiere que cada carta orbispacial sea un espacio de longitud con geodésicas únicas que conectan dos puntos cualesquiera.

Sea X un orbispacio dotado de una estructura de espacio métrico para el cual las cartas son espacios de longitud geodésica. Las definiciones y resultados anteriores para los orbifolds se pueden generalizar para dar definiciones de grupo fundamental orbispace y cobertura universal orbispace , con criterios análogos para la capacidad de desarrollo. Las funciones de distancia en las cartas orbispace se pueden utilizar para definir la longitud de una trayectoria orbispace en la cobertura universal o bispace. Si la función de distancia en cada gráfico no tiene una curva positiva , entonces el argumento de acortamiento de la curva de Birkhoff puede usarse para demostrar que cualquier trayectoria orbispacial con puntos finales fijos es homotópica a una geodésica única. Aplicando esto a caminos constantes en un gráfico orbispace, se deduce que cada homomorfismo local es inyectivo y, por lo tanto:

• Cada orbispace con curvas no positivas es desarrollable (es decir, bueno ).

Complejos de grupos

Cada orbifold tiene asociada una estructura combinatoria adicional dada por un complejo de grupos .

Definición

Un complejo de grupos ( Y , f , g ) en un complejo simplicial abstracto Y está dado por

• un grupo finito Γ _σ para cada σ simplex de Y
• un homomorfismo inyectivo f _στ  : Γ _τ Γ _σ siempre que σ τ${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ Displaystyle \ subconjunto}$
• para cada inclusión ρ σ τ, un elemento de grupo g _ρστ en Γ _ρ tal que (Ad g _ρστ ) · f _ρτ = f _ρσ · f _στ (aquí Ad denota la acción adjunta por conjugación)${\ Displaystyle \ subconjunto}$${\ Displaystyle \ subconjunto}$

Los elementos del grupo deben cumplir además la condición de ciclo

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

para cada cadena de simples (esta condición es vacía si Y tiene dimensión 2 o menos). ${\ Displaystyle \ pi \ subconjunto \ rho \ subconjunto \ sigma \ subconjunto \ tau.}$

Cualquier elección de elementos h _στ en Γ _σ produce un complejo equivalente de grupos definiendo

• f ' _στ = (Ad h _στ ) · f _στ
• g ' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ ) · g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Un complejo de grupos se llama simple siempre que g _ρστ = 1 en todas partes.

• Un argumento inductivo sencillo muestra que todo complejo de grupos en un simplex es equivalente a un complejo de grupos con g _ρστ = 1 en todas partes.

A menudo es más conveniente y conceptualmente apelando a pasar a la subdivisión barycentric de Y . Los vértices de esta subdivisión corresponden a los simples de Y , de modo que cada vértice tiene un grupo adjunto. Los bordes de la subdivisión baricéntrica están orientados naturalmente (correspondientes a inclusiones de simplices) y cada borde dirigido da una inclusión de grupos. Cada triángulo tiene un elemento de transición adjunto que pertenece al grupo de exactamente un vértice; y los tetraedros, si los hay, dan relaciones de ciclo para los elementos de transición. Así, un complejo de grupos involucra sólo el esqueleto tridimensional de la subdivisión baricéntrica; y solo el 2-esqueleto si es simple.

Ejemplo

Si X es un orbifold (o orbispace), elija una cobertura por subconjuntos abiertos de entre las cartas orbifold f _i : V _i U _i . Sea Y el complejo simplicial abstracto dado por el nervio de la cubierta : sus vértices son los conjuntos de la cubierta y sus n -implicios corresponden a intersecciones no vacías U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Para cada uno de estos símplex hay un grupo asociado Γ _α y los homomorfismos f _{ij se} convierten en los homomorfismos f _στ . Por cada triple ρ σ τ correspondiente a las intersecciones ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ cap}$${\ Displaystyle \ cap}$ ${\ Displaystyle \ subconjunto}$${\ Displaystyle \ subconjunto}$

${\ Displaystyle U_ {i} \ supset U_ {i} \ cap U_ {j} \ supset U_ {i} \ cap U_ {j} \ cap U_ {k}}$

hay gráficos φ _i  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j y φ _ijk  : V _ijk U _i U _j U _k y mapas de encolado ψ: V _ij V _i , ψ ': V _ijk V _ij y ψ ": V _ijk V _i . ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ cap}$ ${\ Displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Hay un elemento de transición único g _ρστ en Γ _i tal que g _ρστ · ψ "= ψ · ψ ′. Las relaciones satisfechas por los elementos de transición de un orbifold implican las requeridas para un complejo de grupos. De esta manera un complejo de grupos canónicamente se puede asociar al nervio de una cubierta abierta por cartas orbifold (o orbispace). En el lenguaje de la teoría de gavilla no conmutativa y gerbes , el complejo de grupos en este caso surge como una gavilla de grupos asociados a la cubierta U _i ; el dato g _ρστ es un _{ciclo de} 2 en la cohomología de gavilla no conmutativa y el dato h _στ da una perturbación de 2 límites.

