Concepto en matemáticas específico del campo de la teoría de conjuntos
Para una cobertura más amplia de este tema, consulte
Intersección .
En matemáticas , la intersección de dos conjuntos y denotado por es el conjunto que contiene todos los elementos de que también pertenecen o de manera equivalente, todos los elementos de que también pertenecen a
Notación y terminología
La intersección se escribe usando el símbolo " " entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo:
La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como:
que es similar a la
notación capital-sigma .
Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .
Definición
Intersección de tres conjuntos:
Intersecciones del alfabeto
griego ,
latino y
ruso , considerando solo las formas de las letras e ignorando su pronunciación.
Ejemplo de intersección con conjuntos
La intersección de dos conjuntos y denotada por es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de los conjuntos como de los
símbolos In:
Es decir, es un elemento de la intersección si y solo si es tanto un elemento de como un elemento de
Por ejemplo:
- La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
- El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 no es primo.
Conjuntos intersectantes y disjuntos
Nosotros decimos eso
se interseca (se encuentra) si existe algunoque sea un elemento de ambosyen cuyo caso también decimos que seinterseca (se encuentra) en . De manera equivalente, secruzasi su intersecciónes un conjunto habitado , lo que significa que existe algotal que
Decimos que y son disjuntos si no se cruzan En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. y son disjuntos si su intersección está vacía , denotado
Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares interseca el conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.
Propiedades algebraicas
La intersección binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto y uno tiene
Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como . La intersección también es
conmutativa . Es decir, para cualquiera y uno tiene
La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto ,
Además, la operación de intersección es idempotente ; es decir, cualquier conjunto satisface eso . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica .
La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto y uno tiene
Dentro de un universo se puede definir el complemento de como el conjunto de todos los elementos de no en Además, la intersección de y puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan :
Intersecciones arbitrarias
La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si es un conjunto
no vacío cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y solo si para cada elemento de es un elemento de
símbolos In:
La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escribirán " ", mientras que otros escribirán " ". La última notación se puede generalizar a " ", que se refiere a la intersección de la colección.
Aquí hay un conjunto no vacío, y es un conjunto para cada
En el caso de que el conjunto índice sea el conjunto de
números naturales , se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito :
Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir " ". Este último ejemplo, una intersección de innumerables conjuntos, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre
σ-álgebras .
Intersección nulary
Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde estaba el
conjunto vacío ( ). La razón es la siguiente: la intersección de la colección se define como el conjunto (ver la notación del constructor de conjuntos )
Si está vacío, no hay conjuntos, por lo que la pregunta es "¿cuál satisface la condición establecida?" La respuesta parece ser toda posible . Cuando está vacío, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía . Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZF ), el conjunto universal no existe.
En teoría tipo sin embargo, es de un tipo prescrito por lo que la intersección se entiende que es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos son en ), y podemos definir como el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos los términos de tipo ).
Ver también
Referencias
Otras lecturas
-
Devlin, KJ (1993). La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (segunda ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
-
Munkres, James R. (2000). "Teoría y lógica de conjuntos". Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
-
Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.
enlaces externos