Variedad simpléctica - Symplectic manifold
En geometría diferencial , un tema de matemáticas , una variedad simpléctica es un múltiple liso , , equipado con un cerrado no degenerado diferencial 2-forma , llamada la forma simpléctica . El estudio de variedades simplécticas se denomina geometría simpléctica o topología simpléctica . Las variedades simplécticas surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como los haces cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para el campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el paquete cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema.
Motivación
Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fase de un sistema cerrado. De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debe permitir obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir del diferencial dH de una función hamiltoniana H . Por lo tanto se requiere una aplicación lineal TM → T * M de la tangente colector de TM a la cotangente colector T * M , o de manera equivalente, un elemento de T * M ⊗ T * M . Si ω denota una sección de T ∗ M ⊗ T ∗ M , el requisito de que ω no sea degenerado asegura que para cada diferencial dH hay un campo vectorial único correspondiente V H tal que dH = ω ( V H , ·) . Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debe tener dH ( V H ) = ω ( V H , V H ) = 0 , lo que implica que ω es alterno y, por lo tanto, una forma 2. Finalmente, se hace el requisito de que ω no debería cambiar bajo las líneas de flujo, es decir, que la derivada de Lie de ω a lo largo de V H desaparezca. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquí está el producto interior ):
de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves de modo que el correspondiente tramo del espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito de la derivada de Lie de fuga a lo largo de los flujos correspondientes a un suave arbitrario es equivalente al requisito que ω debería estar cerrado .
Definición
Una forma simpléctica en una variedad suave es una forma diferencial cerrada no degenerada de 2 formas . Aquí, no degenerado significa que para cada punto , el emparejamiento simétrico sesgado en el espacio tangente definido por no es degenerado. Es decir, si existe un tal que para todos , entonces . Dado que en dimensiones impares, las matrices simétricas sesgadas son siempre singulares, el requisito de que no sean degeneradas implica que tengan una dimensión par. La condición cerrada significa que la derivada exterior de desaparece. Una variedad simpléctica es un par donde hay una variedad suave y una forma simpléctica. Asignar una forma simpléctica a se denomina dar una estructura simpléctica .
Ejemplos de
Espacios vectoriales simplécticos
Sea una base para Definimos nuestra forma simpléctica ω sobre esta base de la siguiente manera:
En este caso, la forma simpléctica se reduce a una forma cuadrática simple . Si I n denota la matriz identidad n × n , entonces la matriz, Ω, de esta forma cuadrática viene dada por la matriz de bloques de 2 n × 2 n :
Paquetes cotangentes
Sea una variedad suave de dimensiones . Entonces el espacio total del paquete cotangente tiene una forma simpléctica natural, llamada la forma de dos Poincaré o la forma simpléctica canónica
Aquí están las coordenadas locales en y son coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes . Los haces cotangentes son los espacios de fase natural de la mecánica clásica. El punto de distinguir los índices superior e inferior está impulsado por el caso de la variedad que tiene un tensor métrico , como es el caso de las variedades de Riemann . Los índices superior e inferior se transforman de forma contraria y covariable bajo un cambio de fotogramas de coordenadas. La frase "coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes" pretende transmitir que los momentos están " soldados " a las velocidades . La soldadura es una expresión de la idea de que la velocidad y el momento son colineales, en el sentido de que ambos se mueven en la misma dirección y difieren en un factor de escala.
Colectores Kähler
Un colector de Kähler es un colector simpléctico equipado con una estructura compleja integrable compatible. Forman una clase particular de variedades complejas . Una gran clase de ejemplos provienen de geometría algebraica compleja . Cualquier variedad proyectiva compleja y suave tiene una forma simpléctica que es la restricción de la forma Fubini — Estudio en el espacio proyectivo .
Variedades casi complejas
Las variedades de Riemann con una estructura casi compleja compatible se denominan variedades casi complejas . Generalizan las variedades de Kähler, en el sentido de que no necesitan ser integrables . Es decir, no surgen necesariamente de una estructura compleja en la variedad.
Lagrangianas y otras subvariedades
Hay varias nociones geométricas naturales de subvariedad de una variedad simpléctica :
- Las subvariedades simplécticas de (potencialmente de cualquier dimensión par) son subvariedades tales que es una forma simpléctica en .