Grupo de ruta de borde

El grupo de ruta de borde de un complejo de grupos se puede definir como una generalización natural del grupo de ruta de borde de un complejo simple. En la subdivisión baricéntrica de Y , tome los generadores e _ij correspondientes a los bordes de i a j donde i j , de modo que haya una inyección ψ _ij  : Γ _i Γ _j . Sea Γ el grupo generado por e _ij y Γ _k con relaciones ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

e _ij ⁻¹ · g · e _ij = ψ _ij ( g )

para g en Γ _i y

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

si yo j k . ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Para un vértice fijo i ₀ , el grupo de ruta de borde Γ ( i ₀ ) se define como el subgrupo de Γ generado por todos los productos

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

donde i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ es una ruta de borde, g _{k se} encuentra en Γ _{i k} y e _ji = e _ij ⁻¹ si i j . ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Complejos desarrollables

Se dice que una acción propia simplicial de un grupo discreto Γ sobre un complejo simplicial X con cociente finito es regular si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes (ver Bredon 1972):

• X admite un subcomplejo finito como dominio fundamental ;
• el cociente Y = X / Γ tiene una estructura simplicial natural;
• la estructura del cociente simplicial en órbita-representantes de vértices es consistente;
• si ( v ₀ , ..., v _k ) y ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) son simples, entonces g · v _i = g _i · v _i para algún g en Γ.

El dominio fundamental y el cociente Y = X / Γ se pueden identificar naturalmente como complejos simpliciales en este caso, dados por los estabilizadores de los simplices en el dominio fundamental. Se dice que un complejo de grupos Y se puede desarrollar si surge de esta manera.

• Un complejo de grupos se puede desarrollar si y solo si los homomorfismos de Γ _σ en el grupo de ruta de borde son inyectivos.
• Un complejo de grupos se puede desarrollar si y solo si para cada simplex σ hay un homomorfismo inyectivo θ _σ de Γ _σ en un grupo discreto fijo Γ tal que θ _τ · f _στ = θ _σ . En este caso el complejo simplicial X se canónicamente definido: tiene k -simplices (σ, xΓ _σ ) donde σ es una k -simplex de Y y x carreras en Γ / Γ _σ . La consistencia se puede verificar usando el hecho de que la restricción del complejo de grupos a un simplex es equivalente a uno con un ciclo trivial g _ρστ .

La acción de Γ sobre la subdivisión baricéntrica X 'de X siempre satisface la siguiente condición, más débil que la regularidad:

• siempre que σ y g · σ son subímplices de algún simplex τ, son iguales, es decir, σ = g · σ

De hecho, los simplices en X 'corresponden a cadenas de simplices en X , de modo que un subimplices, dado por subcadenas de simplices, está determinado únicamente por los tamaños de los simplices en la subcadena. Cuando una acción satisface esta condición, g fija necesariamente todos los vértices de σ. Un argumento inductivo sencillo muestra que tal acción se vuelve regular en la subdivisión baricéntrica; en particular

• la acción sobre la segunda subdivisión baricéntrica X "es regular;
• Γ es naturalmente isomorfo al grupo de caminos de borde definido usando caminos de borde y estabilizadores de vértice para la subdivisión baricéntrica del dominio fundamental en X ".

De hecho, no es necesario pasar a una tercera subdivisión baricéntrica: como observa Haefliger utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , en este caso el esqueleto 3 del dominio fundamental de X "ya contiene todos los datos necesarios, incluidos los elementos de transición para triángulos". - para definir un grupo de ruta de borde isomorfo a Γ.

En dos dimensiones, esto es particularmente sencillo de describir. El dominio fundamental de X "tiene la misma estructura que la subdivisión baricéntrica Y 'de un complejo de grupos Y , a saber:

• un complejo simplicial bidimensional finito Z ;
• una orientación para todos los bordes i j ;${\ displaystyle \ rightarrow}$
• si i j y j k son aristas, entonces i k es una arista y ( i , j , k ) es un triángulo;${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$
• grupos finitos unidos a vértices, inclusiones a aristas y elementos de transición, que describen compatibilidad, a triángulos.

Entonces se puede definir un grupo de ruta de borde. Una estructura similar es heredado por la subdivisión barycentric Z 'y su grupo borde-trayectoria es isomorfa a la de Z .

Orbihedra

Si un grupo discreto contable actúa mediante una acción propia simplicial regular sobre un complejo simplicial , se puede dar al cociente no sólo la estructura de un complejo de grupos, sino también la de un orbispacio. Esto conduce de manera más general a la definición de "orbihedron", el análogo simple de un orbifold.

Definición

Sea X un complejo simplicial finito con subdivisión baricéntrica X '. Una estructura de orbiedro consta de:

• para cada vértice i de X ', un complejo simplicial L _i ' dotado de una acción simplicial rígida de un grupo finito Γ _i .
• un mapa simple φ _i de L _i 'sobre el enlace L _i de i en X ', identificando el cociente L _i '/ Γ _i con L _i .

