Superficie K3 - K3 surface

Una superficie cuártica lisa en 3 espacios. La figura muestra parte de los puntos reales (de dimensión real 2) en una cierta superficie compleja K3 (de dimensión compleja 2, por lo tanto dimensión real 4).

En matemáticas , una superficie K3 analítica compleja es una variedad compleja compacta conectada de dimensión 2 con un paquete canónico trivial y una irregularidad cero. An (algebraica) K3 superficie sobre cualquier campo significa un suavizar adecuado geométricamente conectado superficie algebraica que satisfaga las mismas condiciones. En la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira , las superficies K3 forman una de las cuatro clases de superficies mínimas de la dimensión cero de Kodaira . Un ejemplo sencillo es la superficie cuartica de Fermat.

${\ Displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}$

en complejo proyectivo de 3 espacios .

Junto con tori complejos compactos bidimensionales , las superficies K3 son las variedades Calabi-Yau (y también las variedades Hyperkähler ) de dimensión dos. Como tales, están en el centro de la clasificación de las superficies algebraicas, entre las superficies del Pezzo curvadas positivamente (que son fáciles de clasificar) y las superficies curvadas negativamente de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas y, sin embargo, donde es posible una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene una dimensión real de 4 y juega un papel importante en el estudio de 4 variedades lisas . Las superficies K3 se han aplicado a las álgebras de Kac-Moody , la simetría especular y la teoría de cuerdas .

Puede ser útil pensar en superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no tienen tales deformaciones no algebraicas.

Definición

Hay varias formas equivalentes de definir superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con un paquete canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos, por lo que se puede agregar cualquier condición excluyendo la última para definir las superficies K3. Por ejemplo, es equivalente a definir una superficie K3 analítica compleja como una variedad compleja compacta simplemente conectada de dimensión 2 con una forma 2 holomórfica que no desaparece en ninguna parte . (La última condición dice exactamente que el paquete canónico es trivial).

También hay algunas variantes de la definición. Sobre los números complejos, algunos autores consideran solo las superficies algebraicas K3. (Una superficie algebraica K3 es automáticamente proyectiva ). O se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades du Val (las singularidades canónicas de dimensión 2), en lugar de ser suaves.

Cálculo de los números Betti

Los números de Betti de una superficie analítica compleja K3 se calculan de la siguiente manera. (Un argumento similar da la misma respuesta para los números Betti de una superficie algebraica K3 sobre cualquier campo, definido usando cohomología l-ádica .) Por definición, el paquete canónico es trivial y la irregularidad q ( X ) (la dimensión de la coherente gavilla cohomology grupo ) es cero. Por la dualidad de Serre , ${\ Displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {2}}$${\ Displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}$

${\ Displaystyle h ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}$

Como resultado, el género aritmético (o característica holomórfica de Euler ) de X es:

${\ Displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}): = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, {\ mathcal {O} } _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}$

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice:

${\ Displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = {\ frac {1} {12}} \ left (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) \ derecha),}$

donde es la i -ésima clase Chern del haz tangente . Dado que es trivial, su primera clase Chern es cero, y así . ${\ Displaystyle c_ {i} (X)}$${\ Displaystyle K_ {X}}$${\ Displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = - c_ {1} (X)}$${\ Displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

A continuación, la secuencia exponencial da una secuencia exacta de grupos de cohomología , y así . Así, el número de Betti es cero, y por la dualidad de Poincaré , también es cero. Finalmente, es igual a la característica topológica de Euler${\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {X} \ to O_ {X} \ to O_ {X} ^ {*} \ to 0}$${\ Displaystyle 0 \ to H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ to H ^ {1} (X, O_ {X})}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$${\ Displaystyle b_ {1} (X)}$${\ Displaystyle b_ {3} (X)}$${\ Displaystyle c_ {2} (X) = 24}$

${\ Displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}$

Desde y , sigue eso . ${\ Displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$${\ Displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$${\ Displaystyle b_ {2} (X) = 22}$

Propiedades

• Dos superficies K3 analíticas complejas son difeomórficas como 4-variedades lisas, por Kunihiko Kodaira .
• Cada superficie K3 analítica compleja tiene una métrica de Kähler , de Yum-Tong Siu . (De manera análoga, pero mucho más fácil: cada superficie K3 algebraica sobre un campo es proyectiva). Según la solución de Shing-Tung Yau a la conjetura de Calabi , se deduce que cada superficie K3 analítica compleja tiene una métrica de Kähler plana de Ricci .
• Los números de Hodge de cualquier superficie K3 se enumeran en el diamante de Hodge:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Una forma de mostrar esto es calcular el ideal jacobiano de una superficie K3 específica y luego usar una variación de la estructura de

