Cubriendo el espacio - Covering space

Un mapa de cobertura satisface la condición de trivialidad local. Intuitivamente, estos mapas proyectan localmente una "pila de panqueques" por encima de una región abierta , U , en T .

En matemáticas , específicamente en la topología algebraica , un mapa de cobertura (que también cubre la proyección ) es una función continua desde un espacio topológico a un espacio topológico de modo que cada punto tiene un vecindario abierto cubierto uniformemente por (como se muestra en la imagen). En este caso, se llama un espacio que cubre y el espacio base de la proyección de cubierta. La definición implica que cada mapa de cobertura es un homeomorfismo local . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$

Los espacios de cobertura juegan un papel importante en la teoría de la homotopía , el análisis armónico , la geometría de Riemann y la topología diferencial . En la geometría de Riemann, por ejemplo, la ramificación es una generalización de la noción de mapas de cobertura. Los espacios de cobertura también están profundamente entrelazados con el estudio de los grupos de homotopía y, en particular, el grupo fundamental . Una aplicación importante proviene del resultado de que, si es un espacio topológico "suficientemente bueno" , existe una biyección entre la colección de todas las clases de isomorfismos de recubrimientos conectados de y las clases de conjugación de subgrupos del grupo fundamental de . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Definicion formal

Sea un espacio topológico . Un espacio de cobertura de es un espacio topológico junto con un mapa sobreyectivo continuo. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$

{\ Displaystyle p \ dos puntos C \ a X}

de tal manera que para cada , existe una vecindad abierta de , tal que (la preimagen de debajo ) es una unión de conjuntos abiertos disjuntos en , cada uno de los cuales está mapeado homeomórficamente sobre por . ${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle p}$

De manera equivalente, un espacio de cobertura de puede definirse como un haz de fibras con fibras discretas. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p \ dos puntos C \ a X}$

El mapa se denomina mapa de cobertura , el espacio a menudo se denomina espacio base de la cobertura y el espacio se denomina espacio total de la cobertura. Para cualquier punto de la base, la imagen inversa de en es necesariamente un espacio discreto llamado fibra sobre . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle x}$

Los vecindarios abiertos especiales de dado en la definición se denominan vecindarios cubiertos uniformemente . Los vecindarios cubiertos de manera uniforme forman una cubierta abierta del espacio . Las copias homeomórficas de un vecindario cubierto uniformemente se denominan hojas superpuestas . Uno generalmente se imagina como "flotando arriba" , con mapeo "hacia abajo", las hojas superpuestas horizontalmente apiladas una encima de la otra y arriba , y la fibra superpuesta consiste en esos puntos que se encuentran "verticalmente arriba" . En particular, los mapas de cobertura son localmente triviales. Esto significa que a nivel local, cada mapa de recubrimiento está 'isomorfo' a una proyección en el sentido de que hay un homeomorfismo, , desde la pre-imagen , de un barrio uniformemente cubierto , en , donde es la fibra, que satisface la condición trivialización locales , que establece lo siguiente: si es la proyección sobre el primer factor, entonces la composición es igual localmente (dentro ). ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle h}$ ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U \ times F}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ pi \ colon U \ times F \ to U}$ ${\ Displaystyle \ pi \ circ h: p ^ {- 1} (U) \ to U}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (U)}$

Definiciones alternativas

Muchos autores imponen algunas condiciones de conectividad en los espacios y en la definición de un mapa de cobertura. En particular, muchos autores requieren que ambos espacios estén conectados por caminos y localmente conectados por caminos . Esto puede resultar útil porque muchos teoremas se cumplen solo si los espacios en cuestión tienen estas propiedades. Algunos autores omiten el supuesto de sobrejetividad, porque si está conectado y no está vacío, entonces la sobrejetividad del mapa de cobertura en realidad se sigue de los otros axiomas. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C}$