Esta acción de Γ _i sobre L _i 'se extiende a una acción simplicial sobre el cono simplicial C _i sobre L _i ' (la unión simplicial de i y L _i '), fijando el centro i del cono. El mapa φ _{i se} extiende a un mapa simple de C _i en la estrella St ( i ) de i , llevando el centro a i ; así, φ _i identifica C _i / Γ _i , el cociente de la estrella de i en C _i , con St ( i ) y da un diagrama de orbiedro en i .

• para cada borde dirigido i j de X ', un homomorfismo inyectivo f _ij de Γ _i en Γ _j .${\ displaystyle \ rightarrow}$
• para cada arista dirigida i j , un Γ _i equivariante simplicial encolado mapa ψ _ij de C _i en C _j .${\ displaystyle \ rightarrow}$
• los mapas de encolado son compatibles con los gráficos, es decir, φ _j · ψ _ij = φ _i .
• los mapas de encolado son únicos hasta la composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro mapa de encolado posible de V _i a V _j tiene la forma g · ψ _ij para una g única en Γ _j .

Si i j k , entonces hay un elemento de transición único g _ijk en Γ _k tal que ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk ) · f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación del ciclo

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Principales propiedades

• El grupo de datos teóricos de un orbihedron da un complejo de grupos en X , debido a que los vértices i de la subdivisión barycentric X corresponden 'a las simplices en X .
• Cada complejo de los grupos en X está asociado con una estructura orbihedron esencialmente único en X . Este hecho clave se sigue al señalar que la estrella y el enlace de un vértice i de X ', correspondiente a un simplex σ de X , tienen descomposiciones naturales: la estrella es isomorfa al complejo simplicial abstracto dado por la unión de σ y la subdivisión baricéntrica σ 'de σ; y el enlace es isomorfo para unir el enlace de σ en X y el enlace del baricentro de σ en σ '. Restringiendo el complejo de grupos al enlace de σ en X , todos los grupos Γ _τ vienen con homomorfismos inyectivos en Γ _σ . Desde el enlace de i en X 'está cubierto canónicamente por un complejo simplicial en el que gamma _σ actos, esto define una estructura orbihedron en X .
• El grupo fundamental del orbiedro es (tautológicamente) solo el grupo de ruta de borde del complejo de grupos asociado.
• Cada orbihedron es también, naturalmente, un orbispace: de hecho, en la realización geométrica del complejo simplicial, se pueden definir cartas orbispace utilizando el interior de las estrellas.
• El grupo fundamental del orbihedron se puede identificar naturalmente con el grupo fundamental del orbispace del orbispace asociado. Esto se sigue aplicando el teorema de aproximación simplicial a los segmentos de una trayectoria orbispacial que se encuentran en una carta orbispacial: es una variante sencilla de la prueba clásica de que el grupo fundamental de un poliedro puede identificarse con su grupo de trayectoria borde .
• El orbispacio asociado a un orbiedro tiene una estructura métrica canónica , que proviene localmente de la métrica de longitud en la realización geométrica estándar en el espacio euclidiano, con vértices mapeados sobre una base ortonormal. También se utilizan otras estructuras métricas, que incluyen métricas de longitud obtenidas al realizar los simples en el espacio hiperbólico , con los simples identificados isométricamente a lo largo de los límites comunes.
• El orbispacio asociado a un orbihedron no tiene una curva positiva si y solo si el eslabón en cada diagrama de orbihedron tiene una circunferencia mayor o igual a 6, es decir, cualquier circuito cerrado en el eslabón tiene una longitud de al menos 6. Esta condición, bien conocida por el teoría de los espacios de Hadamard , depende sólo del complejo subyacente de grupos.
• Cuando el orbiedro de cobertura universal no tiene una curva positiva, el grupo fundamental es infinito y se genera mediante copias isomorfas de los grupos isotropicos. Esto se deriva del resultado correspondiente para orbispaces.

Triángulos de grupos

Históricamente, una de las aplicaciones más importantes de los orbifolds en la teoría de grupos geométricos ha sido a los triángulos de grupos . Este es el ejemplo bidimensional más simple que generaliza el "intervalo de grupos" unidimensional discutido en las conferencias de Serre sobre árboles, donde los productos libres amalgamados se estudian en términos de acciones sobre los árboles. Tales triángulos de grupos surgen cada vez que un grupo discreto actúa simplemente de manera transitiva sobre los triángulos en el edificio afín de Bruhat-Tits para SL ₃ ( Q _p ); en 1979 Mumford descubrió el primer ejemplo para p = 2 (ver más abajo) como un paso en la producción de una superficie algebraica no isomorfa al espacio proyectivo , pero con los mismos números de Betti . Los triángulos de grupos fueron elaborados en detalle por Gersten y Stallings, mientras que el caso más general de complejos de grupos, descrito anteriormente, fue desarrollado independientemente por Haefliger. El método geométrico subyacente de analizar grupos presentados de forma finita en términos de espacios métricos de curvatura no positiva se debe a Gromov. En este contexto, los triángulos de grupos corresponden a complejos simpliciales bidimensionales curvados no positivamente con la acción regular de un grupo, transitivo sobre triángulos .