  Hodge en los módulos de las superficies algebraicas K3 para mostrar que todas esas superficies K3 tienen los mismos números de Hodge. Se puede realizar un cálculo más bajo utilizando el cálculo de los números de Betti junto con las partes de la estructura de Hodge calculadas para una superficie K3 arbitraria. En este caso, la simetría de Hodge fuerza , por lo tanto . Para superficies K3 en la característica p > 0, esto fue demostrado por primera vez por Alexey Rudakov e Igor Shafarevich .${\ Displaystyle H ^ {2} (X; \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X; \ Omega _ {X} ^ {2}) \ cong \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X, \ Omega _ {X}) \ cong \ mathbb {C} ^ {20}}$
• Para una superficie X analítica compleja de K3 , la forma de intersección (o producto de copa ) es una forma bilineal simétrica con valores en los números enteros, conocida como la red K3 . Esto es isomorfo al enrejado incluso unimodular , o de manera equivalente , donde U es el enrejado hiperbólico de rango 2 y es el enrejado E8 .${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {II} _ {3,19}}$${\ Displaystyle E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$${\ Displaystyle E_ {8}}$
• La conjetura 11/8 de Yukio Matsumoto predice que cada X de 4 colectores de orientación suave con forma de intersección uniforme tiene un segundo número Betti al menos 11/8 veces el valor absoluto de la firma . Esto sería óptimo si es cierto, ya que la igualdad se cumple para una superficie compleja K3, que tiene la firma 3−19 = −16. La conjetura implicaría que cada 4-múltiple liso simplemente conectado con forma de intersección uniforme es homeomorfo a una suma conectada de copias de la superficie K3 y de .${\ Displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {2}}$
• Cada superficie compleja que es difeomórfica a una superficie K3 es una superficie K3, por Robert Friedman y John Morgan . Por otro lado, existen superficies lisas complejas (algunas de ellas proyectivas) que son homeomorfas pero no difeomorfas a una superficie K3, de Kodaira y Michael Freedman . Estas "superficies de homotopía K3" tienen todas la dimensión 1 de Kodaira.

Ejemplos de

• La doble cobertura X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva séxtica suave (grado 6) es una superficie K3 del género 2 (es decir, grado 2 g -2 = 2). (Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en es una curva suave del género 2.)${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$
• Una superficie cuártica lisa (grado 4) en es una superficie K3 del género 3 (es decir, grado 4).${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana bidimensional A por la acción . Estos resultados en 16 singularidades, en los puntos 2-torsión de A . La resolución mínima de esta superficie singular también puede denominarse superficie de Kummer; esa resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva del género 2, Kummer mostró que el cociente se puede incrustar como una superficie cuártica con 16 nodos .${\ Displaystyle a \ mapsto -a}$${\ Displaystyle A / (\ pm 1)}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$
• De manera más general: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades du Val, la resolución mínima de Y es una superficie algebraica K3.
• La intersección de un cuadrático y un cúbico en es una superficie K3 del género 4 (es decir, grado 6).${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$
• La intersección de tres cuadrículas en es una superficie K3 del género 5 (es decir, grado 8).${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}}$
• Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades du Val en espacios proyectivos ponderados .

La celosía de Picard

El Picard grupo PIC ( X ) de un complejo analítica superficie K3 X significa el grupo abeliano de complejos línea paquetes analíticos en X . Para una superficie K3 algebraica, PIC ( X ) significa el grupo de línea paquetes algebraicas en X . Las dos definiciones están de acuerdo para una superficie K3 algebraica compleja, por Jean-Pierre Serre 's GAGA teorema.

El grupo Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre finitamente generado ; su rango se llama número Picard . En el caso complejo, Pic ( X ) es un subgrupo de . Es una característica importante de las superficies K3 que pueden ocurrir muchos números Picard diferentes. Para X, una superficie K3 algebraica compleja, puede ser cualquier número entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo, también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene curvas complejas cerradas en absoluto. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas.) Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0, hay una clase especial de superficies K3, supersingulares Superficies K3 , con Picard número 22. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$

La celosía Picard de una superficie K3 significa el grupo abeliano Pic ( X ) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en números enteros. (Sobre , la forma de intersección significa la restricción de la forma de intersección en . Sobre un campo general, la forma de intersección se puede definir usando la teoría de intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo Picard con el grupo de clase divisor ). el enrejado de una superficie K3 es siempre par , lo que significa que el número entero es par para cada uno . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle u ^ {2}}$${\ Displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$

