Soporte de Poisson - Poisson bracket

Siméon Denis Poisson

En matemáticas y mecánica clásica , el corchete de Poisson es una operación binaria importante en la mecánica hamiltoniana , que juega un papel central en las ecuaciones de movimiento de Hamilton, que gobiernan la evolución temporal de un sistema dinámico hamiltoniano . El corchete de Poisson también distingue una cierta clase de transformaciones de coordenadas, llamadas transformaciones canónicas , que mapean sistemas de coordenadas canónicos en sistemas de coordenadas canónicos. Un "sistema de coordenadas canónico" consta de variables canónicas de posición y momento (a continuación, simbolizadas por y , respectivamente) que satisfacen las relaciones canónicas entre paréntesis de Poisson. El conjunto de posibles transformaciones canónicas es siempre muy rico. Por ejemplo, a menudo es posible elegir el propio hamiltoniano como una de las nuevas coordenadas canónicas del momento. ${\ Displaystyle q_ {i}}$ ${\ Displaystyle p_ {i}}$ ${\ Displaystyle H = H (q, p; t)}$

En un sentido más general, el corchete de Poisson se usa para definir un álgebra de Poisson , de la cual el álgebra de funciones en una variedad de Poisson es un caso especial. También hay otros ejemplos generales: ocurre en la teoría de álgebras de Lie , donde el álgebra tensorial de un álgebra de Lie forma un álgebra de Poisson; una construcción detallada de cómo ocurre esto se da en el artículo de álgebra envolvente universal . Las deformaciones cuánticas del álgebra envolvente universal conducen a la noción de grupos cuánticos .

Todos estos objetos llevan el nombre de Siméon Denis Poisson .

Propiedades

Dadas dos funciones f y g que dependen del espacio de fase y el tiempo, su paréntesis de Poisson es otra función que depende del espacio de fase y el tiempo. Las siguientes reglas son válidas para cualquiera de las tres funciones de espacio de fase y tiempo: ${\ Displaystyle \ {f, g \}}$ ${\ Displaystyle f, \, g, \, h}$

Anticommutatividad: ${\ Displaystyle \ {f, g \} = - \ {g, f \}}$
Bilinealidad: ${\ Displaystyle \ {af + bg, h \} = a \ {f, h \} + b \ {g, h \}, \ quad \ {h, af + bg \} = a \ {h, f \ } + b \ {h, g \}, \ quad a, b \ in \ mathbb {R}}$
La regla de Leibniz: ${\ Displaystyle \ {fg, h \} = \ {f, h \} g + f \ {g, h \}}$
Identidad Jacobi: ${\ Displaystyle \ {f, \ {g, h \} \} + \ {g, \ {h, f \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} = 0}$

Además, si una función es constante en el espacio de fase (pero puede depender del tiempo), entonces para cualquiera . ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {f, \, k \} = 0}$ ${\ Displaystyle f}$

Definición en coordenadas canónicas

En coordenadas canónicas (también conocidas como coordenadas de Darboux ) en el espacio de fase , dadas dos funciones y , el corchete de Poisson toma la forma ${\ Displaystyle (q_ {i}, \, p_ {i})}$ ${\ Displaystyle f (p_ {i}, \, q_ {i}, t)}$ ${\ Displaystyle g (p_ {i}, \, q_ {i}, t)}$

{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial q_ {i}}} {\ frac {\ parcial g } {\ parcial p_ {i}}} - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial p_ {i}}} {\ frac {\ parcial g} {\ parcial q_ {i}}} \ derecha).}

Los corchetes de Poisson de las coordenadas canónicas son

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ {q_ {i}, q_ {j} \} & = 0 \\\ {p_ {i}, p_ {j} \} & = 0 \\\ {q_ {i }, p_ {j} \} & = \ delta _ {ij} \ end {alineado}}}