Un triángulo de los grupos es un sencillo conjunto de grupos que constan de un triángulo con vértices A , B , C . Hay grupos

• Γ _A , Γ _B , Γ _C en cada vértice
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB para cada borde
• Γ _ABC para el propio triángulo.

Hay una homomorfismos inyectivos de Γ _ABC en todos los demás grupos y de un grupo de borde Γ _XY en Γ _X y Γ _Y . Las tres formas de mapear Γ _ABC en un grupo de vértices concuerdan. (A menudo, Γ _ABC es el grupo trivial). La estructura métrica euclidiana en el orbispacio correspondiente no tiene una curva positiva si y solo si el vínculo de cada uno de los vértices en el gráfico de orbiedros tiene una circunferencia de al menos 6.

Esta circunferencia en cada vértice es siempre uniforme y, como observó Stallings, puede describirse en un vértice A , digamos, como la longitud de la palabra más pequeña en el núcleo del homomorfismo natural en Γ _A del producto libre amalgamado sobre Γ _ABC de los grupos de aristas Γ _AB y Γ _AC :

${\ Displaystyle \ Gamma _ {AB} \ star _ {\, \ Gamma _ {ABC}} \ Gamma _ {AC} \ rightarrow \ Gamma _ {A}.}$

El resultado que utiliza la estructura métrica euclidiana no es óptimo. Los ángulos α, β, γ en los vértices A , B y C fueron definidos por Stallings como 2π dividido por la circunferencia. En el caso euclidiano α, β, γ ≤ π / 3. Sin embargo, si solo se requiere que α + β + γ ≤ π, es posible identificar el triángulo con el triángulo geodésico correspondiente en el plano hiperbólico con la métrica de Poincaré (o el plano euclidiano si se mantiene la igualdad). Es un resultado clásico de la geometría hiperbólica que las medianas hiperbólicas se cruzan en el baricentro hiperbólico, al igual que en el conocido caso euclidiano. La subdivisión baricéntrica y la métrica de este modelo producen una estructura métrica curva no positiva en el orbispacio correspondiente. Por tanto, si α + β + γ≤π,

• el orbispacio del triángulo de grupos es desarrollable;
• el grupo de trayectoria de borde correspondiente, que también puede describirse como el colimit del triángulo de grupos, es infinito;
• los homomorfismos de los grupos de vértices en el grupo de ruta de borde son inyecciones.

El ejemplo de Mumford

Sea α = dado por la expansión binomial de (1 - 8) ^1/2 en Q ₂ y establezca K = Q ( α ) Q ₂ . Dejar ${\ Displaystyle {\ sqrt {-7}}}$${\ Displaystyle \ subconjunto}$

ζ = exp 2 π i / 7

λ = ( α - 1) / 2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Sea E = Q ( ζ ), un espacio vectorial tridimensional sobre K con base 1, ζ y ζ ² . Defina K -operadores lineales en E de la siguiente manera:

• σ es el generador del grupo de Galois de E sobre K , un elemento de orden 3 dado por σ (ζ) = ζ ²
• τ es el operador de multiplicación por ζ en E , un elemento de orden 7
• ρ es el operador dado por ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ y ρ (1) = μ · ζ ² , de modo que ρ ³ es una multiplicación escalar por  μ .

Los elementos ρ , σ y τ generan un subgrupo discreto de GL ₃ ( K ) que actúa correctamente sobre el edificio afín Bruhat-Tits correspondiente a SL ₃ ( Q ₂ ). Este grupo actúa de forma transitiva sobre todos los vértices, aristas y triángulos del edificio. Dejar

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

Luego

• σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ generan un subgrupo Γ de SL ₃ ( K ).
• Γ es el subgrupo más pequeño generado por σ y τ , invariante bajo la conjugación de ρ .
• Γ actúa simplemente de forma transitiva sobre los triángulos del edificio.
• Existe un triángulo Δ tal que el estabilizador de sus aristas son los subgrupos de orden 3 generados por las σ _i .
• El estabilizador de un vértice de Δ es el grupo de Frobenius de orden 21 generado por los dos elementos de orden 3 que estabilizan las aristas que se encuentran en el vértice.
• El estabilizador de Δ es trivial.

Los elementos σ y τ generan el estabilizador de un vértice. El enlace de este vértice se puede identificar con la construcción esférica de SL ₃ ( F ₂ ) y el estabilizador se puede identificar con el grupo de colineación del plano Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, satisfaciendo στ = τ ² σ . Identificando F ₈ * con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ ( x ) = x ^{2 2} de F ₈ y τ como la multiplicación por cualquier elemento que no esté en el campo primo F ₂ , es decir, un Generador de orden 7 del grupo multiplicativo cíclico de F ₈ . Este grupo de Frobenius actúa simplemente de forma transitiva sobre las 21 banderas del plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados. Las fórmulas para σ y τ en E "levantan" las fórmulas en F ₈ .