Ejemplos de

Cada espacio se cubre trivialmente.
Un espacio topológico conectado y localmente conectado por caminos tiene una cobertura universal si y solo si está semi-localmente simplemente conectado . ${\ Displaystyle X}$
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ es la cubierta universal del círculo ${\ Displaystyle S ^ {1}.}$
El grupo de giro es una tapa doble del grupo ortogonal especial y una tapa universal cuando . Los isomorfismos accidentales o excepcionales para los grupos de Lie dan entonces isomorfismos entre los grupos de espín en la dimensión baja y los grupos de Lie clásicos. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (n)}$ ${\ Displaystyle n> 2}$
El grupo unitario tiene cobertura universal . ${\ Displaystyle \ operatorname {U} (n)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n) \ times \ mathbb {R}}$
La n-esfera es una doble cubierta del espacio proyectivo real y es una cubierta universal para . ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle P_ {n} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle n> 1}$
Cada colector tiene una doble tapa orientable que se conecta si y solo si el colector no es orientable.
El teorema de la uniformización afirma que cada superficie de Riemann tiene una cubierta universal equivalente conforme a la esfera de Riemann , el plano complejo o el disco unitario.
La cobertura universal de una cuña de círculos es el gráfico de Cayley del grupo libre en generadores, es decir, una red Bethe . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$
El toro es una doble tapa de la botella de Klein . Esto se puede ver utilizando los polígonos para el toro y la botella de Klein, y observando que la doble tapa del círculo (incrustada en el envío ). ${\ Displaystyle S ^ {1} \ to S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {2}}$
Cada gráfico tiene una cubierta doble bipartita . Dado que cada gráfico es homotópico a una cuña de círculos, su cobertura universal es un gráfico de Cayley.
Cada inmersión de un colector compacto a un colector de la misma dimensión es una cobertura de su imagen.
Otra herramienta eficaz para la construcción de espacios de cobertura es el uso de cocientes mediante acciones libres de grupos finitos.
Por ejemplo, el espacio se define por el cociente de (incrustado en ) a través de la -acción . Este espacio, llamado espacio de lentes , tiene grupo fundamental y tiene cobertura universal . ${\ Displaystyle L_ {p / q}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / q}$ ${\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto (e ^ {2 \ pi i / q} z_ {1}, e ^ {2 \ pi ip / q} z_ {2})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / q}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$
El mapa de esquemas afines forma un espacio de cobertura con su grupo de transformaciones de cubierta. Este es un ejemplo de una cubierta cíclica de Galois . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

Propiedades

Propiedades locales comunes

Cada portada es un homeomorfismo local ; Es decir, para cada , existe un entorno de c y una zona de tal manera que la restricción de p a T produce un homeomorfismo de U a V . Esto implica que C y X comparten todas las propiedades locales. Si X está simplemente conectado y C está conectado, entonces esto también es válido globalmente, y la cobertura p es un homeomorfismo. ${\ Displaystyle p \ dos puntos C \ a X}$ ${\ Displaystyle c \ in C}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq C}$ ${\ Displaystyle V \ subseteq X}$ ${\ Displaystyle p (c)}$
Si y están cubriendo mapas, entonces también lo es el mapa dado por . ${\ Displaystyle p \ colon E \ to B}$ ${\ Displaystyle p '\ colon E' \ to B '}$ ${\ Displaystyle p \ times p '\ dos puntos E \ times E' \ to B \ times B '}$ ${\ Displaystyle (p \ times p ') (e, e') = (p (e), p '(e'))}$

Homeomorfismo de las fibras

Para cada x en X , la fibra sobre x es un discreto subconjunto de C . En cada componente conectado de X , las fibras son homeomórficas.

Si X está conectado, hay un espacio discreto F tal que para cada x en X la fibra sobre x es homeomórfica a F y, además, para cada x en X hay un vecindario U de x tal que su preimagen completa p ^-1 ( U ) es homeomorfo a U × F . En particular, la cardinalidad de la fibra sobre x es igual a la cardinalidad de F y se llama el grado de la cubierta p : C → X . Así, si cada fibra tiene n elementos, hablamos de una cubierta de n pliegues (para el caso n = 1 , la cubierta es trivial; cuando n = 2 , la cubierta es una cubierta doble ; cuando n = 3 , la cubierta es una cubierta triple y así sucesivamente).