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton tienen una expresión equivalente en términos del corchete de Poisson. Esto puede demostrarse más directamente en un marco de coordenadas explícito. Suponga que es una función en la variedad de trayectorias de la solución. Luego, de la regla de la cadena multivariable , ${\ Displaystyle f (p, q, t)}$

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (p, q, t) = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial q}} {\ frac {dq} {dt}} + {\ frac {\ fc parcial} {\ p parcial}} {\ frac {dp} {dt}} + {\ frac {\ f parcial} {\ t parcial}}.}

Además, uno puede tomar y ser soluciones a las ecuaciones de Hamilton ; eso es, ${\ Displaystyle p = p (t)}$ ${\ Displaystyle q = q (t)}$

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {q}} = {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p}} = \ {q, H \}; \\ {\ dot {p}} = - {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q}} = \ {p, H \}. \ end {casos}}}

Luego

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dt}} f (p, q, t) & = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial q}} {\ frac {\ parcial H } {\ p parcial}} - {\ frac {\ f parcial} {\ p parcial}} {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q}} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t} } \\ & = \ {f, H \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} ~. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, la evolución en el tiempo de una función en una variedad simpléctica se puede dar como una familia de simplectomorfismos de un parámetro (es decir, transformaciones canónicas , difeomorfismos que preservan el área), siendo el tiempo el parámetro: el movimiento hamiltoniano es una transformación canónica generada por el hamiltoniano. Es decir, los corchetes de Poisson se conservan en él, de modo que en cualquier momento en la solución de las ecuaciones de Hamilton, ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle t}$

{\ Displaystyle q (t) = \ exp (-t \ {H, \ cdot \}) ​​q (0), \ quad p (t) = \ exp (-t \ {H, \ cdot \}) ​​p ( 0),}

puede servir como las coordenadas del soporte. Los corchetes de Poisson son invariantes canónicos .

Dejando caer las coordenadas,

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} f = \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} - \ {H, \ cdot \} \ derecha) f.}

El operador en la parte convectiva de la derivada ,, a veces se denomina Liouvillian (véase el teorema de Liouville (hamiltoniano) ). ${\ Displaystyle i {\ hat {L}} = - \ {H, \ cdot \}}$

Constantes de movimiento

Un sistema dinámico integrable tendrá constantes de movimiento además de la energía. Tales constantes de movimiento conmutarán con el hamiltoniano bajo el paréntesis de Poisson. Suponga que alguna función es una constante de movimiento. Esto implica que si es una trayectoria o solución a las ecuaciones de movimiento de Hamilton , entonces ${\ Displaystyle f (p, q)}$ ${\ Displaystyle p (t), q (t)}$

{\ Displaystyle 0 = {\ frac {df} {dt}}}

a lo largo de esa trayectoria. Luego

{\ Displaystyle 0 = {\ frac {d} {dt}} f (p, q) = \ {f, H \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}}}

donde, como antes, el paso intermedio sigue aplicando las ecuaciones de movimiento y suponemos que no depende explícitamente del tiempo. Esta ecuación se conoce como ecuación de Liouville . El contenido del teorema de Liouville es que la evolución temporal de una medida (o " función de distribución " en el espacio de fase) viene dada por lo anterior. ${\ Displaystyle f}$

Si el corchete de Poisson de y desaparece ( ), entonces se dice que y están en involución . Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable , las constantes de movimiento independientes deben estar en involución mutua , donde es el número de grados de libertad. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ {f, g \} = 0}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$

Además, según el teorema de Poisson , si dos cantidades y son constantes de movimiento explícitamente independientes del tiempo ( ), también lo es su paréntesis de Poisson . Sin embargo, esto no siempre proporciona un resultado útil, ya que el número de posibles constantes de movimiento es limitado ( para un sistema con grados de libertad), por lo que el resultado puede ser trivial (una constante o una función de y ). ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle A (p, q), B (p, q)}$ ${\ Displaystyle \ {A, \, B \}}$ ${\ Displaystyle 2n-1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$