Mumford también obtiene una acción simplemente transitiva en los vértices del edificio pasando a un subgrupo de Γ ₁ = < ρ , σ , τ , - I >. El grupo Γ ₁ conserva la forma hermitiana valorada en Q ( α )

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

en Q (ζ) y se puede identificar con U ₃ (f) GL ₃ ( S ) donde S = Z [ α , ½]. Dado que S / ( α ) = F ₇ , hay un homomorfismo del grupo Γ ₁ en GL ₃ ( F ₇ ). Esta acción deja invariante un subespacio bidimensional en F ₇ ³ y, por tanto, da lugar a un homomorfismo Ψ de Γ ₁ en SL ₂ ( F ₇ ), un grupo de orden 16 · 3 · 7. Por otro lado, el estabilizador de un vértice es un subgrupo de orden 21 y Ψ es inyectivo en este subgrupo. Por tanto, si el subgrupo de congruencia Γ ₀ se define como la imagen inversa bajo Ψ del subgrupo 2- Sylow de SL ₂ ( F ₇ ), la acción de Γ ₀ sobre los vértices debe ser simplemente transitiva. ${\ Displaystyle \ cap}$

Generalizaciones

Pueden construirse otros ejemplos de triángulos o complejos de grupos bidimensionales mediante variaciones del ejemplo anterior.

Cartwright y col. considere acciones en edificios que son simplemente transitivas en vértices . Cada una de estas acciones produce una biyección (o dualidad modificada) entre los puntos xy las líneas x * en el complejo bandera de un plano proyectivo finito y una colección de triángulos orientados de puntos ( x , y , z ), invariantes bajo permutación cíclica, tal que x está en z *, y está en x * y z está en y * y dos puntos cualesquiera determinan de forma única el tercero. Los grupos producidos tienen generadores x , etiquetados por puntos, y relaciones xyz = 1 para cada triángulo. Genéricamente esta construcción no corresponderá a una acción sobre un edificio afín clásico.

De manera más general, como lo muestran Ballmann y Brin, datos algebraicos similares codifican todas las acciones que están simplemente transitivamente en los vértices de un complejo simplicial bidimensional no curvado positivamente, siempre que el vínculo de cada vértice tenga una circunferencia de al menos 6. Estos datos consisten en de:

• un grupo electrógeno S que contiene inversos, pero no la identidad;
• un conjunto de relaciones g h k = 1, invariante bajo permutación cíclica.

Los elementos g en S etiquetan los vértices g · v en el enlace de un vértice fijo v ; y las relaciones corresponden a las aristas ( g ⁻¹ · v , h · v ) en ese enlace. La gráfica con vértices S y aristas ( g , h ), para g ⁻¹ h en S , debe tener una circunferencia de al menos 6. El complejo simplicial original se puede reconstruir utilizando complejos de grupos y la segunda subdivisión baricéntrica.

Swiatkowski ha construido más ejemplos de complejos de grupos bidimensionales no curvados positivamente basándose en acciones simplemente transitivas en bordes orientados e induciendo una simetría triple en cada triángulo; también en este caso el complejo de grupos se obtiene de la acción regular en la segunda subdivisión baricéntrica. El ejemplo más simple, descubierto anteriormente con Ballmann, parte de un grupo finito H con un conjunto simétrico de generadores S , que no contiene la identidad, de modo que el gráfico de Cayley correspondiente tiene una circunferencia de al menos 6. El grupo asociado es generado por H y una involución sujeto τ a (τg) ³ = 1 para cada g en S .

De hecho, si Γ actúa de esta manera, la fijación de un borde ( v , w ), hay una involución τ intercambiando v y w . El enlace de v está formado por vértices g · w para g en un subconjunto simétrico S de H = Γ _v , generando H si el enlace está conectado. La suposición sobre triángulos implica que

τ · ( g · w ) = g ⁻¹ · w

para g en S . Por lo tanto, si σ = τ g y u = g ^-1 · w , entonces

σ ( v ) = w , σ ( w ) = u , σ ( u ) = w .

Por transitividad simple en el triángulo ( v , w , u ), se deduce que σ ³ = 1.

La segunda subdivisión barycentric da un complejo de grupos que consisten en singletons o pares de triángulos barycentrically subdivididos unidas a lo largo de sus lados grandes: estos pares son indexados por el espacio cociente S / ~ obtiene mediante la identificación de inversas en S . Los triángulos simples o "acoplados" se unen a su vez a lo largo de una "columna vertebral" común. Todos los estabilizadores de los simples son triviales excepto los dos vértices en los extremos de la columna, con los estabilizadores H y <τ>, y los vértices restantes de los triángulos grandes, con el estabilizador generado por un σ apropiado. Tres de los triángulos más pequeños de cada triángulo grande contienen elementos de transición.

Cuando todos los elementos de S son involuciones, no es necesario duplicar ninguno de los triángulos. Si H se toma para ser el grupo diedro D ₇ de orden 14, generada por una involución una y un elemento b de orden 7 de tal manera que

ab = b ⁻¹ a ,

entonces H es generado por las 3 involuciones a , ab y ab ⁵ . El vínculo de cada vértice viene dado por el gráfico de Cayley correspondiente, por lo que es solo el gráfico de Heawood bipartito , es decir, exactamente igual que en el edificio afín para SL ₃ ( Q ₂ ). Esta estructura de enlace implica que el complejo simplicial correspondiente es necesariamente un edificio euclidiano . En la actualidad, sin embargo, parece que se desconoce si alguno de estos tipos de acción se puede realizar en un edificio afín clásico: el grupo Γ _{1 de} Mumford (módulo escalares) es simplemente transitivo en los bordes, no en los bordes orientados.