Propiedades de elevación

Si p : C → X es una cobertura y γ es una ruta en X (es decir, un mapa continuo desde el intervalo unitario [0, 1] en X ) y c ∈ C es un punto "que se encuentra sobre" γ (0) (es decir p ( c ) = γ (0)) , entonces existe una ruta única Γ en C que se encuentra sobre γ (es decir, p ∘ Γ = γ ) tal que Γ (0) = c . La curva Γ se llama elevación de γ. Si x y y son dos puntos en X conectadas por un camino, entonces ese camino proporciona una biyección entre la fibra sobre x y la fibra sobre y a través de la propiedad de elevación.

De manera más general, sea f : Z → X un mapa continuo a X desde un espacio Z conectado con una ruta y con una ruta local conectada . Fije un punto base z ∈ Z y elija un punto c ∈ C "que se encuentre sobre" f ( z ) (es decir, p ( c ) = f ( z ) ). Entonces existe una elevación de f (es decir, un mapa continuo g : Z → C para el cual p ∘ g = f y g ( z ) = c ) si y solo si los homomorfismos inducidos f _# : $π$ ₁ ( Z , z ) → $π$ ₁ ( X , f ( z )) y p _# : $π$ ₁ ( C , c ) → $π$ ₁ ( X , f ( z )) a nivel de grupos fundamentales satisfacer

{\ Displaystyle f _ {\ #} (\ pi _ {1} (Z, z)) \ subconjunto p _ {\ #} (\ pi _ {1} (C, c)).}

( ♠ )

Además, si existe tal elevación g de f , es única.

En particular, si se supone que el espacio Z está simplemente conectado (de modo que $π$ ₁ ( Z , z ) es trivial), la condición (♠) se satisface automáticamente y cada mapa continuo de Z a X se puede levantar. Dado que el intervalo unitario [0, 1] está simplemente conectado, la propiedad de elevación para caminos es un caso especial de la propiedad de elevación para mapas indicados anteriormente.

Si p : C → X es una cobertura y c ∈ C y x ∈ X son tales que p ( c ) = x , entonces p _# es inyectivo a nivel de grupos fundamentales , y los homomorfismos inducidos p _# : $π$ _n ( C , c ) → $π$ _n ( X , x ) son isomorfismos para todo n ≥ 2 . Ambas afirmaciones se pueden deducir de la propiedad de elevación para mapas continuos. Sobreyectividad de p _# para n ≥ 2 se deduce del hecho de que para todos tal n , el n -sphere S ⁿ está conectado simplemente y por lo tanto cada aplicación continua de S ⁿ a X se puede levantar a C .

Equivalencia

Sean p ₁ : C ₁ → X y p ₂ : C ₂ → X dos coberturas. Se dice que las dos coberturas p ₁ y p ₂ son equivalentes si existe un homeomorfismo p ₂₁ : C ₂ → C ₁ y tal que p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ . Las clases de equivalencia de revestimientos corresponden a clases de conjugación de subgrupos del grupo fundamental de X , como se analiza a continuación. Si p ₂₁ : C ₂ → C ₁ es una cobertura (en lugar de un homeomorfismo) y p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ , entonces se dice que p ₂ domina a p ₁ .

Recubrimiento de un colector

Desde revestimientos son locales homeomorfismos , una cubierta de un topológica n - colector es un n -manifold. (Se puede probar que el espacio de cobertura es contable en segundo lugar por el hecho de que el grupo fundamental de una variedad siempre es contable ). Sin embargo, un espacio cubierto por una variedad n puede ser una variedad que no es de Hausdorff . Se da un ejemplo al dejar que C sea el plano con el origen eliminado y X el espacio del cociente obtenido al identificar cada punto ( x , y ) con (2 x , y / 2) . Si p : C → X es el mapa del cociente, entonces es una cobertura ya que la acción de Z sobre C generada por f ( x , y ) = (2 x , y / 2) es propiamente discontinua . El puntos p (1, 0) y p (0, 1) no tienen barrios disjuntos en X .

