Teoría de campo conforme bidimensional - Two-dimensional conformal field theory

Una teoría de campo conforme bidimensional es una teoría de campo cuántica en un espacio bidimensional euclidiano , que es invariante bajo transformaciones conformes locales .

En contraste con otros tipos de teorías de campo conforme, las teorías de campo conforme bidimensional tienen álgebras de simetría de dimensión infinita . En algunos casos, esto permite que se resuelvan exactamente, utilizando el método de arranque conforme .

Teorías de campo conformal bidimensionales notables incluyen modelos mínimos , teoría Liouville , sin masa teorías bosónicos libres , modelos Wess-Zumino-Witten , y ciertos modelos sigma .

Estructuras basicas

Geometría

Las teorías bidimensionales de campos conformes (CFT) se definen en superficies de Riemann , donde los mapas conformes locales son funciones holomórficas . Mientras que un CFT podría existir posiblemente solo en una superficie de Riemann dada, su existencia en cualquier superficie que no sea la esfera implica su existencia en todas las superficies. Dado un CFT, de hecho es posible pegar dos superficies Riemann donde exista y obtener el CFT en la superficie pegada. Por otro lado, algunos CFT existen solo en la esfera. A menos que se indique lo contrario, consideramos CFT en la esfera en este artículo.

Simetrías e integrabilidad

Dada una coordenada compleja local , el espacio vectorial real de mapas conformes infinitesimales tiene la base , con . (Por ejemplo, y generar traducciones). Al relajar el supuesto de que es el conjugado complejo de , es decir, al complejizar el espacio de mapas conformales infinitesimales, se obtiene un espacio vectorial complejo con la base . ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle (\ ell _ {n} + {\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup (i (\ ell _ {n} - {\ bar {\ ell}} _ {n})) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle \ ell _ {n} = - z ^ {n + 1} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}}}$${\ Displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {- 1}}$${\ Displaystyle i (\ ell _ {1} - \ ell _ {- 1})}$${\ Displaystyle {\ bar {z}}}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle (\ ell _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup ({\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$

Con sus conmutadores naturales , los operadores diferenciales generan un álgebra de Witt . Según los argumentos mecánicos cuánticos estándar, el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme debe ser la extensión central del álgebra de Witt, es decir, el álgebra de Virasoro , cuyos generadores son , más un generador central. En un CFT dado, el generador central toma un valor constante , llamado carga central. ${\ Displaystyle \ ell _ {n}}$${\ Displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle c}$

El álgebra de simetría es, por tanto, el producto de dos copias del álgebra de Virasoro: el álgebra holomórfica o de movimiento a la izquierda, con generadores , y el álgebra antiholomórfica o de movimiento a la derecha, con generadores . ${\ Displaystyle L_ {n}}$${\ Displaystyle {\ bar {L}} _ {n}}$

En el álgebra envolvente universal de Virasoro, el álgebra, es posible construir un conjunto infinito de cargas que se conmutan mutuamente. La primera carga es , la segunda carga es cuadrática en los generadores Virasoro, la tercera carga es cúbica, etc. Esto muestra que cualquier teoría de campo conforme bidimensional es también un sistema integrable cuántico . ${\ displaystyle L_ {0} - {\ frac {c} {24}}}$

Espacio de estados

El espacio de estados , también llamado espectro , de un CFT, es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro.

Para un estado que es un vector propio de y con los valores propios y , ${\ Displaystyle L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0}}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle {\ bar {\ Delta}}}$

• ${\ Displaystyle \ Delta}$es la dimensión conforme a la izquierda ,
• ${\ displaystyle {\ bar {\ Delta}}}$es la dimensión conforme correcta ,
• ${\ Displaystyle \ Delta + {\ bar {\ Delta}}}$es la dimensión conformal total o la energía,
• ${\ Displaystyle \ Delta - {\ bar {\ Delta}}}$es el giro conforme .

Un CFT se llama racional si su espacio de estados se descompone en un número finito de representaciones irreducibles del producto de las dos álgebras de Virasoro.