Orbifolds bidimensionales

Los orbifolds bidimensionales tienen los siguientes tres tipos de puntos singulares:

• Un punto límite
• Un punto elíptico o un punto de giro de orden n , como el origen de R ² coorientado hacia fuera por un grupo cíclico de orden n de rotaciones.
• Un reflector de esquina de orden n : el origen de R ² coorientado hacia fuera por un grupo diedro de orden 2 n .

Un orbifold bidimensional compacto tiene una característica de Euler dada por ${\ Displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ chi = \ chi (X_ {0}) - \ sum _ {i} (1-1 / n_ {i}) / 2- \ sum _ {i} (1-1 / m_ {i}) }$,

donde es la característica de Euler de la variedad topológica subyacente , y son los órdenes de los reflectores de esquina y son los órdenes de los puntos elípticos. ${\ Displaystyle \ chi (X_ {0})}$${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle n_ {i}}$${\ Displaystyle m_ {i}}$

Un orbifold conectado compacto bidimensional tiene una estructura hiperbólica si su característica de Euler es menor que 0, una estructura euclidiana si es 0, y si su característica de Euler es positiva, es mala o tiene una estructura elíptica (una orbifold se llama mala si no tiene colector como espacio de cobertura). En otras palabras, su espacio de cobertura universal tiene una estructura hiperbólica, euclidiana o esférica.

Los orbifolds compactos bidimensionales conectados que no son hiperbólicos se enumeran en la siguiente tabla. Los 17 orbifolds parabólicos son los cocientes del plano por los 17 grupos de papel tapiz .

Escribe	Característica de Euler	2 colectores subyacentes	Órdenes de puntos elípticos	Órdenes de reflectores de esquina
Malo	1 + 1 / n	Esfera	n > 1
Malo	1 / m + 1 / n	Esfera	n > m > 1
Malo	1/2 + 1/2 n	Disco		n > 1
Malo	1/2 m + 1/2 n	Disco		n > m > 1
Elíptico	2	Esfera
Elíptico	2 / n	Esfera	n , n
Elíptico	1 / n	Esfera	2, 2, n
Elíptico	1/6	Esfera	2, 3, 3
Elíptico	1/12	Esfera	2, 3, 4
Elíptico	30/1	Esfera	2, 3, 5
Elíptico	1	Desct
Elíptico	1 / n	Desct		n , n
Elíptico	1/2 n	Desct		2, 2, n
Elíptico	1/12	Desct		2, 3, 3
Elíptico	24/1	Desct		2, 3, 4
Elíptico	1/60	Desct		2, 3, 5
Elíptico	1 / n	Desct	norte
Elíptico	1/2 n	Desct	2	norte
Elíptico	1/12	Desct	3	2
Elíptico	1	Plano proyectivo
Elíptico	1 / n	Plano proyectivo	norte
Parabólico	0	Esfera	2, 3, 6
Parabólico	0	Esfera	2, 4, 4
Parabólico	0	Esfera	3, 3, 3
Parabólico	0	Esfera	2, 2, 2, 2
Parabólico	0	Disco		2, 3, 6
Parabólico	0	Disco		2, 4, 4
Parabólico	0	Disco		3, 3, 3
Parabólico	0	Disco		2, 2, 2, 2
Parabólico	0	Disco	2	2, 2
Parabólico	0	Disco	3	3
Parabólico	0	Disco	4	2
Parabólico	0	Disco	2, 2
Parabólico	0	Plano proyectivo	2, 2
Parabólico	0	Toro
Parabólico	0	Botella de klein
Parabólico	0	Anillo
Parabólico	0	Banda de Moebius

Orbifolds tridimensionales

Se dice que un colector de 3 es pequeño si está cerrado, irreductible y no contiene superficies incompresibles.

Teorema de orbifold. Sea M una pequeña variedad de 3. Sea φ un difeomorfismo de M que conserva la orientación periódica no trivial . Entonces M admite una estructura-invariante hiperbólica o fibrosa de Seifert.

Este teorema es un caso especial del teorema orbifold de Thurston , anunciado sin demostración en 1981; forma parte de su conjetura de geometrización para 3 variedades . En particular, implica que si X es un 3-orbifold atoroidal compacto, conectado, orientable, irreducible, con un locus singular no vacío, entonces M tiene una estructura geométrica (en el sentido de orbifolds). Boileau, Leeb & Porti publicaron una prueba completa del teorema en 2005.

Aplicaciones

Orbifolds en la teoría de cuerdas

En teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente nuevo. Para los matemáticos, un orbifold es una generalización de la noción de múltiple que permite la presencia de los puntos cuya vecindad es difeomórfica a un cociente de R ⁿ por un grupo finito, es decir, R ⁿ / Γ . En física, la noción de un orbifold generalmente describe un objeto que se puede escribir globalmente como un espacio orbital M / G donde M es una variedad (o una teoría), y G es un grupo de sus isometrías (o simetrías), no necesariamente todos ellos. En la teoría de cuerdas, estas simetrías no tienen por qué tener una interpretación geométrica.