Cualquier espacio de cobertura de una variedad diferenciable puede estar equipado con una estructura diferenciable (natural) que convierte p (el mapa de cobertura en cuestión) en un difeomorfismo local , un mapa con rango constante n .

Cubiertas universales

Un espacio de cobertura es un espacio de cobertura universal si simplemente está conectado . El nombre cobertura universal proviene de la siguiente propiedad importante: si el mapeo q : D → X es una cobertura universal del espacio X y el mapeo p : C → X es cualquier cobertura del espacio X donde está conectado el espacio de cobertura C , entonces existe un mapa de cobertura f : D → C tal que p ∘ f = q . Esto puede expresarse como

La cubierta universal (del espacio X ) cubre cualquier cubierta conectada (del espacio X ).

El mapa f es único en el siguiente sentido: si fijamos un punto x en el espacio X y un punto d en el espacio D con q ( d ) = x y un punto c en el espacio C con p ( c ) = x , entonces existe un mapa de cobertura único f : D → C tal que p ∘ f = q y f ( d ) = c .

Si el espacio X tiene una cobertura universal entonces que la cobertura universal es esencialmente único: si las asignaciones de q ₁ : D ₁ → X y q ₂ : D ₂ → X son dos tapas universales del espacio X entonces existe un homeomorfismo f : D ₁ → D ₂ tal que q ₂ ∘ f = q ₁ .

El espacio X tiene una cobertura universal si está conectado , localmente ruta conectados y semi-localmente simplemente conexo . La cubierta universal del espacio X puede ser construido como un cierto espacio de trayectorias en el espacio X . Más explícitamente, forma un paquete principal con el grupo fundamental $π 1 (X)$ como grupo de estructura.

El ejemplo R → S ¹ dado arriba es una cubierta universal. El mapa S ³ → SO (3) desde los cuaterniones unitarios hasta las rotaciones del espacio 3D descrito en los cuaterniones y la rotación espacial también es una cobertura universal.

Si el espacio tiene alguna estructura adicional, entonces su cubierta universal generalmente hereda esa estructura: ${\ Displaystyle X}$

Si el espacio es un colector , entonces también lo es su cobertura universal D . ${\ Displaystyle X}$
Si el espacio es una superficie de Riemann , entonces también lo es su cubierta universal D , y es un mapa holomórfico . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$
Si el espacio es una variedad de Riemann , entonces también lo es su cobertura universal, y es una isometría local . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$
Si el espacio es una variedad de Lorentz , entonces también lo es su cobertura universal. Además, suponga que el subconjunto p ⁻¹ ( U ) es una unión disjunta de conjuntos abiertos, cada uno de los cuales es difeomórfico con U según el mapeo . Si el espacio contiene una curva temporal cerrada (CTC), entonces el espacio tiene una conexión temporal multiplicada (ningún CTC puede ser homotópico temporal en un punto, ya que ese punto no se comportaría causalmente bien), su cobertura universal (difeomórfica) es temporal simplemente conectado (no contiene CTC). ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$
Si X es un grupo de Lie (como en los dos ejemplos anteriores), entonces también lo es su cobertura universal D , y el mapeo p es un homomorfismo de grupos de Lie. En este caso, la cubierta universal también se denomina grupo de cubierta universal . Esto tiene una aplicación particular a la teoría de la representación y la mecánica cuántica , ya que las representaciones ordinarias del grupo de cobertura universal ( D ) son representaciones proyectivas del grupo original (clásico) ( X ).

La cobertura universal surgió por primera vez en la teoría de las funciones analíticas como el dominio natural de una continuación analítica .

Recubrimientos G

Deje que G sea un grupo discreto que actúa en el espacio topológico X . Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H _g de X sobre sí mismo, de tal manera que H _{g h} es siempre igual a H _g ∘ H _h para dos elementos g y h de G cualesquiera . (O en otras palabras, una acción de grupo del grupo G en el espacio X es simplemente un homomorfismo de grupo del grupo G en el grupo Homeo ( X ) de auto-homeomorfismos de X ). Es natural preguntarse bajo qué condiciones el La proyección de X al espacio orbital X / G es un mapa de cobertura. Esto no siempre es cierto ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X por la acción de giro donde el elemento no identitario actúa por ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.

Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se maneja mejor si se consideran los grupos que actúan sobre los grupoides y los correspondientes grupos de órbitas . La teoría para esto se establece en el Capítulo 11 del libro Topología y agrupaciones a las que se hace referencia a continuación. El resultado principal es que para las acciones discontinuas de un grupo G en un espacio de Hausdorff X que admite una cobertura universal, entonces el grupoide fundamental del espacio orbital X / G es isomorfo al grupoide orbital del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de que groupoid por la acción del grupo G . Esto conduce a cálculos explícitos, por ejemplo, del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.

Grupo de transformación de cubierta (cubierta), cubiertas regulares

Una transformación de recubrimiento o transformación de cubierta o automorfismo de una cubierta es un homeomorfismo tal que . El conjunto de todas las transformaciones de mazos de forma un grupo en composición , el grupo de transformación de mazos . Las transformaciones de cubierta también se denominan transformaciones de cobertura . Cada transformación de la plataforma permuta los elementos de cada fibra. Esto define una acción de grupo del grupo de transformación de cubierta en cada fibra. Tenga en cuenta que por la propiedad de elevación única, si no es la identidad y está conectado a la ruta, entonces no tiene puntos fijos . ${\ Displaystyle p: C \ a X}$ ${\ Displaystyle f: C \ a C}$ ${\ Displaystyle p \ circ f = p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (p)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle f}$

Ahora suponga que es un mapa de cobertura y (y por lo tanto también ) está conectado y con una ruta de acceso local. La acción de sobre cada fibra es gratuita . Si esta acción es transitiva en alguna fibra, entonces es transitiva en todas las fibras, y llamamos a la cobertura regular (o normal o Galois ). Cada cobertura regular de este tipo es un paquete principal , donde se considera un grupo topológico discreto. ${\ Displaystyle p: C \ a X}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (p)}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G = \ operatorname {Aut} (p)}$

Cada cobertura universal es regular, siendo el grupo de transformación de mazo isomorfo al grupo fundamental . ${\ Displaystyle p: D \ a X}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Como otro ejemplo importante, considere el plano complejo y el plano complejo menos el origen. Entonces el mapa con es una portada regular. Las transformaciones de la plataforma son multiplicaciones con -ésima raíz de la unidad y, por lo tanto, el grupo de transformación de la plataforma es isomorfo al grupo cíclico . Asimismo, el mapa con es la portada universal. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle p \ colon \ mathbb {C} ^ {\ times} \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle p (z) = z ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle \ exp (z) = e ^ {z}}$

Acción monodromía

Supongamos de nuevo que hay un mapa de cobertura y que C (y por lo tanto también X ) está conectado y una ruta de acceso local. Si x está en X y c pertenece a la fibra sobre x (es decir, ), y es una ruta con , entonces esta ruta se eleva a una ruta única en C con el punto de partida c . El punto final de esta trayectoria elevada no necesita ser c , pero debe estar en la fibra sobre x . Resulta que este punto final solo depende de la clase de γ en el grupo fundamental $π$ ₁ ( X , x ) . De esta manera obtenemos una acción de grupo derecha de $π$ ₁ ( X , x ) en la fibra sobre x . Esto se conoce como acción monodromía . ${\ Displaystyle p \ dos puntos C \ a X}$ ${\ Displaystyle p (c) = x}$ ${\ Displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ to X}$ ${\ Displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1) = x}$

Hay dos acciones en la fibra sobre x : Aut ( p ) actúa a la izquierda y $π$ ₁ ( X , x ) actúa a la derecha. Estas dos acciones son compatibles en el siguiente sentido: para todo f en Aut ( p ), c en p ⁻¹ ( x ) y γ en $π$ ₁ ( X , x ) . ${\ Displaystyle f \ cdot (c \ cdot \ gamma) = (f \ cdot c) \ cdot \ gamma}$

Si p es una cobertura universal, entonces Aut ( p ) se puede identificar naturalmente con el grupo opuesto de $π$ ₁ ( X , x ) de modo que la acción izquierda del grupo opuesto de $π$ ₁ ( X , x ) coincida con la acción de Aut ( p ) en la fibra sobre x . Tenga en cuenta que Aut ( p ) y $π$ ₁ ( X , x ) son naturalmente isomorfos en este caso (ya que un grupo siempre es naturalmente isomorfo a su opuesto a través de g ↦ g ⁻¹ ) .