- Las subvariedades isotrópicas son subvariedades donde la forma simpléctica se restringe a cero, es decir, cada espacio tangente es un subespacio isotrópico del espacio tangente de la variedad ambiental. De manera similar, si cada subespacio tangente a una subvariedad es coisotrópico (el dual de un subespacio isotrópico), la subvariedad se denomina coisotrópico .
- Las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica son subvariedades donde la restricción de la forma simpléctica a se desvanece, es decir, y . Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades isotrópicas máximas. En física, las subvariedades lagrangianas se denominan con frecuencia branas .
El caso más importante de las subvariedades isotrópicas es el de las subvariedades lagrangianas . Una subvariedad lagrangiana es, por definición, una subvariedad isotrópica de dimensión máxima, es decir, la mitad de la dimensión de la variedad simpléctica ambiental. Un ejemplo importante es que la gráfica de un simplectomorfismo en la variedad simpléctica del producto ( M × M , ω × - ω ) es lagrangiana. Sus intersecciones muestran propiedades de rigidez que no poseen las variedades suaves; la conjetura de Arnold da la suma de los números de Betti de la subvariedad como un límite inferior para el número de autointersecciones de una subvariedad lagrangiana suave, en lugar de la característica de Euler en el caso suave.
Ejemplos de
Pongamos las coordenadas globales etiquetadas Entonces, podemos equiparnos con la forma simpléctica canónica
Hay una subvariedad lagrangiana estándar dada por . La forma se desvanece porque dado cualquier par de vectores tangentes tenemos eso. Para aclarar, considere el caso . Entonces, y observe que cuando expandimos esto
Ambos términos tenemos un factor, que es 0, por definición.
Ejemplo: paquete cotangente
El paquete cotangente de una variedad se modela localmente en un espacio similar al primer ejemplo. Se puede demostrar que podemos pegar estas formas simplécticas afines, por lo que este paquete forma una variedad simpléctica. Un ejemplo menos trivial de una subvariedad lagrangiana es la sección cero del paquete cotangente de una variedad. Por ejemplo, deja
Entonces, podemos presentar como
donde estamos tratando los símbolos como coordenadas de Podemos considerar el subconjunto donde están las coordenadas y , dándonos la sección cero. Este ejemplo puede repetirse para cualquier variedad definida por el lugar de fuga de funciones suaves y sus diferenciales .
Ejemplo: sub-colector paramétrico
Considere el espacio canónico con coordenadas . Una subvariedad paramétrica de es aquella que está parametrizada por coordenadas tales que
Esta variedad es una subvariedad de Lagrangain si el corchete de Lagrange desaparece para todo Es decir, es Lagrangiana si
para todo Esto se puede ver expandiendo
en la condición de un sub-colector de Lagrange . Esto es que la forma simpléctica debe desaparecer en la variedad tangente ; es decir, debe desaparecer para todos los vectores tangentes:
para todos . Simplifique el resultado haciendo uso de la forma simpléctica canónica en :
y todos los demás desapareciendo.
A medida que los gráficos locales de una variedad simpléctica adoptan la forma canónica, este ejemplo sugiere que las subvariedades lagrangianas están relativamente libres de restricciones. La clasificación de variedades simplécticas se realiza a través de la homología de Floer ; esta es una aplicación de la teoría de Morse a la acción funcional para mapas entre subvariedades de Lagrange. En física, la acción describe la evolución temporal de un sistema físico; aquí, puede tomarse como la descripción de la dinámica de las branas.
Ejemplo: teoría Morse
Otra clase útil de subvariedades lagrangianas ocurre en la teoría Morse . Dada una función Morse y para una lo suficientemente pequeña, se puede construir una subvariedad lagrangiana dada por el locus de fuga . Para una función Morse genérica tenemos una intersección lagrangiana dada por .
Subvariedades Lagrangianas especiales
En el caso de colectores Kahler (o variedades de Calabi-Yau ) podemos tomar una decisión sobre como n-forma holomorfa, donde es la parte real y la imaginaria. Una subvariedad lagrangiana se llama especial si, además de la condición lagrangiana anterior, la restricción a está desapareciendo. En otras palabras, la parte real restringida conduce a la forma de volumen . Los siguientes ejemplos se conocen como subvariedades lagrangianas especiales,
- subvariedades lagrangianas complejas de variedades hiperKahler ,
- puntos fijos de una estructura real de variedades Calabi-Yau.