El corchete de Poisson en lenguaje sin coordenadas

Sea una variedad simpléctica , es decir, una variedad equipada con una forma simpléctica : una forma 2 que es a la vez cerrada (es decir, su derivada exterior se desvanece) y no degenerada . Por ejemplo, en el tratamiento anterior, tome para ser y tome ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle d \ omega}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

{\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} dq_ {i} \ wedge dp_ {i}.}

Si el producto interior o la operación de contracción se define por , entonces la no degeneración equivale a decir que para cada forma uno hay un campo vectorial único tal que . Alternativamente, . Entonces, si es una función suave activada , el campo vectorial hamiltoniano se puede definir como . Es fácil ver eso ${\ Displaystyle \ iota _ {v} \ omega}$ ${\ Displaystyle (\ iota _ {v} \ omega) (w) = \ omega (v, \, w)}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \ iota _ {\ Omega _ {\ alpha}} \ omega = \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {dH} = \ omega ^ {- 1} (dH)}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle X_ {H}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {dH}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} X_ {p_ {i}} & = {\ frac {\ parcial} {\ parcial q_ {i}}} \\ X_ {q_ {i}} & = - {\ frac { \ parcial} {\ parcial p_ {i}}}. \ end {alineado}}}

El corchete de Poisson en ( M , ω) es una operación bilineal en funciones diferenciables , definida por ; el soporte de Poisson de dos funciones en M es en sí mismo una función en M . El corchete de Poisson es antisimétrico porque: ${\ Displaystyle \ \ {\ cdot, \, \ cdot \}}$ ${\ Displaystyle \ {f, \, g \} \; = \; \ omega (X_ {f}, \, X_ {g})}$

{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g}) = - \ omega (X_ {g}, X_ {f}) = - \ {g, f \}}

.

Es más,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ {f, g \} & = \ omega (X_ {f}, X_ {g}) = \ omega (\ Omega _ {df}, X_ {g}) \\ & = (\ iota _ {\ Omega _ {df}} \ omega) (X_ {g}) = df (X_ {g}) \\ & = X_ {g} f = {\ mathcal {L}} _ {X_ {g}} f \ end {alineado}}}

.

( 1 )

Aquí X _g f denota el campo vectorial X _g aplicado a la función f como una derivada direccional, y denota la derivada de Lie (totalmente equivalente) de la función f . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X_ {g}} f}$

Si α es una forma única arbitraria en M , el campo vectorial Ω _α genera (al menos localmente) un flujo que satisface la condición de frontera y la ecuación diferencial de primer orden ${\ Displaystyle \ phi _ {x} (t)}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {x} (0) = x}$

{\ Displaystyle {\ frac {d \ phi _ {x}} {dt}} = \ left. \ Omega _ {\ alpha} \ right | _ {\ phi _ {x} (t)}.}

El habrá simplectomorfismos ( transformación canónica ) para cada t como una función de x si y sólo si ; cuando esto es cierto, Ω _α se denomina campo vectorial simpléctico . Recordando la identidad de Cartan y d ω = 0, se sigue que . Por lo tanto, Ω _α es un campo vectorial simpléctico si y solo si α es una forma cerrada . Dado que , se deduce que todo campo vectorial hamiltoniano X _f es un campo vectorial simpléctico, y que el flujo hamiltoniano consiste en transformaciones canónicas. De (1) arriba, bajo el flujo hamiltoniano X _H , ${\ Displaystyle \ phi _ {x} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ Omega _ {\ alpha}} \ omega \; = \; 0}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega \; = \; d (\ iota _ {X} \ omega) \, + \, \ iota _ {X} d \ omega}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ Omega _ {\ alpha}} \ omega \; = \; d \ left (\ iota _ {\ Omega _ {\ alpha}} \ omega \ right) \; = \; d \ alpha}$ ${\ Displaystyle d (df) \; = \; d ^ {2} f \; = \; 0}$