Un CFT se llama diagonal si su espacio de estados es una suma directa de representaciones del tipo , donde es una representación indecomponible del álgebra de Virasoro izquierda, y es la misma representación del álgebra de Virasoro derecha. ${\ displaystyle R \ otimes {\ bar {R}}}$${\ Displaystyle R}$${\ displaystyle {\ bar {R}}}$

El CFT se llama unitario si el espacio de estados tiene una forma hermitiana definida positiva tal que y son autoadjuntos, y . Esto implica en particular eso , y que la carga central es real. El espacio de estados es entonces un espacio de Hilbert . Si bien la unitaridad es necesaria para que un CFT sea un sistema cuántico adecuado con una interpretación probabilística, muchos CFT interesantes son, sin embargo, no unitarios, incluidos los modelos mínimos y la teoría de Liouville para la mayoría de los valores permitidos de la carga central. ${\ Displaystyle L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0}}$${\ Displaystyle L_ {0} ^ {\ dagger} = L_ {0}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {0} ^ {\ dagger} = {\ bar {L}} _ {0}}$${\ Displaystyle L_ {n} ^ {\ dagger} = L _ {- n}}$

Campos y funciones de correlación

La correspondencia estado-campo es un mapa lineal desde el espacio de estados al espacio de campos, que conmuta con la acción del álgebra de simetría. ${\ Displaystyle v \ mapsto V_ {v} (z)}$

En particular, la imagen de un estado primario de una representación de menor peso del álgebra de Virasoro es un campo primario , tal que ${\ Displaystyle V _ {\ Delta} (z)}$

${\ Displaystyle L_ {n> 0} V _ {\ Delta} (z) = 0 \ quad, \ quad L_ {0} V _ {\ Delta} (z) = \ Delta V _ {\ Delta} (z) \.}$

Los campos descendientes se obtienen de los campos primarios actuando con modos de creación . Los campos degenerados corresponden a estados primarios de representaciones degeneradas. Por ejemplo, el campo degenerado obedece , debido a la presencia de un vector nulo en la correspondiente representación degenerada. ${\ Displaystyle L_ {n <0}}$${\ Displaystyle V_ {1,1} (z)}$${\ Displaystyle L _ {- 1} V_ {1,1} (z) = 0}$

Una función de correlación de puntos es un número que depende linealmente de campos, denotados como con . En la formulación integral de trayectoria de la teoría de campos conforme, las funciones de correlación se definen como integrales funcionales. En el enfoque de bootstrap conforme , las funciones de correlación se definen mediante axiomas. En particular, se asume que existe una expansión de producto del operador (OPE), ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ left \ langle V_ {1} (z_ {1}) \ cdots V_ {N} (z_ {N}) \ right \ rangle}$${\ Displaystyle i \ neq j \ Rightarrow z_ {i} \ neq z_ {j}}$

${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = \ sum _ {i} C_ {12} ^ {v_ {i}} (z_ {1}, z_ {2 }) V_ {v_ {i}} (z_ {2}) \,}$

donde es una base del espacio de estados, y los números se denominan coeficientes OPE. Además, se asume que las funciones de correlación son invariantes bajo permutaciones en los campos, en otras palabras, se asume que el OPE es asociativo y conmutativo. (La conmutatividad de OPE no implica que los coeficientes de OPE sean invariantes por debajo , porque expandir los campos rompe esa simetría). ${\ Displaystyle \ {v_ {i} \}}$${\ Displaystyle C_ {12} ^ {v_ {i}} (z_ {1}, z_ {2})}$${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = V_ {2} (z_ {2}) V_ {1} (z_ {1})}$${\ Displaystyle 1 \ leftrightarrow 2}$${\ Displaystyle V_ {v_ {i}} (z_ {2})}$

La conmutatividad OPE implica que los campos primarios tienen espines conformales enteros . También existen CFT fermiónicos que incluyen campos fermiónicos con espines conformados de medio entero , que anticonmutan. También existen CFT parafermiónicos que incluyen campos con espines racionales más generales . No solo los parafermiones no se conmutan, sino que también sus funciones de correlación tienen varios valores. ${\ Displaystyle S \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle S \ in {\ tfrac {1} {2}} + \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle S \ in \ mathbb {Q}}$