La conjetura SYZ ha sido probada para subvariedades lagrangianas especiales pero, en general, es abierta y aporta muchos impactos al estudio de la simetría especular . ver ( Hitchin 1999 )
Fibración lagrangiana
Una fibración lagrangiana de una variedad simpléctica M es una fibración en la que todas las fibras son subvariedades lagrangianas. Dado que M es par dimensional podemos tomar coordenadas locales ( p 1 ,…, p n , q 1 ,…, q n ), y por el teorema de Darboux la forma simpléctica ω puede escribirse, al menos localmente, como ω = ∑ d p k ∧ d q k , donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . Esta forma se llama Poincaré de dos formas o canónica de dos formas. Usando esta configuración, podemos pensar localmente en M como el haz cotangente y la fibración lagrangiana como la fibración trivial. Esta es la imagen canónica.
Mapeo lagrangiano
Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica ( K , ω) dada por una inmersión i : L ↪ K ( i se denomina inmersión lagrangiana ). Deje π : K ↠ B dar una formación de fibras de Lagrange de K . El compuesto ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B es un mapeo lagrangiano . El conjunto de valores críticos de π ∘ i se llama cáustico .
Dos mapas lagrangianos ( π 1 ∘ i 1 ): L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 y ( π 2 ∘ i 2 ): L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 se denominan equivalentes lagrangianos si existen difeomorfismos σ , τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado en el desplazamiento derecho , y τ conserva la forma simpléctica. Simbólicamente:
donde τ ∗ ω 2 denota el retroceso de ω 2 por τ .
Casos especiales y generalizaciones
- Una variedad simpléctica es exacta si la forma simpléctica es exacta . Por ejemplo, el haz cotangente de una variedad suave es una variedad simpléctica exacta. La forma simpléctica canónica es exacta.
- Una variedad simpléctica dotada de una métrica que es compatible con la forma simpléctica es una variedad casi de Kähler en el sentido de que el haz tangente tiene una estructura casi compleja , pero no es necesario que sea integrable .
- Las variedades simplécticas son casos especiales de una variedad de Poisson . La definición de una variedad simpléctica requiere que la forma simpléctica no sea degenerada en todas partes, pero si se viola esta condición, la variedad aún puede ser una variedad de Poisson.
- Un colector multisemplectico de grado k es un colector equipado con una forma k cerrada no degenerada .
- Una variedad polisimpléctica es un paquete de Legendre provisto de una forma polisimpléctica valorada en tangente ; se utiliza en la teoría de campo hamiltoniana .
Ver también
- Variedad casi simpléctica
- Colector de contacto : una contraparte de dimensión impar del colector simpléctico.
- Colector Fedosov
- Soporte de Poisson - Operación en mecánica hamiltoniana
- Grupo simpléctico - Grupo matemático
- Matriz simpléctica
- Topología simpléctica
- Espacio vectorial simpléctico
- Simplectomorfismo
- Una forma tautológica
- Desigualdad de Wirtinger (2 formas)
- Teoría del campo covariante hamiltoniano
Notas
Referencias
- McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Monografías matemáticas de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.
- Auroux, Denis . "Seminario sobre Simetría de Espejos" .
- Meinrenken, Eckhard . "Geometría simpléctica" (PDF) .
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. Consulte la Sección 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
- de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría simpléctica y mecánica cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
- Alan Weinstein (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas" . Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90020-X .
- Arnold, VI (1990). "Ch.1, Geometría simpléctica". Singularidades de cáusticos y frentes ondulatorios . Matemáticas y sus aplicaciones. 62 . Dordrecht: Springer Holanda. doi : 10.1007 / 978-94-011-3330-2 . ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC 22509804 .
enlaces externos
- "Cómo encontrar subvariedades lagrangianas" . Stack Exchange . 17 de diciembre de 2014.
- Lumist, Ü. (2001) [1994], "Estructura simpléctica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Sardanashntly, G. (2009). "Haz de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana". Conferencias para teóricos . arXiv : 0908.1886 .
- McDuff, D. (noviembre de 1998). "Estructuras simplécticas: un nuevo enfoque de la geometría" (PDF) . Avisos del AMS .
- Hitchin, Nigel (1999). "Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales". arXiv : matemáticas / 9907034 .