El teorema del índice de Hodge implica que la red de Picard de una superficie algebraica K3 tiene firma . Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su red Picard, como una forma bilineal simétrica sobre los números enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de superficies K3 y la aritmética de formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie K3 analítica compleja es algebraica si y solo si hay un elemento con . ${\ Displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ Displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ Displaystyle u ^ {2}> 0}$

En términos generales, el espacio de todas las superficies analíticas complejas K3 tiene dimensión compleja 20, mientras que el espacio de las superficies K3 con número de Picard tiene dimensión (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies algebraicas K3 ocurren en familias de 19 dimensiones. A continuación se proporcionan más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle 20- \ rho}$

La descripción precisa de qué celosías pueden ocurrir como celosías Picard de superficies K3 es complicada. Una declaración clara, debido a Viacheslav Nikulin y David Morrison , es que cada incluso celosía de la firma con es la celosía Picard de alguna superficie K3 descriptivo complejo. El espacio de tales superficies tiene dimensión . ${\ Displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ Displaystyle \ rho \ leq 11}$${\ Displaystyle 20- \ rho}$

Superficies elípticas K3

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, consiste en las superficies K3 con una fibración elíptica . "Elíptica" significa que todas, salvo un número finito de fibras de este morfismo, son curvas suaves del género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales , con los posibles tipos de fibras singulares clasificadas por Kodaira. Siempre hay algunas fibras singulares, ya que la suma de las características topológicas de Euler de las fibras singulares es . Una superficie K3 elíptica general tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de un tipo (una curva cúbica nodal). ${\ Displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ chi (X) = 24}$${\ Displaystyle I_ {1}}$

Si una superficie K3 es elíptica se puede leer en su red Picard. Es decir, en la característica no 2 o 3, una superficie K3 X tiene una fibración elíptica si y solo si hay un elemento distinto de cero con . (En la característica 2 o 3, la última condición también puede corresponder a una fibración cuasi elíptica ). De ello se deduce que tener una fibración elíptica es una condición de codimensión 1 en una superficie K3. Así que hay familias de 19 dimensiones de superficies K3 analíticas complejas con una fibración elíptica, y espacios de módulos de 18 dimensiones de superficies K3 proyectivas con una fibración elíptica. ${\ Displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$${\ Displaystyle u ^ {2} = 0}$

Ejemplo: Cada suavizar superficie quartic X en que contiene una línea L tiene un fibración elíptica , dada por la proyección de distancia de L . El espacio de módulos de todas las superficies cuarticas lisas (hasta el isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuarticas que contienen una línea tiene dimensión 18. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$

Curvas racionales en superficies K3

A diferencia de las variedades con curvas positivas, como las superficies del Pezzo, una superficie X algebraica compleja de K3 no es uniruled ; es decir, no está cubierto por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades con curvas negativas, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singular). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que cada curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales.

Otro contraste con las variedades con curvas negativas es que la métrica de Kobayashi en una superficie X analítica compleja de K3 es idénticamente cero. La prueba utiliza que una superficie X algebraica K3 siempre está cubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. (Estas curvas son singulares en X , a menos que X sea ​​una superficie elíptica K3.) Una pregunta más importante que permanece abierta es si cada superficie compleja K3 admite un mapa holomórfico no degenerado de (donde "no degenerado" significa que la derivada del mapa es un isomorfismo en algún momento). ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

El mapa de la época

Defina una marca de una superficie X analítica compleja de K3 para que sea un isomorfismo de las celosías desde la celosía K3 . El espacio N de superficies complejas marcadas K3 es una variedad compleja no de Hausdorff de dimensión 20. El conjunto de clases de isomorfismo de superficies analíticas complejas K3 es el cociente de N por el grupo ortogonal , pero este cociente no es un espacio de módulos geométricamente significativo, porque la acción de está lejos de ser propiamente discontinua . (Por ejemplo, el espacio de superficies cuarticas lisas es irreductible de dimensión 19 y, sin embargo, cada superficie analítica compleja K3 en la familia N de 20 dimensiones tiene deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfas a cuarticas lisas). Por la misma razón, no hay un espacio de módulos significativo de toros complejos compactos de dimensión al menos 2. ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Lambda = E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$ ${\ Displaystyle O (\ Lambda)}$${\ Displaystyle O (\ Lambda)}$

El mapeo de períodos envía una superficie K3 a su estructura Hodge . Cuando se expresa con cuidado, el teorema de Torelli es válido: una superficie K3 está determinada por su estructura de Hodge. El dominio del período se define como la variedad compleja de 20 dimensiones

${\ Displaystyle D = \ {u \ in P (\ Lambda \ otimes \ mathbb {C}): u ^ {2} = 0, \, u \ cdot {\ overline {u}}> 0 \}.}$