Una teoría de campo cuántico definida en un orbifold convierte en singular cerca de los puntos fijos de G . Sin embargo la teoría de cuerdas nos obliga a añadir nuevas partes de la cuerda cerrada espacio de Hilbert - es decir, los sectores retorcidos donde los campos definidos en las cuerdas cerradas son hasta periódica a una acción del G . El orbifolding es, por tanto, un procedimiento general de la teoría de cuerdas para derivar una nueva teoría de cuerdas a partir de una antigua teoría de cuerdas en la que los elementos de G se han identificado con la identidad. Tal procedimiento reduce el número de estados porque los estados deben ser invariantes bajo G , pero también aumenta el número de estados debido a los sectores extra retorcidos. El resultado suele ser una nueva teoría de cuerdas perfectamente fluida.

Las D-branas que se propagan en los orbifolds se describen, a bajas energías, mediante teorías de gauge definidas por los diagramas de carcaj . Las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas no tienen sector retorcido, por lo que el número de estados de cuerda abierta se reduce mediante el procedimiento de plegado orbital.

Más específicamente, cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías espaciotemporales, entonces si no tiene un punto fijo, el resultado suele ser un espacio compacto y liso; el sector retorcido consta de cuerdas cerradas enrolladas alrededor de la dimensión compacta, que se denominan estados de enrollamiento .

Cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías espaciotemporales, y tiene puntos fijos, entonces estos suelen tener singularidades cónicas , porque R ⁿ / Z _k tiene tal singularidad en el punto fijo de Z _k . En la teoría de cuerdas, las singularidades gravitacionales suelen ser un signo de grados extra de libertad que se ubican en un lugar geométrico en el espacio-tiempo. En el caso del orbifold, estos grados de libertad son los estados retorcidos, que son cadenas "pegadas" en los puntos fijos. Cuando los campos relacionados con estos estados retorcidos adquieren un valor esperado de vacío distinto de cero , la singularidad se deforma, es decir, la métrica cambia y se vuelve regular en este punto y alrededor de ella. Un ejemplo de geometría resultante es el espacio - tiempo de Eguchi-Hanson .

Desde el punto de vista de las D-branas en la vecindad de los puntos fijos, la teoría efectiva de las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas es una teoría de campo supersimétrica, cuyo espacio de vacío tiene un punto singular, donde grados adicionales sin masa de la libertad existe. Los campos relacionados con el sector trenzado de cuerda cerrada se acoplan a las cuerdas abiertas de tal manera que se agrega un término de Fayet-Iliopoulos a la teoría de campo supersimétrica lagrangiana, de modo que cuando dicho campo adquiere un valor de expectativa de vacío distinto de cero , el Fayet -El término de Iliopoulos es distinto de cero y, por lo tanto, deforma la teoría (es decir, la cambia) de modo que la singularidad ya no existe [1] , [2] .

Colectores Calabi – Yau

En la teoría de supercuerdas , la construcción de modelos fenomenológicos realistas requiere una reducción dimensional porque las cuerdas se propagan naturalmente en un espacio de 10 dimensiones mientras que la dimensión observada del espacio-tiempo del universo es 4. Sin embargo, las restricciones formales de las teorías imponen restricciones al espacio compacto. en el que viven las variables extra "ocultas": cuando se buscan modelos de 4 dimensiones realistas con supersimetría , el espacio compacto auxiliar debe ser una variedad Calabi-Yau de 6 dimensiones .

Hay un gran número de posibles variedades Calabi-Yau (decenas de miles), de ahí el uso del término "paisaje" en la literatura de física teórica actual para describir la desconcertante elección. El estudio general de las variedades Calabi-Yau es matemáticamente complejo y durante mucho tiempo ha sido difícil construir ejemplos explícitamente. Por lo tanto, los orbifolds han demostrado ser muy útiles, ya que satisfacen automáticamente las restricciones impuestas por la supersimetría. Proporcionan ejemplos degenerados de las variedades Calabi-Yau debido a sus puntos singulares , pero esto es completamente aceptable desde el punto de vista de la física teórica. Estos orbifolds se denominan "supersimétricos": son técnicamente más fáciles de estudiar que los de Calabi-Yau generales. Muy a menudo es posible asociar una familia continua de variedades Calabi-Yau no singulares a un orbifold supersimétrico singular. En 4 dimensiones, esto se puede ilustrar utilizando superficies K3 complejas :

• Cada superficie K3 admite 16 ciclos de dimensión 2 que son topológicamente equivalentes a las 2 esferas habituales. Haciendo que la superficie de estas esferas tiende a cero, la superficie K3 desarrolla 16 singularidades. Este límite representa un punto en el límite del espacio de módulos de superficies K3 y corresponde al orbifold obtenido tomando el cociente del toro por la simetría de inversión.${\ Displaystyle T ^ {4} / \ mathbb {Z} _ {2} \,}$

El estudio de las variedades de Calabi-Yau en la teoría de cuerdas y la dualidad entre los diferentes modelos de la teoría de cuerdas (tipo IIA y IIB) llevó a la idea de la simetría especular en 1988. El papel de los orbifolds fue señalado por primera vez por Dixon, Harvey, Vafa y Witten casi al mismo tiempo.