Si p es una cobertura regular , entonces Aut ( p ) es naturalmente isomorfo a un cociente de $π$ ₁ ( X , x ) .

En general (para buenos espacios), Aut ( p ) es naturalmente isomorfo al cociente del normalizador de p _* ( $π$ ₁ ( C , c )) en $π$ ₁ ( X , x ) sobre p _* ( $π$ ₁ ( C , c )) , donde p ( c ) = x .

Más sobre la estructura del grupo

Sea p : C → X un mapa de cobertura donde tanto X como C están conectados por caminos. Sea x ∈ X un punto base de X y sea c ∈ C una de sus preimágenes en C , es decir p ( c ) = x . Existe un homomorfismo inducido de los grupos fundamentales p _# : $π$ ₁ ( C , c ) → $π$ ₁ ( X , x ) que es inyectivo por la propiedad de elevación de los revestimientos. Específicamente, si γ es un ciclo cerrado en c tal que p _# ([ γ ]) = 1 , es decir, p ∘ γ es homotópico nulo en X , entonces considere una homotopía nula de p ∘ γ como un mapa f : D ² → X de la 2-disco D ² a X tal que la restricción de f al límite S ¹ de D ² es igual a p ∘ gamma . Por la propiedad de elevación, el mapa f se eleva a un mapa continuo g : D ² → C tal que la restricción de g al límite S ¹ de D ² es igual a γ . Por lo tanto, γ es nulo-homotópico en C , de modo que el núcleo de p _# : $π$ ₁ ( C , c ) → $π$ ₁ ( X , x ) es trivial y por lo tanto p _# : $π$ ₁ ( C , c ) → $π$ ₁ ( X , x ) es un homomorfismo inyectivo.

Por lo tanto, $π$ ₁ ( C , c ) es isomorfo al subgrupo p _# ( $π$ ₁ ( C , c )) de $π$ ₁ ( X , x ) . Si c ₁ ∈ C es otra imagen previa de x en C entonces el subgrupos p _# ( $π$ ₁ ( C , c )) y p _# ( $π$ ₁ ( C , c ₁ )) son conjugado en $π$ ₁ ( X , x ) por p -imagen de una curva en C que conecta c con c ₁ . Así, un mapa de cobertura p : C → X define una clase de conjugación de subgrupos de $π$ ₁ ( X , x ) y se puede mostrar que las cubiertas equivalentes de X definen la misma clase de conjugación de subgrupos de $π$ ₁ ( X , x ) .

Para una cobertura p : C → X, el grupo p _# ( $π$ ₁ ( C , c )) también puede verse como igual a

{\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (c) = \ {[\ gamma]: \ gamma _ {C} {\ text {es una curva cerrada en}} C {\ text {que pasa por}} c \ en C \},}

el conjunto de clases de homotopía de aquellas curvas cerradas γ basadas en x cuyas elevaciones γ _C en C , comenzando en c , son curvas cerradas en c . Si X y C están conectados en una ruta, el grado de cobertura p (es decir, la cardinalidad de cualquier fibra de p ) es igual al índice [ $π$ ₁ ( X , x ): p _# ( $π$ ₁ ( C , c )) ] del subgrupo p _# ( $π$ ₁ ( C , c )) en $π$ ₁ ( X , x ) .