La función de partición del toro es una función de correlación particular que depende únicamente del espectro y no de los coeficientes OPE. Para un toro complejo con módulo , la función de partición es ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ frac {\ mathbb {C}} {\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}}}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle Z (\ tau) = \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal {S}} q ^ {L_ {0} - {\ frac {c} {24}}} {\ bar {q}} ^ { {\ bar {L}} _ {0} - {\ frac {c} {24}}}}$

donde . La función de partición del toro coincide con el carácter del espectro, considerado como una representación del álgebra de simetría. ${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$

Teoría del campo conformal quiral

En una teoría de campo conforme bidimensional, las propiedades se denominan quirales si se derivan de la acción de una de las dos álgebras de Virasoro. Si el espacio de estados se puede descomponer en representaciones factorizadas del producto de las dos álgebras de Virasoro, entonces todas las consecuencias de la simetría conforme son quirales. En otras palabras, las acciones de las dos álgebras de Virasoro se pueden estudiar por separado.

Tensor de energía-momento

Se supone que la dependencia de un campo de su posición está determinada por ${\ Displaystyle V (z)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} V (z) = L _ {- 1} V (z).}$

De ello se desprende que el OPE

${\ Displaystyle T (y) V (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ frac {L_ {n} V (z)} {(yz) ^ {n + 2}}} ,}$

define un campo localmente holomórfico que no depende de Este campo se identifica con (un componente de) el tensor de energía-momento . En particular, el OPE del tensor de energía-momento con un campo primario es ${\ Displaystyle T (y)}$${\ Displaystyle z.}$

${\ Displaystyle T (y) V _ {\ Delta} (z) = {\ frac {\ Delta} {(yz) ^ {2}}} V _ {\ Delta} (z) + {\ frac {1} {yz }} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} V _ {\ Delta} (z) + O (1).}$

El OPE del tensor de energía-momento en sí mismo es

${\ Displaystyle T (y) T (z) = {\ frac {\ frac {c} {2}} {(yz) ^ {4}}} + {\ frac {2T (z)} {(yz) ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial T (z)} {yz}} + O (1),}$

donde esta la carga central. (Este OPE es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro). ${\ Displaystyle c}$

Identidades de barrio conforme

Las identidades de Ward conformadas son ecuaciones lineales a las que obedecen las funciones de correlación como consecuencia de la simetría conforme. Se pueden derivar estudiando funciones de correlación que implican inserciones del tensor de energía-momento. Sus soluciones son bloques conformes .

Por ejemplo, considere las identidades de Ward conformes en la esfera. Sea una coordenada global compleja en la esfera, vista como Holomorfia del tensor de energía-momento en es equivalente a ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}.}$${\ Displaystyle z = \ infty}$

${\ Displaystyle T (z) {\ underset {z \ to \ infty} {=}} O \ left ({\ frac {1} {z ^ {4}}} \ right).}$

Además, al insertar una función -punto de campos primarios se obtiene ${\ Displaystyle T (z)}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ left \ langle T (z) \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ sum _ {i = 1 } ^ {N} \ left ({\ frac {\ Delta _ {i}} {(z-z_ {i}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {z-z_ {i}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {i}}} \ derecha) \ izquierda \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle.}$

A partir de las dos últimas ecuaciones, es posible deducir identidades de Ward locales que expresan funciones -punto de campos descendientes en términos de funciones -punto de campos primarios. Además, es posible deducir tres ecuaciones diferenciales para cualquier función puntual de los campos primarios, llamadas identidades de Ward conformes globales : ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (z_ {i} ^ {k} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {i}}} + \ Delta _ {i} kz_ {i} ^ {k-1} \ right) \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = 0, \ qquad (k \ in \ {0,1,2 \}).}$

Estas identidades determinan cómo las funciones de dos y tres puntos dependen de ${\ Displaystyle z,}$

${\ Displaystyle \ left \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}) \ right \ rangle {\ begin {cases} = 0 & \ \ (\ Delta _ {1} \ neq \ Delta _ {2}) \\\ propto (z_ {1} -z_ {2}) ^ {- 2 \ Delta _ {1}} & \ \ (\ Delta _ {1} = \ Delta _ {2}) \ end {cases}}}$