El mapeo del período envía una superficie X marcada K3 a la línea compleja . Esto es sobreyectivo y un isomorfismo local, pero no un isomorfismo (en particular porque D es Hausdorff y N no lo es). Sin embargo, el teorema global de Torelli para superficies K3 dice que el mapa de cocientes de conjuntos ${\ Displaystyle N \ a D}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subconjunto H ^ {2} (X, \ mathbb {C}) \ cong \ Lambda \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle N / O (\ Lambda) \ to D / O (\ Lambda)}$

es biyectiva. De ello se deduce que dos superficies K3 analíticas complejas X e Y son isomorfas si y solo si hay una isometría de Hodge de a , es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que conserva la forma de intersección y envía a . ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle H ^ {2} (Y, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subconjunto H ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle H ^ {0} (Y, \ Omega ^ {2})}$

Espacios de módulos de superficies proyectivas K3

Una superficie K3 polarizada X del género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un haz de líneas amplio L tal que L es primitivo (es decir, no 2 o más veces otro haz de líneas) y . Esto también se denomina superficie K3 polarizada de grado 2 g -2. ${\ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$

Bajo estos supuestos, L está libre de puntos base . En la característica cero, el teorema de Bertini implica que hay una curva suave C en el sistema lineal | L |. Todas estas curvas tienen el género g , lo que explica por qué se dice que ( X , L ) tiene el género g .

El espacio vectorial de las secciones de L tiene una dimensión g + 1, por lo que L da un morfismo de X al espacio proyectivo . En la mayoría de los casos, este morfismo es una incrustación, por lo que X es isomorfo a una superficie de grado 2 g -2 pulg . ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$

Hay un espacio de módulos gruesos irreductibles de superficies K3 complejas polarizadas de género g para cada una ; se puede ver como un subconjunto abierto Zariski de una variedad Shimura para el grupo SO (2,19) . Para cada g , hay una variedad compleja cuasi-proyectiva de dimensión 19. Shigeru Mukai demostró que este espacio de módulos es unracional si o . Por el contrario, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que es de tipo general si o . Voisin (2008) realizó un estudio de esta área . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle g \ geq 2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle g \ leq 13}$${\ Displaystyle g = 18,20}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle g \ geq 63}$${\ displaystyle g = 47,51,55,58,59,61}$

Los diferentes espacios de módulos de 19 dimensiones se superponen de manera intrincada. De hecho, hay un conjunto infinito contable de subvariedades de codimensión-1 de cada una correspondiente a superficies K3 del número Picard al menos 2. Esas superficies K3 tienen polarizaciones de infinitos grados diferentes, no solo 2 g –2. Por lo tanto se puede decir que infinitamente muchos de los otros espacios modulares se encuentran . Esto es impreciso, ya que no hay un espacio de buen comportamiento que contenga todos los espacios de módulos . Sin embargo, una versión concreta de esta idea es el hecho de que dos superficies K3 algebraicas complejas son equivalentes a la deformación a través de superficies K3 algebraicas. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {h}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$

De manera más general, una superficie K3 cuasi polarizada del género g significa una superficie K3 proyectiva con una nef primitiva y un haz de líneas grandes L tal que . Tal haz de líneas todavía le da un morfismo a , pero ahora puede contraer un número finito de curvas (-2), de modo que la imagen Y de X es singular. (Una (-2) -curva en una superficie significa una curva isomorfa a con auto-intersección -2.) El espacio de módulos de superficies K3 cuasi-polarizadas del género g es aún irreducible de dimensión 19 (que contiene el espacio de módulos anterior como un subconjunto abierto). Formalmente, funciona mejor para ver esto como un espacio de módulos de K3 superficies Y con singularidades du Val. ${\ Displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$

El cono amplio y el cono de curvas

Una característica notable de las superficies algebraicas K3 es que la red de Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluido el cono convexo de amplios divisores (hasta automorfismos de la red de Picard). El cono amplio está determinado por la celosía Picard de la siguiente manera. Según el teorema del índice de Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real tiene firma . De ello se deduce que el conjunto de elementos de con auto-intersección positiva tiene dos componentes conectados . Llamar al cono positivo el componente que contiene ningún amplia divisor de X . ${\ Displaystyle N ^ {1} (X): = \ operatorname {Pic} (X) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (1, \ rho -1)}$${\ Displaystyle N ^ {1} (X)}$

Caso 1: No hay ningún elemento u de Pic ( X ) con . Entonces el cono amplio es igual al cono positivo. Por lo tanto, es el cono redondo estándar. ${\ Displaystyle u ^ {2} = - 2}$