Un resultado clave de la teoría del espacio de cobertura dice que para un espacio X "suficientemente bueno" (es decir, si X está conectado a un camino, conectado a un camino localmente y está conectado simplemente de manera semiclocalmente ) hay de hecho una biyección entre clases de camino de equivalencia -cubiertas conectadas de X y las clases de conjugación de subgrupos del grupo fundamental $π$ ₁ ( X , x ) . El paso principal para demostrar este resultado es establecer la existencia de una cobertura universal, es decir, una cobertura correspondiente al subgrupo trivial de $π$ ₁ ( X , x ) . Una vez que la existencia de una cobertura universal C de X se establece, si H ≤ $pi$ ₁ ( X , x ) es un subgrupo arbitraria, el espacio C / H es la cubierta de X correspondiente a H . También es necesario comprobar que dos cubiertas de X correspondientes al mismo subgrupo (clase de conjugación de) de $π$ ₁ ( X , x ) son equivalentes. Conectados complejos de células y conectados colectores son ejemplos de espacios "suficientemente buenas".

Sea N ( Γ _p ) el normalizador de Γ _p en $π$ ₁ ( X , x ) . El grupo de transformación de mazos Aut ( p ) es isomorfo al grupo cociente N (Γ _p ) / Γ _p . Si p es una cobertura universal, entonces Γ _p es el grupo trivial y Aut ( p ) es isomorfo a $π$ ₁ ( X ).

Invirtamos este argumento. Sea N un subgrupo normal de $π$ ₁ ( X , x ) . Por los argumentos anteriores, esto define una (regular) que cubre p : C → X . Sea c ₁ en C en la fibra de x . Entonces, para cada otro c ₂ en la fibra de x , no es precisamente una transformación cubierta que lleva c ₁ a c ₂ . Esta transformación del tablero corresponde a una curva g en C que conecta c ₁ con c ₂ .

Relaciones con los grupoides

Una de las formas de expresar el contenido algebraico de la teoría de la cobertura de espacios es el uso de groupoids y el groupoid fundamental . El último funtor da una equivalencia de categorías.

{\ Displaystyle \ pi _ {1}: \ operatorname {TopCov} (X) \ to \ operatorname {GpdCov} (\ pi _ {1} X)}

entre la categoría de espacios de cobertura de un espacio X razonablemente agradable y la categoría de morfismos de cobertura grupoide de $π$ ₁ ( X ). Así, un tipo particular de mapa de espacios está bien modelado por un tipo particular de morfismo de los grupoides. La categoría de morfismos de recubrimiento de un grupoide G es también equivalente a la categoría de acciones de G sobre conjuntos, y esto permite recuperar clasificaciones de recubrimientos más tradicionales.

Relaciones con espacios de clasificación y cohomología grupal

Si X es un conectado complejo célula con grupos de homotopía $pi$ _n ( X ) = 0 para todos los n ≥ 2 , entonces el espacio recubrimiento universal T de X es contráctil, como la aplicación de las teorema Whitehead a T . En este caso, X es un espacio de clasificación o K ( G , 1) para G = $π$ ₁ ( X ) .

Por otra parte, para cada n ≥ 0 el grupo de celulares n -Cadenas C _n ( T ) (es decir, un grupo abeliano libre con base dada por n -Cells en T ) también tiene un naturales Z G - módulo de estructura. Aquí, para una n- celda σ en T y para g en G, la celda g σ es exactamente la traducción de σ por una transformación de cobertura de T correspondiente a g . Por otra parte, C _n ( T ) es un libre Z G -módulo con conexión Z G -basis propuesta por representantes de G -orbits de n -Cells en T . En este caso, el complejo de cadena topológica estándar

{\ Displaystyle \ cdots {\ desbordar {\ parcial} {\ a}} C_ {n} (T) {\ desbordar {\ parcial} {\ a}} C_ {n-1} (T) {\ desbordar {\ parcial} {\ to}} \ cdots {\ overset {\ parcial} {\ to}} C_ {0} (T) {\ overset {\ varepsilon} {\ to}} \ mathbf {Z},}

donde ε es el mapa de aumento , es un libre Z G -Resolución de Z (donde Z está equipado con el trivial Z G estructura -module, GM = m por cada g ∈ G y cada m ∈ Z ). Esta resolución se puede utilizar para calcular la cohomología de grupo de G con coeficientes arbitrarios.