${\ Displaystyle \ left \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}) V _ {\ Delta _ {3}} (z_ {3 }) \ right \ rangle \ propto (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {3} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} (z_ {2} -z_ { 3}) ^ {\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2} - \ Delta _ {3}} (z_ {1} -z_ {3}) ^ {\ Delta _ {2} - \ Delta _ { 1} - \ Delta _ {3}},}$

donde los coeficientes de proporcionalidad indeterminados son funciones de ${\ Displaystyle {\ bar {z}}.}$

Ecuaciones BPZ

Una función de correlación que involucra un campo degenerado satisface una ecuación diferencial parcial lineal llamada ecuación de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov después de Alexander Belavin , Alexander Polyakov y Alexander Zamolodchikov . El orden de esta ecuación es el nivel del vector nulo en la representación degenerada correspondiente.

Un ejemplo trivial es la ecuación de BPZ de orden uno

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {1}}} \ izquierda \ langle V_ {1,1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) \ cdots V_ {N } (z_ {N}) \ right \ rangle = 0.}$

que se sigue de

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {1}}} V_ {1,1} (z_ {1}) = L _ {- 1} V_ {1,1} (z_ {1}) = 0.}$

El primer ejemplo no trivial involucra un campo degenerado con un vector nulo que desaparece en el nivel dos, ${\ Displaystyle V_ {2,1}}$

${\ Displaystyle \ left (L _ {- 1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2} \ right) V_ {2,1} = 0,}$

donde está relacionado con la carga central por ${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle c = 1 + 6 \ left (b + b ^ {- 1} \ right) ^ {2}.}$

Entonces una función -punto de y otros campos primarios obedecen: ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle V_ {2,1}}$${\ Displaystyle N-1}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1} {b ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial z_ {1} ^ {2}}} + \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ izquierda ({\ frac {1} {z_ {1} -z_ {i}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {i}}} + {\ frac {\ Delta _ {i}} {(z_ {1} -z_ {i}) ^ {2}}} \ right) \ right) \ left \ langle V_ {2,1} (z_ {1}) \ prod _ { i = 2} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = 0.}$

Una ecuación de orden de BPZ para una función de correlación que involucra el campo degenerado se puede deducir de la desaparición del vector nulo y las identidades de Ward locales . Gracias a las identidades globales de Ward, las funciones de cuatro puntos se pueden escribir en términos de una variable en lugar de cuatro, y las ecuaciones BPZ para funciones de cuatro puntos se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias. ${\ displaystyle rs}$${\ Displaystyle V_ {r, s}}$

Reglas de fusión

En un OPE que involucra un campo degenerado, la desaparición del vector nulo (más la simetría conforme) restringe qué campos primarios pueden aparecer. Las restricciones resultantes se denominan reglas de fusión . Usando el impulso de tal manera que ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ Delta = \ alpha \ left (b + b ^ {- 1} - \ alpha \ right)}$

en lugar de la dimensión conforme para parametrizar campos primarios, las reglas de fusión son ${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle V_ {r, s} \ times V _ {\ alpha} = \ sum _ {i = 0} ^ {r-1} \ sum _ {j = 0} ^ {s-1} V _ {\ alpha + \ left (i - {\ frac {r-1} {2}} \ right) b + \ left (j - {\ frac {s-1} {2}} \ right) b ^ {- 1}}}$

en particular

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {1,1} \ times V _ {\ alpha} & = V _ {\ alpha} \\ [6pt] V_ {2,1} \ times V _ {\ alpha} & = V_ {\ alpha - {\ frac {b} {2}}} + V _ {\ alpha + {\ frac {b} {2}}} \\ [6pt] V_ {1,2} \ times V _ {\ alpha} & = V _ {\ alpha - {\ frac {1} {2b}}} + V _ {\ alpha + {\ frac {1} {2b}}} \ end {alineado}}}$

Alternativamente, las reglas de fusión tienen una definición algebraica en términos de un producto de fusión asociativo de representaciones del álgebra de Virasoro en una carga central dada. El producto de fusión difiere del producto tensorial de representaciones. (En un producto tensorial, las cargas centrales se suman). En ciertos casos finitos, esto conduce a la estructura de una categoría de fusión .

Una teoría de campo conforme es cuasi-racional es el producto de fusión de dos representaciones indecomponibles es una suma de un número finito de representaciones indecomponibles. Por ejemplo, los modelos mínimos generalizados son cuasi racionales sin ser racionales.

