Complejo simplicial - Simplicial complex

Un complejo 3 simplicial.

En matemáticas , un complejo simplicial es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n- dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial . La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .

Definiciones

Un complejo simplicial es un conjunto de simples que satisface las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$

1. Todas las caras de un simplex de también están en .

{\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}

2. La intersección no vacía de dos simples es una cara de ambos y .

{\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2} \ in {\ mathcal {K}}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {1}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {2}}

Véase también la definición de un complejo simplicial abstracto , que en términos generales es un complejo simplicial sin una geometría asociada.

Un complejo k simplicial es un complejo simplicial donde la dimensión más grande de cualquier simplex en es igual a k . Por ejemplo, un complejo simple 2 debe contener al menos un triángulo y no debe contener ningún tetraedro o simple de dimensiones superiores. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Un simplicial k -complejo puro u homogéneo es un complejo simplicial donde cada simplex de dimensión menor que k es una cara de algún simplex de dimensión exactamente k . De manera informal, un complejo de 1 puro "parece" como si estuviera hecho de un montón de líneas, un complejo de 2 "parece" como si estuviera hecho de un montón de triángulos, etc. Un ejemplo de un complejo no homogéneo es un triángulo con un segmento de línea unido a uno de sus vértices. Los complejos simpliciales puros pueden considerarse triangulaciones y proporcionan una definición de politopos . ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {K}}}$

Una faceta es cualquier simplex de un complejo que no es una cara de ningún simplex más grande. (Note la diferencia con una "cara" de un simplex). Un complejo simplicial puro puede considerarse como un complejo en el que todas las facetas tienen la misma dimensión.

A veces, el término cara se usa para referirse a un simplex de un complejo, que no debe confundirse con un rostro de un simplex.

Para un complejo simplicial incrustado en un espacio k -dimensional, las k- caras a veces se denominan sus celdas . El término celda a veces se usa en un sentido más amplio para denotar un conjunto homeomorfo a simplex, lo que lleva a la definición de complejo celular .

El espacio subyacente , a veces llamado portador de un complejo simplicial es la unión de sus simplices.

Cierre, estrella y enlace

Dos simplices y su cierre .
Un vértice y su estrella .
Un vértice y su vínculo .

Deje que K sea un complejo simplicial y dejar que S sea una colección de simplices en K .

El cierre de S (denotado ) es el más pequeño subcomplex simplicial de K que contiene cada simplex en S . se obtiene añadiendo repetidamente para S cada cara de cada simplex en S . ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} \ S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} \ S}$

La estrella de S (denotado ) es la unión de las estrellas de cada simple en S . Para un simple simplex s , la estrella de s es el conjunto de simples simples que tienen a s como cara. La estrella de S generalmente no es un complejo simplicial en sí, por lo que algunos autores definen la estrella cerrada de S (denotada ) como el cierre de la estrella de S. ${\ Displaystyle \ mathrm {st} \ S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {St} \ S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} \ \ mathrm {st} \ S}$

El vínculo de S (denotado ) es igual . Es la estrella cerrada de S menos las estrellas de todas las caras de S . ${\ Displaystyle \ mathrm {Lk} \ S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} \ \ mathrm {st} \ S \ setminus \ mathrm {st} \ \ mathrm {Cl} \ S}$

Topología algebraica

En topología algebraica , los complejos simpliciales suelen ser útiles para cálculos concretos. Para la definición de grupos de homología de un complejo simplicial, se puede leer el complejo de cadena correspondiente directamente, siempre que se hagan orientaciones consistentes de todos los simplices. Los requisitos de la teoría de la homotopía conducen al uso de espacios más generales, los complejos CW . Los complejos infinitos son una herramienta técnica básica en topología algebraica. Véase también la discusión en Polytope de los complejos simpliciales como subespacios del espacio euclidiano formado por subconjuntos, cada uno de los cuales es un simplex . Ese concepto algo más concreto se le atribuye a Alexandrov . Cualquier complejo simplicial finito en el sentido mencionado aquí puede incrustarse como un politopo en ese sentido, en un gran número de dimensiones. En topología algebraica, un espacio topológico compacto que es homeomórfico para la realización geométrica de un complejo simplicial finito se denomina generalmente poliedro (ver Spanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton & Wylie 1967 ).