Teoría musical

Más allá de sus múltiples y diversas aplicaciones en matemáticas y física, los orbifolds se han aplicado a la teoría musical al menos desde 1985 en el trabajo de Guerino Mazzola y más tarde por Dmitri Tymoczko y colaboradores ( Tymoczko 2006 ) y ( Callender & Tymoczko 2008 ) . Uno de los artículos de Tymoczko fue el primer artículo de teoría musical publicado por la revista Science . Mazzola y Tymoczko han participado en el debate sobre sus teorías documentadas en una serie de comentarios disponibles en sus respectivos sitios web. error de harv: sin destino: CITEREFCallenderTymoczko2008 ( ayuda )

Tymoczko modela acordes musicales que constan de n notas, que no son necesariamente distintas, como puntos en el orbifold : el espacio de n puntos desordenados (no necesariamente distintos) en el círculo, realizado como el cociente de n - toro (el espacio de n puntos ordenados en el círculo) por el grupo simétrico (correspondiente de pasar de un conjunto ordenado a un conjunto desordenado). ${\ Displaystyle T ^ {n} / S_ {n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S_ {n}}$

Musicalmente, esto se explica de la siguiente manera:

• Los tonos musicales dependen de la frecuencia (tono) de su fundamental y, por lo tanto, están parametrizados por los números reales positivos, R ⁺ .
• Los tonos musicales que difieren en una octava (una duplicación de la frecuencia) se consideran el mismo tono; esto corresponde a tomar el logaritmo en base 2 de las frecuencias (obteniendo los números reales, as ), luego cociente por los enteros (correspondiente a diferir por algún número de octavas), produciendo un círculo (as ).${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ log _ {2} \ mathbf {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle S ^ {1} = \ mathbf {R} / \ mathbf {Z}}$
• Los acordes corresponden a múltiples tonos sin respetar el orden; por lo tanto, t notas (con orden) corresponden a t puntos ordenados en el círculo, o lo que es lo mismo, un solo punto en t -torus y omitir el orden corresponde a tomar el cociente al producir un orbifold.${\ Displaystyle T ^ {t}: = S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1},}$${\ Displaystyle S_ {t},}$

Para díadas (dos tonos), esto produce la tira de Möbius cerrada ; para tríadas (tres tonos), esto produce un orbifold que puede describirse como un prisma triangular con las caras triangulares superior e inferior identificadas con un giro de 120 ° (un giro ⅓) - de manera equivalente, como un toro sólido en 3 dimensiones con una cruz -sección de un triángulo equilátero y tal giro.

El orbifold resultante se estratifica naturalmente por tonos repetidos (propiamente, por particiones enteras de t ): el conjunto abierto consta de tonos distintos (la partición ), mientras que hay un conjunto singular unidimensional que consta de que todos los tonos son iguales (la partición ), que topológicamente es un círculo, y varias particiones intermedias. También hay un círculo notable que atraviesa el centro del conjunto abierto que consta de puntos igualmente espaciados. En el caso de las tríadas, las tres caras laterales del prisma corresponden a dos tonos iguales y el tercero diferente (la partición ), mientras que los tres bordes del prisma corresponden al conjunto singular unidimensional. Las caras superior e inferior son parte del conjunto abierto y solo aparecen porque se ha cortado el orbifold; si se ve como un toro triangular con un giro, estos artefactos desaparecen. ${\ Displaystyle t = 1 + 1 + \ cdots +1}$${\ Displaystyle t = t}$${\ Displaystyle 3 = 2 + 1}$

Tymoczko sostiene que los acordes cercanos al centro (con tonos igualmente o casi igualmente espaciados) forman la base de gran parte de la armonía occidental tradicional, y que visualizarlos de esta manera ayuda en el análisis. Hay 4 acordes en el centro (igualmente espaciados bajo el mismo temperamento - espaciado de 4/4/4 entre tonos), correspondientes a las tríadas aumentadas (consideradas como conjuntos musicales ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, y EG♯C (luego hacen un ciclo: FAC♯ = C♯FA), con los 12 acordes mayores y los 12 acordes menores siendo los puntos al lado pero no en el centro - espaciados casi uniformemente pero no del todo. Los acordes mayores corresponden a un espaciado de 4/3/5 (o equivalentemente, 5/4/3), mientras que los acordes menores corresponden a un espaciado de 3/4/5. Los cambios clave corresponden entonces al movimiento entre estos puntos en el orbifold, con cambios más suaves efectuados por el movimiento entre puntos cercanos.

Ver también

• Revestimiento ramificado
• Característica de Euler de un orbifold
• Cociente geométrico
• Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki
• Notación orbifold
• Orientifold
• Anillo de formas modulares
• Pila (matemáticas)

Notas

Referencias

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