Identidad Jacobi - Jacobi identity

En matemáticas , la identidad de Jacobi es una propiedad de una operación binaria que describe cómo el orden de evaluación, la colocación de paréntesis en un producto múltiple, afecta el resultado de la operación. Por el contrario, para las operaciones con la propiedad asociativa , cualquier orden de evaluación da el mismo resultado (no se necesitan paréntesis en un producto múltiple). La identidad lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi .

El producto cruzado y la operación del soporte de Lie satisfacen la identidad de Jacobi. En mecánica analítica , la identidad de Jacobi se satisface con los paréntesis de Poisson . En mecánica cuántica , se satisface mediante conmutadores de operador en un espacio de Hilbert y, de manera equivalente, en la formulación de espacio de fase de la mecánica cuántica por el soporte de Moyal . ${\ Displaystyle a \ times b}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$

Definición

Un conjunto A con dos operaciones binarias + y × , con una identidad aditiva 0, satisface el Identidad Jacobi si:

$${\ Displaystyle x \ times (y \ times z) \ + \ z \ times (x \ times y) \ + \ y \ times (z \ times x) \ = \ 0 \ quad {\ text {para todos}} \ {x, y, z} \ en A.}$$

El lado izquierdo es la suma de todas las permutaciones pares de x × ( y × z ) : los paréntesis se dejan fijos y las letras se intercambian un número par de veces.

Forma del soporte del conmutador

El ejemplo informativo más simple de un álgebra de Lie se construye a partir del anillo (asociativo) de matrices, que puede considerarse como movimientos infinitesimales de un espacio vectorial n- dimensional. La operación × es el conmutador , que mide el fallo de conmutatividad en la multiplicación de matrices. En lugar de , se utiliza la notación de corchetes de Lie: ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle X \ times Y}$

${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX.}$

En esa notación, la identidad de Jacobi es:

Eso se comprueba fácilmente mediante cálculo.

Más en general, si A es un álgebra asociativa y V es un subespacio de A que está cerrada bajo la operación soporte: pertenece a V para todos , la identidad de Jacobi sigue manteniendo en V . Por lo tanto, si una operación binaria satisface la identidad de Jacobi, se puede decir que se comporta como si estuviera dada por en algún álgebra asociativa, incluso si no está realmente definida de esa manera. ${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ Displaystyle X, Y \ in V}$${\ Displaystyle [X, Y]}$${\ Displaystyle XY-YX}$

Usando la propiedad de antisimetría , la identidad de Jacobi se puede reescribir como una modificación de la propiedad asociativa : ${\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$

${\ Displaystyle [[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] ~.}$

Si es la acción del movimiento infinitesimal X sobre Z , se puede afirmar como: ${\ Displaystyle [X, Z]}$

La acción de Y seguida de X (operador ), menos la acción de X seguida de Y (operador ), es igual a la acción de , (operador ). ${\ Displaystyle [X, [Y, \ cdot \]]}$${\ Displaystyle ([Y, [X, \ cdot \]]}$${\ Displaystyle [X, Y]}$${\ Displaystyle [[X, Y], \ cdot \]}$

También hay una gran cantidad de identidades de Jacobi graduadas que involucran anticonmutadores , como: ${\ Displaystyle \ {X, Y \}}$

${\ Displaystyle [\ {X, Y \}, Z] + [\ {Y, Z \}, X] + [\ {Z, X \}, Y] = 0, \ qquad [\ {X, Y \ }, Z] + \ {[Z, Y], X \} + \ {[Z, X], Y \} = 0.}$

Forma adjunta

Los ejemplos más comunes de la identidad de Jacobi provienen de la multiplicación de corchetes en álgebras de Lie y anillos de Lie . La identidad de Jacobi está escrita como: ${\ Displaystyle [x, y]}$

${\ Displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.}$

Debido a que la multiplicación de corchetes es antisimétrica , la identidad de Jacobi admite dos reformulaciones equivalentes. Al definir el operador adjunto , la identidad se convierte en: ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}: y \ mapsto [x, y]}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} [y, z] = [\ operatorname {ad} _ {x} y, z] + [y, \ operatorname {ad} _ {x} z].}$

Por tanto, la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie establece que la acción de cualquier elemento en el álgebra es una derivación . Esa forma de la identidad de Jacobi también se usa para definir la noción de álgebra de Leibniz .

Otro reordenamiento muestra que la identidad de Jacobi es equivalente a la siguiente identidad entre los operadores de la representación adjunta:

${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {[x, y]} = [\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad} _ {y}].}$

Allí, el corchete del lado izquierdo es la operación del álgebra original, el corchete de la derecha es el conmutador de la composición de operadores y la identidad establece que el mapa que envía cada elemento a su acción adjunta es un homomorfismo de álgebra de Lie . ${\ Displaystyle \ mathrm {anuncio}}$

Identidades relacionadas

La identidad Hall-Witt es la identidad análoga para la operación del conmutador en un grupo .

La siguiente identidad se deriva de la anticomutatividad y la identidad de Jacobi y se mantiene en el álgebra de Lie arbitraria:

${\ Displaystyle [x, [y, [z, w]]] + [y, [x, [w, z]]] + [z, [w, [x, y]]] + [w, [z , [y, x]]] = 0.}$

Ver también

• Constantes de estructura
• Identidad Super Jacobi
• Lema de tres subgrupos (identidad de Hall-Witt)

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Identidades Jacobi" . MathWorld .