Combinatoria

Los combinatorios a menudo estudian el vector f de un complejo d simplicial Δ, que es la secuencia entera , donde f _i es el número de caras ( i −1) -dimensionales de Δ (por convención, f ₀ = 1 a menos que Δ sea el complejo vacío). Por ejemplo, si Δ es el límite del octaedro , entonces su vector f es (1, 6, 12, 8), y si Δ es el primer complejo simplicial que se muestra arriba, su vector f es (1, 18, 23 , 8, 1). El teorema de Kruskal-Katona da una caracterización completa de los posibles f -vectores de los complejos simpliciales . ${\ Displaystyle (f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {d + 1})}$

Al usar el vector f de un complejo d simplicial Δ como coeficientes de un polinomio (escrito en orden decreciente de exponentes), obtenemos el polinomio f de Δ. En nuestros dos ejemplos anteriores, los polinomios f serían y , respectivamente. ${\ displaystyle x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8}$ ${\ Displaystyle x ^ {4} + 18x ^ {3} + 23x ^ {2} + 8x + 1}$

Los combinatorios suelen estar bastante interesados en el vector h de un complejo simplicial Δ, que es la secuencia de coeficientes del polinomio que resulta de insertar x - 1 en el f- polinomio de Δ. Formalmente, si escribimos F _Δ ( x ) para significar el polinomio f de Δ, entonces el polinomio h de Δ es

{\ Displaystyle F _ {\ Delta} (x-1) = h_ {0} x ^ {d + 1} + h_ {1} x ^ {d} + h_ {2} x ^ {d-1} + \ cdots + h_ {d} x + h_ {d + 1}}

y el vector h de Δ es

{\ Displaystyle (h_ {0}, h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {d + 1}).}

Calculamos el vector h del límite del octaedro (nuestro primer ejemplo) de la siguiente manera:

{\ displaystyle F (x-1) = (x-1) ^ {3} +6 (x-1) ^ {2} +12 (x-1) + 8 = x ^ {3} + 3x ^ {2 } + 3x + 1.}

Entonces, el vector h del límite del octaedro es (1, 3, 3, 1). No es un accidente que este vector h sea simétrico. De hecho, esto sucede siempre que Δ es el límite de un politopo simplicial (estas son las ecuaciones de Dehn-Sommerville ). Sin embargo, en general, el vector h de un complejo simplicial ni siquiera es necesariamente positivo. Por ejemplo, si tomamos Δ como el complejo 2 dado por dos triángulos que se intersecan solo en un vértice común, el vector h resultante es (1, 3, −2).

El célebre teorema g de Stanley , Billera y Lee ofrece una caracterización completa de todos los vectores h politopos simpliciales .

Se puede ver que los complejos simples tienen la misma estructura geométrica que el gráfico de contacto de un empaquetamiento de esferas (un gráfico en el que los vértices son los centros de las esferas y existen aristas si los elementos de empaquetamiento correspondientes se tocan entre sí) y, como tal, se pueden utilizar para determinar el combinatoria de empaquetaduras de esferas , como el número de pares que se tocan (1-simplices), tripletes que tocan (2-simples) y cuádruples que tocan (3-simples) en una empaquetadura de esfera.

Ver también

Complejo simplicial abstracto
Subdivisión baricéntrica
Triangulación dinámica causal
Conjunto delta
Cadena poligonal - complejo simplicial unidimensional
Lema de Tucker

Referencias

Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-94426-5
Maunder, Charles RF (1996), Topología algebraica (Reimpresión de la edición de 1980), Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-69131-4, MR 1402473
Hilton, Peter J .; Wylie, Shaun (1967), Homology Theory , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, MR 0115161

Languages

In other projects