Bootstrap conforme

El método de bootstrap conformal consiste en definir y resolver CFT usando solo supuestos de simetría y consistencia, reduciendo todas las funciones de correlación a combinaciones de constantes de estructura y bloques conformales. En dos dimensiones, este método conduce a soluciones exactas de ciertos CFT y a clasificaciones de teorías racionales.

Constantes de estructura

Sea un campo primario izquierdo y derecho con dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha y . De acuerdo con las identidades de Ward globales izquierda y derecha, las funciones de tres puntos de tales campos son del tipo ${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ Delta _ {i}}$${\ Displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ left \ langle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) V_ {3} (z_ {3}) \ right \ rangle = C_ {123} \\ & \ qquad \ times (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {3} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} (z_ {2} - z_ {3}) ^ {\ Delta _ {1} - \ Delta _ {2} - \ Delta _ {3}} (z_ {1} -z_ {3}) ^ {\ Delta _ {2} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {3}} \\ & \ qquad \ times ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {2}) ^ {{\ bar { \ Delta}} _ {3} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2}} ({\ bar {z}} _ {2} - {\ bar {z}} _ {3}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2} - {\ bar {\ Delta}} _ {3} } ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {3}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {2} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {3}} \, \ end {alineado}}}$

donde el número -independiente se llama constante de estructura de tres puntos . Para que la función de tres puntos sea de un solo valor, las dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha de los campos primarios deben obedecer ${\ Displaystyle z_ {i}}$${\ Displaystyle C_ {123}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in {\ frac {1} {2}} \ mathbb {Z} \.}$

Los campos bosónicos ( ) y fermiónicos ( ) satisfacen esta condición . Sin embargo, es violado por campos parafermiónicos ( ), cuyas funciones de correlación, por lo tanto, no son de un solo valor en la esfera de Riemann. ${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Z} + {\ frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Q}}$

Las constantes de estructura de tres puntos también aparecen en OPE,

${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = \ sum _ {i} C_ {12i} (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {i} - \ Delta _ {1} - \ Delta _ {2}} ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {2}) ^ {{\ bar {\ Delta}} _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {1} - {\ bar {\ Delta}} _ {2}} {\ Big (} V_ {i} (z_ {2}) + \ cdots {\ Big)} \.}$

Las contribuciones de los campos descendientes, denotadas por los puntos, están completamente determinadas por la simetría conforme.

Bloques conformales

Cualquier función de correlación se puede escribir como una combinación lineal de bloques conformes : funciones que están determinadas por simetría conforme y etiquetadas por representaciones del álgebra de simetría. Los coeficientes de la combinación lineal son productos de constantes de estructura.

En CFT bidimensional, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, y un bloque conforme que involucra campos primarios tiene una factorización holomórfica : es un producto de un factor localmente holomórfico que está determinado por el Virasoro que se mueve a la izquierda. álgebra, y un factor localmente antiholomórfico que está determinado por el álgebra de Virasoro que se mueve hacia la derecha. Estos factores se denominan en sí mismos bloques conformes.

Por ejemplo, al usar el OPE de los dos primeros campos en una función de cuatro puntos de campos primarios, se obtiene

${\ Displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} V_ {i} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ sum _ {s} C_ {12s} C_ {s34} {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \}, \ {z_ {i} \}) {\ mathcal {F}} _ { {\ bar {\ Delta}} _ {s}} ^ {(s)} (\ {{\ bar {\ Delta}} _ {i} \}, \ {{\ bar {z}} _ {i} \}) \,}$

donde es un bloque conforme de cuatro puntos de canal s . Los bloques conformes de cuatro puntos son funciones complicadas que se pueden calcular de manera eficiente utilizando las relaciones recursivas de Alexei Zamolodchikov . Si uno de los cuatro campos está degenerado, los bloques conformes correspondientes obedecen a las ecuaciones de BPZ. Si en particular uno de los cuatro campos es , entonces los bloques de conformidad correspondientes se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _ {i} \}, \ {z_ {i} \})}$${\ Displaystyle V_ {2,1}}$

Como explicó Witten por primera vez, el espacio de bloques conformes de un CFT bidimensional se puede identificar con el espacio cuántico de Hilbert de una teoría de Chern-Simons de 2 + 1 dimensiones , que es un ejemplo de una teoría de campos topológicos . Esta conexión ha sido muy fructífera en la teoría del efecto Hall cuántico fraccional .