El método de Graham Ellis para calcular resoluciones de grupo y otros aspectos del álgebra homológica, como se muestra en su artículo en J. Symbolic Comp. y su página web que se enumera a continuación, es construir una cubierta universal de una K ( G , 1) prospectiva inductivamente al mismo tiempo que una homotopía contratante de esta cubierta universal. Es este último el que da el método computacional.

Generalizaciones

Como teoría de la homotopía, la noción de cubrir espacios funciona bien cuando el grupo de transformación de la plataforma es discreto o, de manera equivalente, cuando el espacio está conectado localmente con una ruta . Sin embargo, cuando el grupo de transformación del tablero es un grupo topológico cuya topología no es discreta , surgen dificultades. Se han hecho algunos avances para espacios más complejos, como el pendiente hawaiano ; consulte las referencias allí para obtener más información.

Varias de estas dificultades se resuelven con la noción de semicoverificación debida a Jeremy Brazas, véase el artículo citado a continuación. Todo mapa de cobertura es un semicubrimiento, pero los semicubrimientos cumplen la regla "2 de 3": dada una composición h = fg de mapas de espacios, si dos de los mapas son semicubrimientos, también lo es el tercero. Esta regla no se aplica a las coberturas, ya que no es necesario que la composición de los mapas de cobertura sea un mapa de cobertura.

Otra generalización es a las acciones de un grupo que no son libres. Ross Geoghegan en su revisión de 1986 ( MR 0760769 ) de dos artículos de MA Armstrong sobre los grupos fundamentales de espacios orbitales escribió: "Estos dos artículos muestran qué partes de la teoría del espacio de cobertura elemental se trasladan del caso libre al no libre. tipo de material básico que debería haber estado en los libros de texto estándar sobre grupos fundamentales durante los últimos cincuenta años ". En la actualidad, "Topología y grupos" que se enumeran a continuación parece ser el único texto de topología básica que cubre tales resultados.

Aplicaciones

El bloqueo del cardán se produce porque cualquier mapa T ³ → RP ³ no es un mapa de cobertura. En particular, el mapa relevante lleva cualquier elemento de T ³ , es decir, un triple ordenado (a, b, c) de ángulos (números reales mod 2

π

), a la composición de las tres rotaciones del eje de coordenadas R _x (a) ∘R _y (b) ∘R _z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO (3), que topológicamente es RP ³ . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está en bloqueo de cardán . En este caso, puede cabecear o guiñar, pero no rodar (girar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

Una aplicación práctica importante de cubrir espacios se produce en los gráficos de SO (3) , el grupo de rotación . Este grupo se encuentra ampliamente en la ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en la navegación , la ingeniería náutica y la ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO (3) es el espacio proyectivo real RP ³ , con el grupo fundamental Z / 2, y solo (no trivial) que cubre el espacio la hiperesfera S ³ , que es el grupo Spin (3) , y representada por la unidad de cuaterniones. . Por lo tanto, los cuaterniones son un método preferido para representar rotaciones espaciales; consulte los cuaterniones y la rotación espacial .

Sin embargo, a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto porque esto es conceptualmente más simple para alguien familiarizado con la rotación plana como porque se puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa del 3-toro T ³ de tres ángulos al espacio proyectivo real RP ³ de rotaciones, y el mapa resultante tiene imperfecciones debido a que este mapa no puede ser un mapa de cobertura. Específicamente, el hecho de que el mapa no sea un homeomorfismo local en ciertos puntos se denomina bloqueo de cardán , y se demuestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares) el rango del mapa es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza con la noción de espacio de cobertura.

Ver también

Bethe lattice es la cubierta universal de un gráfico Cayley
Gráfico de cobertura , un espacio de cobertura para un gráfico no dirigido y su caso especial, la cubierta doble bipartita.
Grupo de cobertura
Conexión de Galois
Espacio de cociente (topología)

Notas

Referencias

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