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (\ phi _ {x} (t)) = X_ {H} f = \ {f, H \}.}

Este es un resultado fundamental en la mecánica hamiltoniana, que rige la evolución temporal de las funciones definidas en el espacio de fase. Como se señaló anteriormente, cuando {f, H} = 0 , f es una constante de movimiento del sistema. Además, en coordenadas canónicas (con y ), las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal del sistema se derivan inmediatamente de esta fórmula. ${\ Displaystyle \ {p_ {i}, \, p_ {j} \} \; = \; \ {q_ {i}, q_ {j} \} \; = \; 0}$ ${\ Displaystyle \ {q_ {i}, \, p_ {j} \} \; = \; \ delta _ {ij}}$

También se sigue de (1) que el corchete de Poisson es una derivación ; es decir, satisface una versión no conmutativa de la regla del producto de Leibniz :

{\ Displaystyle \ {fg, h \} = f \ {g, h \} + g \ {f, h \}}

, y

{\ Displaystyle \ {f, gh \} = g \ {f, h \} + h \ {f, g \}}

( 2 )

El corchete de Poisson está íntimamente conectado al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos. Como la derivada de Lie es una derivación,

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {v} \ iota _ {w} \ omega = \ iota _ {{\ mathcal {L}} _ {v} w} \ omega + \ iota _ {w} { \ mathcal {L}} _ {v} \ omega = \ iota _ {[v, w]} \ omega + \ iota _ {w} {\ mathcal {L}} _ {v} \ omega}

.

Por lo tanto, si v y w son simplécticos, usando la identidad de Cartan y el hecho de que es una forma cerrada, ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {v} \ omega \; = \; 0}$ ${\ Displaystyle \ iota _ {w} \ omega}$

{\ Displaystyle \ iota _ {[v, w]} \ omega = {\ mathcal {L}} _ {v} \ iota _ {w} \ omega = d (\ iota _ {v} \ iota _ {w} \ omega) + \ iota _ {v} d (\ iota _ {w} \ omega) = d (\ iota _ {v} \ iota _ {w} \ omega) = d (\ omega (w, v)) .}

De ello se deduce , de modo que ${\ Displaystyle [v, w] = X _ {\ omega (w, v)}}$

{\ Displaystyle [X_ {f}, X_ {g}] = X _ {\ omega (X_ {g}, X_ {f})} = - X _ {\ omega (X_ {f}, X_ {g})} = -X _ {\ {f, g \}}}

.

( 3 )

Por lo tanto, el corchete de Poisson en funciones corresponde al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos asociados. También hemos demostrado que el corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es un campo vectorial hamiltoniano y, por lo tanto, también es simpléctico. En el lenguaje del álgebra abstracta , los campos vectoriales simplécticos forman una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales suaves en M , y los campos vectoriales hamiltonianos forman un ideal de esta subálgebra. Los campos de vectores simplécticos son el álgebra de Lie del (de dimensión infinita) grupo de Lie de simplectomorfismos de M .

Se afirma ampliamente que la identidad de Jacobi para el soporte de Poisson,

{\ Displaystyle \ \ {f, \ {g, h \} \} + \ {g, \ {h, f \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} = 0}

se deduce de la identidad correspondiente para el corchete de Lie de los campos vectoriales, pero esto es cierto solo hasta una función localmente constante. Sin embargo, para probar la identidad de Jacobi para el paréntesis de Poisson, es suficiente mostrar que:

{\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ {f, g \}} = [\ operatorname {ad} _ {f}, \ operatorname {ad} _ {g}]}

donde el operador en funciones suaves en M se define por y el soporte en el lado derecho es el conmutador de operadores, . Por (1) , el operador es igual al operador X _g . La prueba de la identidad de Jacobi se deriva de (3) porque el corchete de Lie de los campos vectoriales es solo su conmutador como operadores diferenciales. ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (\ cdot) \; = \; \ {\ cdot, \, g \}}$ ${\ displaystyle [\ operatorname {A}, \, \ operatorname {B}] \; = \; \ operatorname {A} \ operatorname {B} - \ operatorname {B} \ operatorname {A}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$