Ecuaciones de bootstrap conformales

Cuando una función de correlación se puede escribir en términos de bloques conformes de varias formas diferentes, la igualdad de las expresiones resultantes proporciona restricciones en el espacio de estados y en las constantes de estructura de tres puntos. Estas restricciones se denominan ecuaciones de arranque conformes . Mientras que las identidades de Ward son ecuaciones lineales para funciones de correlación, las ecuaciones de arranque conformes dependen de forma no lineal de las constantes de estructura de tres puntos.

Por ejemplo, una función de cuatro puntos se puede escribir en términos de bloques conformes de tres formas desiguales, correspondientes al uso de OPE ( canal s ), ( canal t ) o ( canal u ). La igualdad de las tres expresiones resultantes se llama simetría de cruce de la función de cuatro puntos y es equivalente a la asociatividad del OPE. ${\ Displaystyle \ left \ langle V_ {1} V_ {2} V_ {3} V_ {4} \ right \ rangle}$${\ Displaystyle V_ {1} V_ {2}}$${\ Displaystyle V_ {1} V_ {4}}$${\ Displaystyle V_ {1} V_ {3}}$

Por ejemplo, la función de partición del toro es invariante bajo la acción del grupo modular sobre el módulo del toro, de manera equivalente . Esta invariancia es una restricción en el espacio de estados. El estudio de las funciones modulares de partición de toro invariantes a veces se denomina bootstrap modular . ${\ Displaystyle Z (\ tau) = Z (\ tau +1) = Z (- {\ frac {1} {\ tau}})}$

La consistencia de un CFT en la esfera equivale a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos. La consistencia de un CFT en todas las superficies de Riemann también requiere la invariancia modular de la función de un punto del toro. Por lo tanto, la invariancia modular de la función de partición toroidal no es necesaria ni suficiente para que exista un CFT. Sin embargo, se ha estudiado ampliamente en CFT racionales, porque los caracteres de las representaciones son más simples que otros tipos de bloques conformes, como los bloques conformes de esferas de cuatro puntos.

Ejemplos de

Modelos mínimos

Un modelo mínimo es un CFT cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreductibles del álgebra de Virasoro. Los modelos mínimos solo existen para valores particulares de la carga central,

${\ Displaystyle c_ {p, q} = 1-6 {\ frac {(pq) ^ {2}} {pq}}, \ qquad p> q \ in \ {2,3, \ ldots \}.}$

Existe una clasificación ADE de modelos mínimos. En particular, el modelo mínimo de la serie A con la carga central es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de representaciones degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro. Estas representaciones degeneradas están etiquetadas por pares de números enteros que forman la tabla Kac , ${\ Displaystyle c = c_ {p, q}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (p-1) (q-1)}$

${\ Displaystyle (r, s) \ in \ {1, \ ldots, p-1 \} \ times \ {1, \ ldots, q-1 \} \ qquad {\ text {con}} \ qquad (r, s) \ simeq (pr, qs).}$

Por ejemplo, el modelo mínimo de la serie A describe correlacionadores de espín y energía del modelo de Ising crítico bidimensional . ${\ Displaystyle c = c_ {4,3} = {\ tfrac {1} {2}}}$

Teoría de Liouville

Porque cualquier teoría de Liouville es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de módulos Verma con dimensiones conformes. ${\ Displaystyle c \ in \ mathbb {C},}$

${\ Displaystyle \ Delta \ in {\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}$

La teoría de Liouville se ha resuelto, en el sentido de que sus constantes de estructura de tres puntos se conocen explícitamente. La teoría de Liouville tiene aplicaciones a la teoría de cuerdas y a la gravedad cuántica bidimensional.

Álgebras de simetría extendida

En algunos CFT, el álgebra de simetría no es solo el álgebra de Virasoro, sino un álgebra asociativa (es decir, no necesariamente un álgebra de Lie) que contiene el álgebra de Virasoro. Luego, el espectro se descompone en representaciones de esa álgebra, y las nociones de CFT diagonales y racionales se definen con respecto a esa álgebra.