Caso 2: De lo contrario, dejemos el conjunto de raíces de la celosía Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que atraviesan el cono positivo. Entonces, el cono amplio es un componente conectado del complemento de estos hiperplanos en el cono positivo. Cualquiera de estos dos componentes son isomorfos a través del grupo ortogonal de la red Pic ( X ), ya que contiene la reflexión a través de cada hiperplano raíz. En este sentido, la celosía de Picard determina el cono amplio hasta el isomorfismo. ${\ Displaystyle \ Delta = \ {u \ in \ operatorname {Pic} (X): u ^ {2} = - 2 \}}$

Una declaración relacionada, debido a Sándor Kovács, es que el conocimiento de un divisor amplio A en PIC ( X ) determina todo el cono de curvas de X . Es decir, suponga que X tiene un número de Picard . Si el conjunto de raíces está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es el cierre del cono positivo. De lo contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado atravesado por todos los elementos con . En el primer caso, X no contiene curvas (−2); en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado atravesado por todas las curvas (-2). (Si , hay otra posibilidad: el cono de curvas puede estar atravesado por una (-2) -curva y una curva con auto-intersección 0.) Entonces el cono de curvas es el cono redondo estándar, o tiene "esquinas agudas" (porque cada curva (-2) abarca un rayo extremo aislado del cono de curvas). ${\ Displaystyle \ rho \ geq 3}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle u \ in \ Delta}$${\ Displaystyle A \ cdot u> 0}$${\ Displaystyle \ rho = 2}$

Grupo de automorfismo

Las superficies K3 son algo inusuales entre las variedades algebraicas porque sus grupos de automorfismos pueden ser infinitos, discretos y muy no belianos. Mediante una versión del teorema de Torelli, la red de Picard de una superficie X algebraica compleja K3 determina el grupo de automorfismo de X hasta la conmensurabilidad . Es decir, sea el grupo de Weyl W el subgrupo del grupo ortogonal O (Pic ( X )) generado por reflexiones en el conjunto de raíces . Entonces W es un subgrupo normal de O (PIC ( X )), y el grupo de automorfismos de X es conmensurable con el grupo cociente O (PIC ( X )) / W . Una afirmación relacionada, debida a Hans Sterk, es que Aut ( X ) actúa sobre el cono nef de X con un dominio fundamental poliédrico racional . ${\ Displaystyle \ Delta}$

Relación con la dualidad de cuerdas

Las superficies K3 aparecen de forma casi ubicua en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para comprenderla. Las compactaciones de cadenas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cuerda tipo IIA, la cuerda tipo IIB, la cuerda heterótica Mi ₈ × Mi ₈ , la cuerda heterótica Spin (32) / Z2 y la teoría M están relacionadas por compactificación en una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda Tipo IIA compactada en una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactada en un 4-toro ( Aspinwall (1996) ). error de harvtxt: sin destino: CITEREFAspinwall1996 ( ayuda )

Historia

Las superficies cuarticas fueron estudiadas por Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur y otros geómetras del siglo XIX. De manera más general, Federigo Enriques observó en 1893 que para varios números g , hay superficies de grado 2 g −2 pulg con haz canónico trivial e irregularidad cero. En 1909, Enriques demostró que tales superficies existen para todos , y Francesco Severi mostró que el espacio de módulos de tales superficies tiene dimensión 19 para cada g . ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$${\ Displaystyle g \ geq 3}$

André Weil (1958) dio a las superficies K3 su nombre (ver la cita anterior) e hizo varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, en particular haciendo el primer estudio sistemático de superficies K3 analíticas complejas que no son algebraicas. Demostró que dos superficies K3 analíticas complejas son equivalentes a la deformación y, por lo tanto, difeomórficas, lo cual era nuevo incluso para las superficies K3 algebraicas. Un importante avance posterior fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), ampliado a superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).

Ver también

• Superficie de Enriques
• Conjetura de Tate
• Mathieu moonshine , una misteriosa relación entre las superficies K3 y el grupo Mathieu M24 .

Notas

Referencias

• Aspinwall, Paul (1997), "Superficies K3 y dualidad de cuerdas", Campos, cuerdas y dualidad (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, págs. 421–540, arXiv : hep-th / 9611137 , MR  1479699
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• Beauville, A .; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des surface K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau , Astérisque, 126 , París: Société Mathématique de France , MR  0785216
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enlaces externos

• Página de inicio de la base de datos de anillos graduados para un catálogo de superficies K3
• Base de datos K3 para el sistema de álgebra computacional Magma
• La geometría de las superficies K3 , conferencias de David Morrison (1988).