El álgebra de funciones suaves en M, junto con el corchete de Poisson forma un álgebra de Poisson , porque es un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, que además satisface la regla de Leibniz (2) . Hemos demostrado que toda variedad simpléctica es una variedad de Poisson , es decir, una variedad con un operador de "corchete" en funciones suaves de modo que las funciones suaves forman un álgebra de Poisson. Sin embargo, no todas las variedades de Poisson surgen de esta manera, porque las variedades de Poisson permiten una degeneración que no puede surgir en el caso simpléctico.

Un resultado en momentos conjugados

Dado un campo vectorial uniforme en el espacio de configuración, sea su momento conjugado . El mapeo de momento conjugado es un anti-homomorfismo de álgebra de Lie desde el corchete de Poisson al corchete de Lie : ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle P_ {X}}$

{\ Displaystyle \ {P_ {X}, P_ {Y} \} = - P _ {[X, Y]}. \,}

Este importante resultado merece una breve prueba. Escriba un campo vectorial en un punto del espacio de configuración como ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle q}$

{\ Displaystyle X_ {q} = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}}}

donde es el marco de coordenadas local. El momento conjugado de tiene la expresión ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}}}$ ${\ Displaystyle X}$

{\ Displaystyle P_ {X} (q, p) = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) \; p_ {i}}

donde son las funciones de momento conjugadas con las coordenadas. Entonces uno tiene, para un punto en el espacio de fase , ${\ Displaystyle p_ {i}}$ ${\ Displaystyle (q, p)}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ {P_ {X}, P_ {Y} \} (q, p) & = \ sum _ {i} \ sum _ {j} \ left \ {X ^ {i} (q) \; p_ {i}, Y ^ {j} (q) \; p_ {j} \ right \} \\ & = \ sum _ {ij} p_ {i} Y ^ {j} (q) {\ frac {\ parcial X ^ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} - p_ {j} X ^ {i} (q) {\ frac {\ parcial Y ^ {j}} {\ parcial q ^ {i}}} \\ & = - \ sum _ {i} p_ {i} \; [X, Y] ^ {i} (q) \\ & = - P _ {[X, Y]} ( q, p). \ end {alineado}}}

Lo anterior es válido para todos , dando el resultado deseado. ${\ Displaystyle (q, p)}$

Cuantización

Los corchetes de Poisson se deforman a corchetes de Moyal en la cuantificación , es decir, se generalizan a un álgebra de Lie diferente, el álgebra de Moyal o, de manera equivalente en el espacio de Hilbert , conmutadores cuánticos . La contracción del grupo Wigner-İnönü de estos (el límite clásico, $ħ \to 0$ ) produce el álgebra de Lie anterior.

Para decir esto de manera más explícita y precisa, el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (módulo la relación de que el centro es la unidad). El producto Moyal es entonces un caso especial del producto estrella en el álgebra de símbolos. Una definición explícita del álgebra de símbolos y el producto estrella se da en el artículo sobre el álgebra envolvente universal .

Ver también

Observaciones

Notas

Referencias

Arnold, Vladimir I. (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
Landau, Lev D .; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mecánica . Curso de Física Teórica . Vol. 1 (3ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9. |volume=tiene texto extra ( ayuda )
Karasëv, Mikhail V .; Maslov, Victor P. (1993). Corchetes de Poisson no lineales, geometría y cuantización . Traducciones de monografías matemáticas. 119 . Traducido por Sossinsky, Alexey; Shishkova, MA Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821887967. Señor 1214142 .

enlaces externos

"Corchetes de Poisson" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Eric W. Weisstein . "Soporte de Poisson" . MathWorld .

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