Teorías bosónicas libres sin masa

En dos dimensiones, las teorías bosónicas libres sin masa son conformemente invariantes. Su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie abeliana de rango uno. El producto de fusión de dos representaciones cualesquiera de este álgebra de simetría produce solo una representación, y esto hace que las funciones de correlación sean muy simples. ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$

Ver los modelos mínimos y la teoría de Liouville como teorías bosónicas libres perturbadas conduce al método del gas de Coulomb para calcular sus funciones de correlación. Además, existe una familia de un parámetro de teorías bosónicas libres con infinitos espectros discretos, que describen bosones libres compactados , siendo el parámetro el radio de compactación. ${\ Displaystyle c = 1,}$

Modelos Wess – Zumino – Witten

Dado un grupo de Lie, el modelo de Wess-Zumino-Witten correspondiente es un CFT cuya álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie de Si es compacto, entonces este CFT es racional, su carga central toma valores discretos y su espectro es conocido. ${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle G}$

Teorías de campos superconformales

El álgebra de simetría de un CFT supersimétrico es un súper álgebra de Virasoro , o un álgebra más grande. Los CFT supersimétricos son particularmente relevantes para la teoría de supercuerdas.

Teorías basadas en W-álgebras

Las W-álgebras son extensiones naturales del álgebra de Virasoro. Los CFT basados ​​en W-álgebras incluyen generalizaciones de modelos mínimos y teoría de Liouville, respectivamente llamados modelos W-mínimos y teorías de Toda conformes . Las teorías de Conformal Toda son más complicadas que la teoría de Liouville y menos comprendidas.

Modelos sigma

En dos dimensiones, los modelos sigma clásicos son conforme invariantes, pero solo algunas variedades objetivo conducen a modelos sigma cuánticos que son conforme invariantes. Ejemplos de tales variedades objetivo incluyen toros y variedades Calabi-Yau .

Teorías de campo logarítmico conforme

Las teorías logarítmicas de campos conformes son CFT bidimensionales de modo que la acción del generador de álgebra de Virasoro en el espectro no es diagonalizable. En particular, el espectro no puede construirse únicamente a partir de representaciones de menor peso . Como consecuencia, la dependencia de las funciones de correlación de las posiciones de los campos puede ser logarítmica. Esto contrasta con la dependencia de potencia de las funciones de dos y tres puntos que están asociadas a las representaciones de peso más bajo. ${\ Displaystyle L_ {0}}$

Modelo de Potts en estado crítico${\ displaystyle Q}$

El crítico modelo Potts -state o crítica del modelo de conglomerados al azar es una teoría conforme de campos que generaliza y unifica la crítica modelo Ising , modelo Potts , y percolación . El modelo tiene un parámetro , que debe ser un número entero en el modelo de Potts, pero que puede tomar cualquier valor complejo en el modelo de conglomerado aleatorio. Este parámetro está relacionado con la carga central por ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle Q = 4 \ cos ^ {2} (\ pi \ beta ^ {2}) \ qquad {\ text {con}} \ qquad c = 13-6 \ beta ^ {2} -6 \ beta ^ { -2} \.}$

Los valores especiales de incluyen: ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q}$	${\ Displaystyle c}$	Modelo estadístico relacionado
${\ Displaystyle 0}$	${\ displaystyle -2}$	Árbol de expansión uniforme
${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 0}$	Filtración
${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	Modelo de ising
${\ Displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {7} {10}}}$	Modelo de Ising tricrítico
${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle {\ frac {4} {5}}}$	Modelo de Potts de tres estados
${\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {25} {28}}}$	Modelo de Potts tricrítico de tres estados
${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 1}$	Modelo Ashkin-Teller

La función de partición de toro conocida sugiere que el modelo no es racional con un espectro discreto.

Referencias

Otras lecturas

• P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN  0-387-94785-X .
• La página Conformal Field Theory en String Theory Wiki enumera libros y reseñas.
• Ribault, Sylvain (2014). "Teoría de campos conformales en el plano". arXiv : 1406,4290 [ hep-ésimo ].